Θεωρούμε πάνω σε κύκλο $n$ διαφορετικά σημεία, τέτοια ώστε να μην υπάρχουν τρεις χορδές που ορίζονται από αυτά τα σημεία που να περνούν από το ίδιο σημείο στο εσωτερικό του κύκλου.
(α) Να βρείτε την τιμή του $n$, αν ο αριθμός των τριγώνων που ορίζονται με κορυφές τρία από τα $n$ σημεία ισούται με $2n$.
(β). Να βρείτε την τιμή του $n$, αν ο αριθμός των σημείων τομής των χορδών που βρίσκονται στο εσωτερικό του κύκλου ισούται με $5n$.
Προκριματικός διαγωνισμός Νέων 2013
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
(α) $n$ σημεία σε κύκλο, αν θυμάμαι καλά, δίνουν $C(n,3)$ τρίγωνα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΆρα $C(n,3)=2n \Rightarrow n=5$
(β) Μια τεχνική προσέγγιση
ΑπάντησηΔιαγραφήΤομές χορδών στο εσωτερικό του κύκλου και με την προϋπόθεση ότι δεν “υπάρχουν τρεις χορδές που ορίζονται από αυτά τα σημεία που να περνούν από το ίδιο σημείο”.
$3$ σημεία, $0$ τομές χορδών.
$4$ σημεία, $1$ τομή χορδών
$5$ σημεία, $(1)+(2+2)=1+4=5$ τομές
$6$ σημεία, $(5)+(2(2+3))=5+10=15$ τομές.
$7$ σημεία $(15)+(2(4+6))=15+20=35=5\cdot7$
άρα $n=7$
Θεωρώντας ότι έχω την άδεια του κ. Ρωμανίδη προσθέτω τα παρακάτω ερωτήματα, για μεγαλύτερα παιδιά (το (δ) ερώτημα).
ΑπάντησηΔιαγραφή(γ) Να βρείτε την τιμή του $n$, αν ο αριθμός των τριγώνων που ορίζονται με κορυφές τρία από τα $n$σημεία ισούται με $92n$.
(δ). Να βρείτε την τιμή του $n$, αν ο αριθμός των σημείων τομής των χορδών που βρίσκονται στο εσωτερικό του κύκλου ισούται με $1496n$.
Ευθύμη, δεν προσδιόρισες όριο ηλικίας, αλλά θεωρώντας ότι το 30+ με καλύπτει, θα προσπαθήσω να απαντήσω στο δ ερώτημά σου :-).
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν έχουμε ν σημεία σε κύκλο τότε ο μέγιστος συνολικός αριθμός Τ(ν) των εσωτερικών τομών μεταξύ των χορδών είναι το πλήθος των συνδυασμών των ν σημείων ανά 4, αφού οποιαδήποτε 4 σημεία στην περιφέρεια δίνουν (χιαστί) ένα εσωτερικό σημείο τομής, αυτό μεταξύ των διαγωνίων χορδών:
Τ(ν) = C(ν,4) = ν*(ν-1)*(ν-2)*(ν-3) / (1*2*3*4)
Ο μέγιστος ισχύει όταν οι χορδές δεν τέμνονται στο ίδιο σημείο ανά τρεις ή περισσότερες, πράγμα που είναι δεδομένο στην περίπτωσή μας.
Επομένως αν Τ(ν) = 1496ν ==> (ν-1)(ν-2)(ν-3) = 24*1496 = 35904 ==> ν=35
Με την άδεια της σημαίας (του ιστολογίου εννοώ) κι εγώ, προτείνω στους φίλους όλων των ηλικιών το εξής ερώτημα:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν έχουμε ν σημεία σε κύκλο, σε πόσες το πολύ περιοχές χωρίζεται ο κυκλικός δίσκος από όλες τις χορδές που τα συνδέουν ανά δύο;