Ένας λαγός τρέχει με 100 βήματα μπροστά από ένα σκύλο. Ο σκύλος τον καταδιώκει για 250 βήματα, τότε οι δυό τους απέχουν μόλις 30 βήματα. Σε πόσα βήματα θα έφτανε ο σκύλος το λαγό;
Πηγή:
Λύση του Ν. Λιλιμπάκη
Αρχαίο
Κινέζικο Πρόβλημα. Από την «Κλασσική Αριθμητική του Suan-Ching», τ’ οποίο
περιλαμβάνει 92 προβλήματα, του Κινέζου μαθηματικού Quijian Zhang (430-490), γνωστός
ως (Sun Tsu Suan Ching ή Chang Ch’ui - Chin ή Chang Ch’ui - .chien), που δημοσιεύθηκε το 468μ.Χ.,
Ο σκύλος και ο λαγός θα συναντηθούν σε 50 βήματα. Ο σκύλος
θα φτάσει το λαγό αφού η ταχύτητά του είναι μεγαλύτερη (250 > 100). Έστω «Σ» ο σκύλος, «Λ» ο λαγός και «ΣΑ» το σημείο συνάντησης
που απέχει από το λαγό απόσταση «χ» βήματα (το βήμα είναι μονάδα μήκους). Η
ταχύτητα του σκύλου είναι 250 μονάδες ενώ του λαγού 100 μονάδες (βήματα ανα μονάδα
χρόνου). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
(ΛΑ)
= (ταχύτητα λαγού)*(χρόνος t για να φθάσει
στο Α) (1)
(ΣΑ) = (ΣΛΑ) +(ΛΑ) (2)
(ΣΑ) = (ταχύτητα σκύλου)*(χρόνος t για να φθάσει στο Α) (3)
(ΣΑ) = (ΣΛΑ) +(ΛΑ) (2)
(ΣΑ) = (ταχύτητα σκύλου)*(χρόνος t για να φθάσει στο Α) (3)
Από
την (1) συνάγουμε ότι:
(ΛΑ)
= (ταχύτητα λαγού)*(χρόνος t για να φθάσει
στο Α) ---> (ΛΑ)=100*t (4)
Αντικαθιστούμε
την (1) στη (2) κι’ έχουμε:
(ΣΑ)
= (ΣΛΑ) +(ΛΑ) ---> (ΣΑ)=30+100*t (5)
Από
τη (3) συνάγουμε ότι:
(ΣΑ)
= (ταχύτητα σκύλου)*(χρόνος t για να φθάσει
στο Α) ---> (ΣΑ)=250*t (6)
Αντικαθιστούμε
την (6) στη (5) κι’ έχουμε:
(ΣΑ)=30+100*t ---> 250*t=30+100*t ---> 250*t-100*t=30 --->150*t=30 --->
t=30/150 ---> t=0.2 μονάδες χρόνου (7)
Αντικαθιστούμε
την (7) στις (4) (5) και (6) κι’ έχουμε:
(ΛΑ)=100*t ---> (ΛΑ)=100*0,2 ---> (ΛΑ)=20 βήματα (8)
(ΣΑ)=30+100*t ---> (ΣΑ)=30+100*0,2 ---> (ΣΑ)=30+20=50 βήματα
(9)
(ΣΑ)=250*t ---> (ΣΑ)=250*0,2 ---> (ΣΑ)=50 βήματα (10)
Κάρλο επειδή αυτό είναι πρόβλημα πρακτικής αριθμητικής (δημοτικό) θα το λύσω με εργαλείο την πρακτική αριθμητική και για να μην μείνει άγραφη η σελίδα αλλά και γιατί μπορεί να διαβάζουν Διασκεδαστικά Μαθηματικά μαθητές Δημοτικού!
ΑπάντησηΔιαγραφήΠρόκειται για κλασικό πρόβλημα πρακτικής αριθμητικής που επιλύεται με την απλή μέθοδο των τριών, τη μέθοδο δηλαδή, όπου από τις τρεις γνωστές τιμές βρίσκουμε την τέταρτη.
Όταν ο λαγός κάνει $100$ βήματα ο σκύλος κάνει $250$, άρα πλησιάζει τον λαγό κατά $150$ βήματα, οπότε λέμε:
Στα $100$ β.λ. ο σκύλος πλησιάζει κατά $150$ βήματα
Σε πόσα $(X;)$ β.λ. ο σκύλος θα πλησιάσει κατά $30$;
$X=100 \times \dfrac{30}{150} =20$ βήματα
ή με βάση τα βήματα (ταχύτητα) του σκύλου
Στα $250$ β.σκ. ο σκύλος πλησιάζει κατά $150$ βήματα
Σε πόσα $(X;)$ β.σκ. ο σκύλος θα πλησιάσει κατά $30$;
$X=250 \times \dfrac{30}{150} =50$ βήματα
Υ.Γ Όταν έστειλα την λύση δεν είχα δει ότι είχες αναρτήσει την λύση με εξισώσεις, ως εκ τούτου η ανάρτηση μου δεν έχει να κάνει με την παραπάνω ανάρτηση και δεν έχει καμίας μορφής αντιπαράθεση.
ΔιαγραφήΕυθύμη κανένα πρόβλημα, απλά έδωσες μια λύση από διαφορετική σκοπιά. Καλό είναι να υπάρχουν διαφορετικές απόψεις σε μια λύση που να συγκλείνουν, όμως, στη σωστή λύση.
Διαγραφή