Πέμπτη 26 Μαρτίου 2015

Χρωματισμένα ημικύκλια

Το άθροισμα των εμβαδών των δύο χρωματισμένων ημικυκλίων ισούται με το μισό εμβαδόν του κύκλου που τα περιέχει;
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 26.3.15
Ετικέτες , ,

7 σχόλια:

  1. Eleochori Kavala26 Μαρτίου 2015 στις 9:15 μ.μ.

    Αφού τα χρωματιστά εμβαδα περιέχονται μεσα στον εξωτερικο κυκλο λογικα ειναι αδυνατον αθροιζομενα να δινουν το εμβαδον του εξωτερικου... εκτος αν δεν καταλαβαινω εγω σωστα την ερωτηση..

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ26 Μαρτίου 2015 στις 9:26 μ.μ.

    Η ερώτηση έπρεπε να είναι:
    Το εμβαδόν των χρωματισμένων ημικυκλίων ισούται με το υπόλοιπο το κύκλου (εκτός των χρωματισμένων ημικυκλίων);

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ26 Μαρτίου 2015 στις 9:35 μ.μ.

      ή με το μισό εμβαδόν του κύκλου που τα περιέχει (που είναι το ίδιο)

      Διαγραφή
  3. Σωκράτης Δ. Ρωμανίδης26 Μαρτίου 2015 στις 9:49 μ.μ.

    Το διόρθωσα. Σας ευχαριστώ για την υπόδειξη ...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ26 Μαρτίου 2015 στις 11:24 μ.μ.

    Ενδιαφέρον θέμα
    Έστω $R, \ r_{1},\ r_{2}$ οι ακτίνες του μεγάλου κύκλου, του πράσινου και κίτρινου ημικυκλίου αντίστοιχα.
    Εμβαδόν πρ.+κιτ. ημικυκλίου $\dfrac{\pi (r_{1}^2+r_{2}^2)}{2}$
    Εύκολα αποδεικνύεται ότι τα τόξα(*) του μεγάλου κύκλου μεταξύ πράσινου και κίτρινου ημικυκλίου είναι ίσα με $ \dfrac{1}{4}$ της περιμέτρου το καθένα από τα δύο (πάνω και κάτω) και έστω $A$ το μήκος της χορδής που αντιστοιχεί σε αυτά, άρα $A^2=2R^2$
    Είναι $2r_{1}^2+ 2r_{2}^2=A^2=2R^2$ (Π.Θ στο ορθογώνιο που σχηματίζεται από το σημείο επαφής των δύο ημικυκλίων και τα άκρα του τόξου(*), άρα $r_{1}^2+ r_{2}^2=R^2 \Rightarrow $
    $\dfrac{ \pi (r_{1}^2+r_{2}^2)}{2}=\dfrac{ \pi R^2}{2}$ και το ζητούμενο εδείχθη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. papadim27 Μαρτίου 2015 στις 4:44 μ.μ.

    Ευθύμη, έχεις τα ταπεινά μου συγχαρητήρια για την ωραία σου λύση!
    Ας μου επιτραπεί μια απόπειρα απόδειξης για το εύκολο κομμάτι της, σχετικά με τα δύο τόξα μεταξύ των σημείων τομής των ημικυκλίων με τον κύκλο.
    Έστω Α και Β τα σημεία τομής του πράσινου ημικυκλίου με τον κύκλο, Γ και Δ τα σημεία τομής του κίτρινου ημικυκλίου με τον κύκλο (πάνω και κάτω αντιστοίχως), Κ το σημείο επαφής των δύο ημικυκλίων και χχ’ η εφαπτομένη των δύο ημικυκλίων στο σημείο Κ. Ισχύουν τα εξής:
    γ.ΑΒΚ=γ.ΚΓΔ=45º (ως εγγεγραμμένες που βλέπουν σε τεταρτοκύκλια) και
    γ.χΚΑ=γ.ΑΒΚ, γ.χ’ΚΔ=γ.ΚΓΔ (ως γωνίες χορδής – εφαπτομένης)
    Επομένως, γ.χΚΑ=γ.χ’ΚΔ=45º, τα σημεία Α,Κ,Δ είναι συνευθειακά και η γ.ΒΑΔ=γ.ΑΒΚ=45º είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο, άρα βλέπει σε τεταρτοκύκλιο, δηλαδή το τόξο ΒΔ είναι 90º. Αντιστοίχως και το τόξο ΑΓ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ28 Μαρτίου 2015 στις 1:42 μ.μ.

      Να είσαι καλά Θανάση. Σε ευχαριστώ, αν και δεν ήταν και τίποτα σπουδαίο, από ...αρχιτεκτονική σκοπιά τουλάχιστον! :-)

      Διαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)