Στο παρακάτω σχήμα, να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του τετραγώνου του εγγεγραμμένου στο ημικύκλιο, ισούται με τα $\frac{2}{5}$ του εμβαδού του τετραγώνου που είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο με την ίδια ακτίνα.
Κάντε κλικ στο παρακάτω σχήμα για να δείτε την εξαιρετική λύση που μου έστειλε ο κ. Κώστας Δόρτσιος.
Δείτε εδώ ένα δυναμικό σχήμα, στο οποίο φαίνεται η λειτουργία του μετασχηματισμού της ομοιοθεσίας αυτής.
Η πλευρά του εγγεγραμμένου στο κύκλο τετραγώνου είναι r*$\sqrt{2} $, άρα το εμβαδόν του είναι $2*r^{2 }$
ΑπάντησηΔιαγραφήΕστω Χ η πλευρά του εγγεγραμμένου στο ημικύκλιο τετραγώνου. Εάν φέρουμε στο ημικύκλιο μία ακτίνα έως τη μία από τις δύο κορυφές του τετραγώνου που ευρίσκονται στη περιφέρεια, σχηματίζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές Χ και Χ/2 και υποτείνουσα r. Οπότε $r^{2 }$=$5*X^{2 }/4$, και επομένως $Χ^{2 }$=$4*r^{2 }/5$, δηλαδή τα 2/5 του πρώτου τετραγώνου
Και μια όμορφη οπτική απόδειξη "χωρίς λόγια" :
ΑπάντησηΔιαγραφήhttp://www.futilitycloset.com/wp-content/uploads/2013/11/2013-11-25-some-odd-theorems-2.png