Σημειώσεις Γεωμετρίας, του Γιάννη Κερασαρίδη

 ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ LEMOINE 

ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ: Πέρασαν πολλά χρόνια από τότε που η Ευκλείδεια Γεωμετρία ήταν ένα κατ’ εξοχή παιδευτικό μάθημα του νου των νέων παιδιών. Τώρα, εποχή εκπτώσεων πολλών αξιών της ζωής, υπάρχουν άνθρωποι που αγωνίζονται με πείσμα να επαναφέρουν την Ευκλείδεια Γεωμετρία στο προσκήνιο. Το mathematica έχει το προνόμιο να διαθέτει το χώρο της σε άριστους της Γεωμετρίας.

Κοντά σ’ αυτούς σκέφθηκα κι εγώ να διαθέσω τις φτωχές μου δυνάμεις στην αποκατάσταση της θέσης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.
Για το λόγο αυτό άρχισα να ανασκάφτω το αρχείο μου. Έτσι ανοίγω ένα αρχείο με θέματα που άμεσα ή έμμεσα σχετίζονται με το σημείο και του κύκλους Lemoine. Θα ακολουθήσουν αφιερώματα και σε άλλους κλασικούς.

 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 

(μερικές χρήσιμες έννοιες για τα νέα παιδιά)

ευθείες αντιπαράλληλες

Δύο ευθείες τέμνονται: μεταξύ τους στο , από ευθεία στα αντίστοιχα και από ευθεία στα αντίστοιχα. Αν τότε λέμε ότι οι ευθείες είναι αντιπαράλληλες ως προς τις [αντίστοιχα οι είναι αντιπαράλληλες ως προς τις]. 

συζυγείς ισογώνιες τριγώνου [κατά Neuberg]

Σε τρίγωνο δίνονται η διχοτόμος αυτού και τα σημεία της πλευράς . Αν , τότε οι λέγονται συζυγείς ισογώνιες. 

συμμετροδιάμεσοι τριγώνου [κατά Maurice D’ Ocagne]

Συμμετροδιάμεσος τριγώνου, από μια κορυφή του, λέγεται η συζυγής ισογώνιος της διαμέσου του τριγώνου, απ’ την ίδια κορυφή

σημείο Lemoine τριγώνου [Emil Lemoine] 

Είναι τα σημείο τομής των εσωτερικών συμμετροδιαμέσων του τριγώνου [συνηθίζεται να το συμβολίζουμε με ].

πρώτος κύκλος Lemoine

Οι τομές των πλευρών τριγώνου από τις παράλληλες, που διέρχονται από το σημείο Lemoine αυτού, είναι σημεία ομοκυκλικά. Τον κύκλο αυτό τον ονομάζουμε "πρώτο κύκλο του Lemoine" [συνήθως τον σημειώνουμε ].

δεύτερος κύκλος Lemoine

Οι τομές των πλευρών τριγώνου από τις αντιπαράλληλες προς αυτές, που διέρχονται από το σημείο Lemoine αυτού, είναι σημεία ομοκυκλικά. Τον κύκλο αυτό τον ονομάζουμε "δεύτερο κύκλο του Lemoine".

σημείο Gergonne

Είναι το κοινό σημείο των ευθ. τμημάτων που έχουν σαν άκρα τις κορυφές του τριγώνου και τα σημεία επαφής του εγγεγρ. κύκλου με τις πλευρές του τριγώνου.

Συλλογή θεμάτων με βάση Lemoine

01.Δίνονται , μια διάμεσος αυτού, σημείο εσωτερικό του και. Αν δείξτε ότι το είναι σημείο της συμμετροδιαμέσου της του . Επίσης διατυπώστε και αποδείξτε το αντίστροφο αυτής της πρότασης.

02. Διατηρώντας τις υποθέσεις του προηγούμενου θέματος (01) και λαμβάνοντας υπ’ όψη ότι η τέμνει την στο , δείξτε ότι .

03. Η εξωτερική συμμετροδιάμεσος κάθε τριγώνου είναι εφαπτόμενη του περίκυκλου αυτού του τριγώνου.

04. Οι εσωτερικές συμμετροδιάμεσοι κάθε τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο.

05. Κάθε εσωτερική συμμετροδιάμεσος τριγώνου, διέρχεται από το κοινό σημείο των δύο εξωτερικών συμμετροδιαμέσων οι οποίες αντιστοιχούν στις άλλες δύο κορυφές του τριγώνου.

06. Αν είναι τα ίχνη της εσωτερικής και της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας τριγώνου, πάνω στην και το ίχνος της εξωτερικής συμμετροδιαμέσου, που αντιστοιχεί στην κορυφή , πάνω στη , τότε το είναι μέσο της .

07. Δίνεται τρίγωνο και το εφαπτομενικό τρίγωνο αυτού. Δείξτε ότι το σημείο Lemoine του συμπίπτει με το σημείο Gergonne .

08. Δείξτε ότι το σημείο Lemoine κάθε τριγώνου απέχει από τις πλευρές του τριγώνου αποστάσεις ανάλογες των αντίστοιχων πλευρών. 

09. Αν το σημείο Lemoine τριγώνου και , δείξτε ότι

10. Το σημείο Lemoine τριγώνου είναι το σημείο του επιπέδου του τριγώνου, του οποίου το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τις πλευρές του είναι ελάχιστο.

11. Το σημείο Lemoine κάθε τριγώνου είναι βαρύκεντρο του ποδικού τριγώνου του σημείου αυτού, ως προς το αρχικό τρίγωνο και αντίστροφα.

12. Αν το ποδικό τρίγωνο του σημείου Lemoine τριγώνου , τότε ισχύει:

13. Από το σημείο Lemoine τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου, τις: , με: . Δείξτε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

14. Σε τρίγωνο ο πρώτος κύκλος Lemoine αυτού, τέμνει την στα . Δείξτε ότι . Δείξτε, ακόμα, ότι το ίδιο ισχύει και για τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου.

15. Ισχύουν οι υποθέσεις της άσκησης 14 κι επί πλέον: ο πρώτος κύκλος Lemoine τέμνει τις στα και , περίκυκλος του είναι ο , κύκλος Lemoine είναι ο . 

Δείξτε ότι:

, ,

16. Οι αντιπαράλληλες ευθείες προς τις πλευρές τριγώνου που διέρχονται από το σημείο Lemoine αυτού, τέμνουν τις πλευρές του τριγώνου σε έξι σημεία ομοκυκλικά.

με εκτίμηση

Γιάννης Κερασαρίδης