Ο Γιώργος και η Μαρία πήραν μέρος σε ένα τουρνουά σκακιού. Έκαναν μερικά παιχνίδια και εγκατέλειψαν, γιατί απογοητεύτηκαν. Οι υπόλοιποι παίχτες συνέχισαν κανονικά μέχρι το τέλος.
Τόσο ο Γιώργος, όσο και η Μαρία έπαιξαν το ίδιο πλήθος παιχνιδιών. Το συνολικό πλήθος παιχνιδιών που παίχτηκαν στο τουρνουά είναι $23$.
α) Έκαναν παιχνίδι μεταξύ τους ο Γιώργος και η Μαρία;
β) Πόσοι παίχτες συμμετείχαν αρχικά στο τουρνουά αυτό;
Έχω την εντύπωση ότι το πρόβλημα είναι υποκαθορισμένο. Θα έπρεπε να αναφέρεται νομίζω το αν οι παίχτες παίζουν μεταξύ τους το πολύ μία, ή ακριβώς μία ή και περισσότερες από μία φορές. Αν το στοιχείο αυτό είναι ανοιχτό, τότε υπάρχουν περισσότερες από μία συμβατές απαντήσεις.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠ.χ. παίζουν ο Γ με τη Μ, μόνο μεταξύ τους, 2 φορές και άλλοι 7 παίχτες παίζουν από ακριβώς 1 παιχνίδι το κάθε ζευγάρι μεταξύ τους. Συνολικά 2+7*6/2 = 23 παιχνίδια.
Ή δεν παίζει ο Γ με τη Μ κανένα παιχνίδι, παίζει ο Γ με έναν μόνο από 7 άλλους 1 παιχνίδι, παίζει η Μ με έναν μόνο από τους 7 άλλους 1 παιχνίδι και οι άλλοι 7 παίχτες παίζουν από 1 ακριβώς παιχνίδι το κάθε ζευγάρι μεταξύ τους. Συνολικά 0+1+1+7*6/2 = 23 παιχνίδια.
Ή δεν παίζει ο Γ με τη Μ κανένα παιχνίδι, παίζει ο Γ με 4 από 6 άλλους από 1 παιχνίδι, παίζει η Μ με 4 από τους 6 άλλους από 1 παιχνίδι και οι άλλοι 6 παίχτες παίζουν από 1 ακριβώς παιχνίδι το κάθε ζευγάρι μεταξύ τους. Συνολικά 0+4+4+6*5/2 = 23 παιχνίδια.
Ο κάθε παίκτης προφανώς πρέπει να παίξει από ένα παιχνίδι με κάθε έναν από τους άλλους, ώστε να γίνουν όλες οι δυνατές συναντήσεις μεταξύ τους. Τα παιχνίδια αυτά του τουρνουά δεν είναι νοκ άουτ. Φυσικά, οι αποχωρίσαντες πρόωρα Γιώργος και Μαρία δεν πρόλαβαν να ολοκληρώσουν όλες τις δυνατές συναντήσεις τους με τους υπόλοιπους παίκτες.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑκόμα και με τις παραδοχές που θεωρεί προφανείς ο φίλος Πρόδρομος, δεν προκύπτει μονοσήμαντη απάντηση, τουλάχιστον στο ερώτημα β, αφού στέκουν τόσο το δεύτερο όσο και το τρίτο σενάριο που ανέφερα στο προηγούμενο σχόλιό μου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓενικότερα, αν οι άλλοι παίχτες πλην Γ και Μ, έστω ν στο πλήθος, έχουν παίξει μεταξύ τους 1 ακριβώς παιχνίδι το κάθε ζευγάρι, έχουν παίξει συνολικά μεταξύ τους ν(ν-1)/2 < 23 παιχνίδια, επομένως ν < 8. Για ν=7 και ν=6 είδαμε τι βγαίνει. Για ν=5, τα μεταξύ των 5 παιχνίδια είναι 10 και μένουν ακόμα 13. Αν έπαιξαν το 1 από αυτά ο Γ με τη Μ, θα έπρεπε ο καθένας τους να είχε παίξει με 6 ακόμα παίχτες, μεταξύ 5 διαθέσιμων. Άτοπο. Ομοίως για ακόμα μικρότερα ν.
Άρα τελικά:
α) δεν έπαιξαν μαζί ο Γ με τη Μ και
β) ο αρχικός αριθμός παιχτών είναι 2+7=9 ή 2+6=8.
Είστε απόλυτα σίγουρος άγνωστε και συμπαθητικέ φίλε "papadim"?
