Δευτέρα 6 Οκτωβρίου 2014

Άθροισμα ακέραιων ριζών

Να βρεθεί το άθροισμα των ακέραιων τιμών του $x$, που ικανοποιούν την σχέση
$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$.
2012 Singapore Math Olympiad (Senior Round 1)
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 6.10.14
Ετικέτες , ,

4 σχόλια:

  1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ6 Οκτωβρίου 2014 στις 8:29 μ.μ.

    Θέτω $ \sqrt{x-1}=y \Rightarrow x-1=y^2 \Rightarrow x=y^2+1 $
    και η δοθείσα σχέση γίνεται:

    $ \sqrt{y^2+1+3-4y} + \sqrt{y^2+1+8-6y}=1 \Rightarrow $

    $ \sqrt{y^2+4-4y} + \sqrt{y^2+9-6y}=1 \Rightarrow $

    $ \sqrt{(y-2)^2} + \sqrt{(y-3)^2}=1 \Rightarrow $

    Παρατηρώ ότι όλες οι τιμές $2 \leq y \leq 3$ επαληθεύουν
    την παραπάνω εξίσωση.
    για $y=2 \Rightarrow 0+ \sqrt{(-1)^2} =0+1=1 $, επαληθεύει

    για $y=3 \Rightarrow \sqrt{(3-2)^2}+0 =1+0=1 $, επαληθεύει

    για $y=2+a, 0<a<1 \Rightarrow $

    $ \sqrt{(2+a-2)^2}+ \sqrt{(2+a-3)^2} = a+(1-a)=1$, επαληθεύει

    Επειδή όμως το πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός
    το $y$ πρέπει να πάρει τις τιμές:

    $y= 2,\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{7},\sqrt{8},3$

    και άρα το $x=y^2+1=2^2+1,\ (\sqrt{5})^2+1,\ (\sqrt{6})^2+1 $, $(\sqrt{7})^2+1,\ (\sqrt{8})^2+1, \ 3^2+1 $

    Άρα οι τιμές που ικανοποιούν την παραπάνω σχέση είναι :

    $x=5, 6, 7, 8 ,9 ,10$ και το άθροισμα αυτών

    $ \Sigma _{x} =5+6+7+8+9+10=45$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Papaveri8 Οκτωβρίου 2014 στις 8:55 μ.μ.

    [sqrt(y-2)^2+sqrt(y-3)^2=1 ---> y-2+y-3=1 ---> 2y-5=1 ---> 2y=5+1 --->
    2y=6 ---> y=6/2 ---> y=3 (2)
    Αντικαθιστούμε τη (2) στη x=y^2+1 κι’ έχουμε:
    x=y^2+1 ---> x=3^2+1 ---> x=9+1 ---> x=10
    Επαλήθευση:
    [sqrt(x+3)-4*sqrt(x-1)]+[sqrt(x+8)-6*sqrt(x-1)]=1 --->
    [sqrt(10+3)-4*sqrt(10-1)]+[sqrt(10+8)-6*sqrt(10-1)]=1 --->
    [sqrt(13-4*sqrt(9)]+[sqrt(18)-6*sqrt(9)]=1 --->
    [sqrt(13-4*sqrt(9)]+[sqrt(18-6*sqrt(9)]=1 ---> [sqrt(13-(4*3)]+[sqrt(18-6*3)]=1 --->
    [sqrt(13-12]+[sqrt(18-18)]=1 ---> sqrt(1)+sqrt(0)=1 ---> 1+0=1 ο.ε.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)