Να λυθεί το σύστημα:
$x+y+z+w=4$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{w}=5-\frac{1}{xyzw}$
όπου $x,y,z,w\in{R^+}$.
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία - Διαγωνισμός Επιλογής 2010
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Έστω x=1, y=1, z=1 και w=1
ΑπάντησηΔιαγραφήΑντικαθιστούμε τις τις τιμές στην (1) κι' έχουμε:
x+y+z+w=4 ----> 1+1+1+1=4
Αντικαθιστούμε τις τις τιμές στην (2) κι' έχουμε:
(1/x)+(1/y)+(1/z)+1/w)=5-1/xyzw --->
(1/1)+(1)+(1/1)+(1/1)=5-1/1*1*1*1 ----> 1+1+1+1=5-1/1 --->
4=5-1 ο.ε.δ.
Διόρθωση:
ΑπάντησηΔιαγραφή(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1)=5-1/1*1*1*1 ----> 1+1+1+1=5-1/1 --->
4=5-1 ο.ε.δ.
Σωκράτη, μήπως ζητείται λύση για θετικούς πραγματικούς;
ΑπάντησηΔιαγραφήΣ'αυτήν την περίπτωση με εφαρμογή της ανισότητας Αρ.Μέσου-Γεωμετρ.Μέσου δύο φορές καταλήγουμε στο $\[ (x+y+z+w)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{w}\right)\ge 16\ \Rightarrow xyzw\ge 1 \] $ και στο $xyzw \leq 1$ (από την x+y+z+w=1 άρα (x+y+z+w)/4)^4<= xyzw ) ,άρα μοναδικές θετικές πραγματικές λύσεις οι άσσοι.
Παρντόν. Ορθή επανάληψη του μασημένου:
ΑπάντησηΔιαγραφή$\ (x+y+z+w)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{w}\right)\ge 16\ \Rightarrow xyzw\ge 1 \$
Τρίτη και φαρμακερή...?
ΑπάντησηΔιαγραφή$(x+y+z+w)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{w}\right)\ge 16\ \Rightarrow xyzw \geq 1$
Γιώργο, έχεις δίκιο. Το διόρθωσα. Ευχαριστώ ...
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚάνοντας πράξεις στην δεύτερη εξίσωση έχουμε: 4/xyzw =5-1/xyzw,λύνοντας έχουμε: 5/xyzw =5 δηλαδή xyzw=1,συνεπώς το σύστημα γίνεται: x+y+z+w=4 και 1/x +1/y +1/z+1/w=4,εξισώνοντας τα πρώτα μέλη των εξισώσεων έχουμε x+y+z+w=1/x +1/y +1/z+1/w (1).Από την ανισότητα αριθμητικού γεωμετρικού και αρμονικού μέσου μέσου γενικά για α1,α2,α3,α4 θετικούς πραγματικούς αριθμούς,είναι: Αριθμητικός μέσος (α1,α2,α3,α4)>=Γεωμ.μέσος (α1,α2,α3,α4) >= Αρμονικός μέσος (α1,α2,α3,α4),η ισότητα ισχύει όταν α1=α2=α3=α4=1.Συνεπώς η λύση του συστήματος ,λόγω της εξίσωσης (1) είναι:x=y=z=w=1.
ΑπάντησηΔιαγραφή