ΑπάντησηΔιαγραφήΜένω πάντα ανοιχτός στον αντίλογο, αγαπητέ Πρόδρομε. Μην τον καθυστερείς λοιπόν :-)
ΔιαγραφήΠροσπάθησε με εξισώσεις, χρησιμοποίησε όλες τις πληροφορίες. Δες, εγώ έγραψα Ν(Ν-1)/2 + 2χ + 1 = 23, αν έπαιξαν μεταξύ τους οι Γ, Μ. Και Ν(Ν-1)/2 + 2χ = 23, αν δεν έπαιξαν. Ακόμη ισχύει (Ν+2)(Ν+ 2 -1)/2 > 23 , γιατί δεν έγιναν όλα τα παιχνίδια. Χρησιμοποίησε τις ιδιότητες για την τιμή του τριωνύμου, και δες ποιά είναι η επιτρεπτή ακέραια λύση, δεδομένου παρόμοια ότι ταυτόχρονα ισχύει Ν(Ν-1)/2 < 23, ... πάλι τιμές τριωνύμου (ή και ιδιότητες παραγώγων). Έλεγξε τέλος ποιά από τις 2 αρχικές εξισώσεις ισχύει? Όπου χ = τα παιχνίδια που έπαιξαν με τους Ν άλλους παίκτες.
ΔιαγραφήΤο σχόλιό σου, συμπαθητικέ φίλε Πρόδρομε, περιλαμβάνει περισσότερες προστακτικές (προσπάθησε, χρησιμοποίησε-δις, δες-δις, έλεγξε) από όσες συνήθως αντέχω, αλλά θα τις αντιπαρέλθω για να δούμε την ουσία.
ΔιαγραφήΟι σκέψεις σου δε βλέπω να συνιστούν αντίλογο στα προηγούμενα σχόλιά μου, αλλά διαφορετική διατύπωση των ίδιων εν πολλοίς σκέψεων, χωρίς πάντως να ολοκληρώνονται από την μεριά σου σε κάποιο αποτέλεσμα. Δες ;-) όμως ότι εγώ κατέληξα στις λύσεις Ν=7, χ=1 και Ν=6, χ=4 που ικανοποιούν τη δεύτερη από τις εξισώσεις σου (δεν έπαιξαν μεταξύ τους οι Γ,Μ), όπως και τις δύο ανισώσεις σου. Υπάρχουν επίσης κάποιες μαθηματικές λύσεις της πρώτης σου εξίσωσης (έπαιξαν μεταξύ τους οι Γ,Μ) για Ν=5, χ=6 ή Ν=4, χ=8 ή της δεύτερης (δεν έπαιξαν) για Ν=3, χ=10 ή Ν=2, χ=11, οι οποίες, όπως προσπάθησα να δείξω, δεν μπορούν να σταθούν, αφού δίνουν χ>Ν.
Τώρα, αν μου διαφεύγουν κάποιες ιδιότητες των παραγώγων (!!) των συναρτήσεων με ακέραιες μεταβλητές (!!) που αποκλείουν κάποια ή και τις δύο παραπάνω υπαρκτές λύσεις ή δίνουν κάποιες άλλες, εδώ είμαι να το μάθω κι αυτό! :-)
Διευκρίνηση : Όπου χ = τα παιχνίδια που έπαιξε ο Γιώργος με τους Ν άλλους παίκτες (εκτός της Μαρίας), και ακόμη χ = τα παιχνίδια που έπαιξε η Μαρία με τους Ν άλλους παίκτες (εκτός του Γιώργου). Αν οι Μ, Γ έπαιξαν μεταξύ τους, τότε έκαναν 2χ + 1 παιχνίδια, αλλιώς, αν δεν έπαιξαν μεταξύ τους, τότε έκαναν 2χ. Διακρίνουσες κλπ.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυνδυασμοί (Ν ανά 2) = Ν! / [(Ν-2)! 2!] = Ν(Ν-1) / 2 .
Οι λύσεις που προκύπτουν από το σύστημα που σας έγραψα είναι: Ν=7, χ=1 και Ν=6, χ=4. Και οι δύο λύσεις του χ = (1, 4) απορρέουν από το συμπέρασμα ότι το συνολικό πλήθος των παιχνιδιών μεταξύ Γ, Μ είναι άρτιο (2, 8) και άρα δεν έκαναν και στις δύο δυνατές περιπτώσεις μεταξύ τους παιχνίδι, αφού θα ισχύει μόνον η Ν(Ν-1)/2 + 2χ = 23 => δεν έπαιξαν. Δεν είναι υποχρεωτικό όμως από την εκφώνηση ο αριθμός Ν + 2 των παικτών να έχει μια λύση. Αυτό είναι ζητούμενο διερεύνησης. Επίσης, το πρόβλημα δεν θα είχε λύση αν τα παιχνίδια ήταν νοκ αουτ, και δεν γνωρίζω να ισχύει αυτό στα τουρνουά σκακιού. Ωστόσο, η ανάλυση που δώσατε στην αρχή δεν με έπεισε για την αποδεικτική της πληρότητα, εκτός αν τη θεωρείτε σαφή και εγώ δεν κατάλαβα κάτι.... Τέλος πάντων, εγώ το θεώρησα όλο αυτό σαν ένα παιχνίδι που θα όφειλε να αναδείξει κάτι από την θεωρία των Μαθηματικών.
