Με αναδιάταξη των ψηφίων του αριθμού $123456789$ μπορούμε να πάρουμε αριθμούς που διαιρούνται με το $11$.
Για παράδειγμα $123475869, 459267831$ και $987453126$. Πόσοι τέτοιοι αριθμοί υπάρχουν;
2010 Singapore Math Olympiad (Junior Round 1)
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Αθρ.ψηφίων=45 =0 mod 9 για κάθε μετάθεση.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια να διαιρείται μια μετάθεση με το 11 πρέπει η διαφορά των περιττού αύξοντος αριθμου ψηφίων (5) μείον τα άρτιου αυξ.αριθμού (4) να είναι 11. (δεν γίνεται να είναι 22 ή 33 .Θα ξεπέρναγε το αθροισμα το 45 )
Άρα το 1ο 3ο 5ο 7ο και 9ο ψηφίο πρέπει να σουμάρουν 28 και το 2ο 4ο 6ο και 8ο πρέπει να σουμάρουν 17 (28-17=11)
Η τετράδα ας πούμε (2,4,6,5) θα συνδυαστεί με την πεντάδα (1,3,8,7,9) ---π.χ 12 34 86 75 9=123486759=0 mod 11
Υπάρχουν 8 δυνατές τετράδες με άθροισμα 17:
(2,4,5,6)
(2,3,5,7)
(1,4,5,7)
(1,3,6,7)
(1,3,5,8)
(2,3,4,8)
(1,2,6,8)
(1,3,4,9)
8 τετράδες Χ 4! (οι μεταξύ της καθεμιάς μεταθέσεις) Χ 5! οι αντίστοιχες απέναντι (της υπολοιπόμενης πεντάδας ψηφίων)
8*4!*5!=23040 αριθμοί που διαιρούνται με το 11 (και το 9 βεβαίως. τόσα είναι δηλαδή και οι 0 mod 99)
Παραλείψατε την τετράδα (1,2,5,9). Παρεμπιπτόντως, μήπως γνωρίζετε το πώς υπολογίζουμε τον αριθμό των τετράδων (9);
ΑπάντησηΔιαγραφήΔεν ξέρω κάποιον συστηματικό τρόπο για το συγκεκριμένο. Το έκανα με brute force (δηλαδή εξέταση περιπτώσεων, μίας προς μία)
ΔιαγραφήYπάρχει όμως κι άλλο θέμα με τη λύση.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν Π το άθροισμα περιττής τάξης ψηφίων και Α τα άρτια, μπορεί να είναι Π=17 και Α=28 ή Π=28 και Α=17
Υπάρχουν 9 τρόποι όντως για τέσσερα ψηφία να σουμάρουν 17, ήτοι: {9,4,3,1}, {9,5,2,1}, {8,6,2,1}, {8,5,3,1}, {8,4,3,2}, {7,6,3,1}, {7,5,4,1},{7,5,3,2},{6,5,4,2}. Υπάρχουν 2 τρόποι για 4 ψηφία να σουμάρουν 28, ήτοι: {9,8,6,5} και {9,8,7,4}
Συνολικοί τρόποι: $11 * 4! *5!=31680$
κι αυτή είναι η πραγματικά σωστή απάντηση, κυρίες και κύριοι.