Eπαναστατική

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f: R \to R \,\,\,\,$ ώστε 

$\,\,\displaystyle{\frac{xf(x)+9}{2+f^2(x)}=\frac{1}{2}}$ 

με $f(0)=4$ 

1) Nα βρεθεί ο τύπος της $f$ .

2) Αν $g(x)=lnf(x)$ τότε: i) να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να εξεταστεί αν αντιστρέφεται. 

ii) να βρεθεί ο τύπος της αντίστροφης συνάρτησης. 

3) Αποδείξτε οτι $\displaystyle{\int_{0}^{3}{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+16}}}+\int_{0}^{3}{\sqrt{x^2+16}}=15}$ 

4) Nα υπολογίσετε τα 

$\displaystyle{\lim_{x \to 0^+}\frac{f(x)}{x-lnx}}$ και $\displaystyle{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\frac{e^{x^2}+f^3(x)}{sinx-cosx-1}}$.

Πηγή