ΑπάντησηΔιαγραφήΧαίρομαι που τελικά συμφωνήσαμε, τουλάχιστον στο 'δια ταύτα'.
ΑπάντησηΔιαγραφήΌσον αφορά στην αποδεικτική πληρότητα της αρχικής μου ανάλυσης, θα υπενθυμίσω απλά ότι αυτό που προσπάθησα να δείξω είναι ότι το πρόβλημα έχει περισσότερες από μία απαντήσεις. Και αυτό νομίζω ότι το έδειξα επαρκώς ακόμα και με τις παραδοχές που πρότεινε ο αγαπητός Πρόδρομος.
Κατά τη δική μου άποψη, οι καθ' όλα σωστές εξισώσεις και ανισώσεις που κατέστρωσε ο ίδιος για να καταλήξει στη λύση, με τις διακρίνουσες και τις παραγώγους (!?) που πρότεινε για αναλυτικά εργαλεία, περιπλέκουν αχρείαστα ένα απλό πρόβλημα αριθμητικής παρά προάγουν τη μαθηματική θεωρία.
Για το πρόβλημα, που είναι μια ευκαιρία για τις όμορφες και χρήσιμες ιδιότητες του τριωνύμου, με βάσει το σχόλιο 6 θα έχουμε:
ΑπάντησηΔιαγραφή(Ν+2)(Ν+ 2 -1) / 2 > 23 <=> Ν^2 + 3Ν - 44 > 0 ---> { N1,N2= [-3+-sqr(185)] / 2, με Δ = 185, α = 1>0 άρα ομόσημο της θετικής τιμής που πρέπει να έχει το τριώνυμο για να ισχύει η παραπάνω ανίσωση του τριωνύμου: f(N) = Ν^2 + 3Ν - 44}, και από τα γνωστά της θεωρίας τριωνύμου θα πρέπει:
Ν > Ν1 > 5,2 ( Ι )
Παρόμοια:
Ν(Ν-1) / 2 < 23 ---->{ Ν1,Ν2 = [1+-sqr(185)] / 2, με Δ = 185, και α = 1 > 0 , άρα ετερόσημο τώρα της αρνητικής τιμής του τριωνύμου φ(Ν) = Ν(Ν-1)/2 - 23 < 0}, και επομένως, πάλι από τα γνωστά της θεωράς του τριωνύμου, θα πρέπει:
Ν < Ν1 < 7,3 ( ΙΙ )
Από τις ( Ι ), ( ΙΙ ) => 5,2 < Ν < 7,3 και επειδή ο Ν είναι φυσικός έπεται ότι
Ν = 6 ή Ν = 7.
Αντικαθιστώντας τις δύο αυτές τιμές στις εξισώσεις
Ν(Ν-1)/2 + 2χ + 1 = 23 , αν έπαιξαν μεταξύ τους οι Γ, Μ. ( ΙΙΙ )
και Ν(Ν-1)/2 + 2χ = 23 , αν δεν έπαιξαν ( ΙV ),
διαπιτώνουμε και στις δύο περιπτώσεις του Ν = (6, 7) ότι μόνον η δεύτερη ( IV ) από αυτές δινει χ φυσικό ακέραιο αριθμό. Άρα δεν έπαιξαν, κλπ.
* Τέτοια προβλήματα (γρίφοι "γαργαλιστικοί") εξιτάρουν τους μαθητές και φοιτητές, και γίνονται αφορμή να εμπεδώσουν τις μαθηματικές ιδιότητες, έχουν δηλαδή παιδαγωγική αξία. [ Όσο για τις παραγώγους, απλά αυτές σχετίζονται με τα μέγιστα ή τα ελάχιστα του τριωνύμου και θα μπορούσαν να αναφερθούν, με αφορμή την παραπάνω λύση, χωρίς να χρειάζονται στην λύση. Απλά τις ανέφερα...].
** Αλλά το σημαντικότατο μήνυμα είναι αυτό που ανέφερε ο φίλος μου: "Ο αγαπητός Πρόδρομος". Πράγματι, πόσο πολύ λείπει η αληθινή αγάπη από τον κόσμο, και πόσο διαφορετικός θα ήταν αυτός αν υπήρχε? Ίσως είναι το διαχρονικό πρόβλημα ενός κόσμου που σπαράσσεται. Να ένα δύσκολο πρόβλημα! Χαίρομαι και ευχαριστώ, για την αφορμή προβληματισμού, τον φίλο "papadim".