Τετάρτη 15 Οκτωβρίου 2014

Ντουζίνες από σύνθετους

Επιλέγονται τυχαία $12$ σύνθετοι αριθμοί ανάμεσα στους φυσικούς από το $1$ έως και το $1200$. Δείξτε πως θα υπάρχουν πάντα, ανάμεσα στους δώδεκα, δύο αριθμοί με κοινό παράγοντα μεγαλύτερο της μονάδας.
Αναρτήθηκε από στις 15.10.14
Ετικέτες

6 σχόλια:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS15 Οκτωβρίου 2014 στις 4:23 μ.μ.

    Nα διευκρινίσω κάτι. Το "επιλέγονται τυχαία" της εκφώνησης δεν σημαίνει με βάση μια ομοιόμορφη ας πούμε κατανομή.
    Το ζητούμενο προς απόδειξη ισχύει για ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ δωδεκάδα σύνθετων (μη πρώτων) αριθμών ανάμεσα στο 1 και το 1200.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. stratos15 Οκτωβρίου 2014 στις 4:31 μ.μ.

    Μία κάπως "μπακαλίστικη" προσέγγιση που σκέφτομαι είναι η εξής:
    Οι 24 μικρότεροι πρώτοι αριθμοί είναι οι 2,3,5,......79,83. Με αυτούς τους 24 πρώτους είναι αδύνατον να σχηματίσουμε 12 γινόμενα των 2, που να είναι όλα μικρότερα του 1200. (με δοκιμή και σφάλμα).
    Επομένως δεν μπορούν να υπάρξουν 12 σύνθετοι αριθμοί, μικρότεροι του 1200, που να είναι πρώτοι μεταξύ τους.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. RIZOPOULOS GEORGIOS15 Οκτωβρίου 2014 στις 5:02 μ.μ.

    Στράτο, δεν έχω ελέγξει την trial and error προσέγγισή σου, αλλά προφανώς είναι σωστή (αφού ξέρω πως το προς απόδειξη είναι αληθές. :-) ).
    Πάντως, νομίζω πως δεν είσαι μακριά, καθόλου μακριά μάλιστα, και από την αυστηρή απόδειξη. Κάθε σύνθετος <1200 πρέπει να έχει έναν πρώτο παράγοντα συγκεκριμένου εύρους...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. stratos15 Οκτωβρίου 2014 στις 5:08 μ.μ.

    Εχεις δίκιο Γιώργο. Κάθε σύνθετος αριθμός, πρέπει να έχει τουλάχιστον έναν πρώτο παράγοντα μικρότερο της τετραγωνικής του ρίζας. Και εφ'όσον η τετραγωνική ρίζα του 1200 είναι περίπου 34,6, αναζητούμε 12 διαφορετικούς πρώτους μικρότερους του 35, πράγμα άτοπο, γιατί είναι μόνον 11! (2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. RIZOPOULOS GEORGIOS15 Οκτωβρίου 2014 στις 5:52 μ.μ.

    Aς μου επιτραπεί να αναλύσω λίγο τη λύση του Στράτου, για τις φίλες και φίλους που ενδεχομένως δεν έχουν μεγάλη οικειότητα με τη Θεωρία Αριθμών.
    Οποιοσδήποτε σύνθετος αριθμός αναλύεται (και μάλιστα με μοναδικό τρόπο. Αυτό λέει το "θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής" ) σε γινόμενο πρώτων. Ένας λοιπόν τουλάχιστον από τους πρώτους παράγοντές του, πρέπει να είναι υποχρεωτικά μικρότερος από την τετραγωνική ρίζα του. Αν δεν ίσχυε αυτό, ο μικρότερος πρώτος θα ήταν μεγαλύτερος από την τετρ.ρίζα , άρα το οποιοδήποτε γινόμενό του με άλλους πρώτους μεγαλύτερους ,θα ξεπερνούσε προφανώς το σύνθετο αριθμό. Άτοπο.
    Η ρίζα του 1200 είναι περίπου 34,6.
    Οι πρώτοι που είναι μικρότεροι από 34,6 είναι οι:
    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.
    Ένδεκα τον αριθμό, άρα (από απλή καταμέτρηση (γνωστή και σαν "περιστερώνα")) ένας απ'αυτούς πρέπει υποχρεωτικά να διαιρεί 2 σύνθετους αριθμούς από τους 12. Aυτοί λοιπόν οι δύο αριθμοί έχουν κοινό παράγοντα αυτόν τον πρώτο, άρα δεν είναι μεταξύ τους πρώτοι (δηλαδή έχουν κοινό παράγοντα μεγαλύτερο της μονάδας). Αυτό ήταν το ζητούμενο προς απόδειξη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)