Στην επίπεδη πλατεία του Gun-town έχουν συγκεντρωθεί $ν$ πιστολάδες. Δεν υπάρχουν τρεις στην ίδια ευθεία, και οι αποστάσεις μεταξύ όλων των ζευγαριών είναι διαφορετικές. Με το σινιάλο, κάθε πιστολάς πυροβολεί μία φορά τον άνδρα που βρίσκεται κοντύτερά του. Δείξτε πως αν ο $ν$ είναι περιττός, τότε τουλάχιστον ένας πιστολάς επιζεί. Δείξτε επίσης πως αν ο $ν$ είναι άρτιος, τότε είναι δυνατόν να σκοτωθούν όλοι.Τετάρτη 15 Οκτωβρίου 2014
Μαθηματικά δυτικά του Πέκος
Στην επίπεδη πλατεία του Gun-town έχουν συγκεντρωθεί $ν$ πιστολάδες. Δεν υπάρχουν τρεις στην ίδια ευθεία, και οι αποστάσεις μεταξύ όλων των ζευγαριών είναι διαφορετικές. Με το σινιάλο, κάθε πιστολάς πυροβολεί μία φορά τον άνδρα που βρίσκεται κοντύτερά του. Δείξτε πως αν ο $ν$ είναι περιττός, τότε τουλάχιστον ένας πιστολάς επιζεί. Δείξτε επίσης πως αν ο $ν$ είναι άρτιος, τότε είναι δυνατόν να σκοτωθούν όλοι.
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
190 Αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Twitter X
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Pinterest
Desmos Activities
Ultimate AI Math Solver
Photomath
The Ultimate Math Help App
Wikipedia - Mathematics
Google Gemini
OpenAI - Chat GPT
DeepL Translator
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία
Canadian Mathematical Society (CMS)
The William Lowell Putnam Mathematics Competition (Archive 1985 - 2021)
Art of Problem Solving ONLINE
Leonardo Fibonacci
Kurt Friedrich Gödel
Ευκλείδης
Αρχιμήδης
Leonard Euler
Georg Cantor
Pierre-Simon Laplace
René Descartes
Joseph-Louis Lagrange
Πιερ ντε Φερμά
Gottfried Wilhelm Leibniz
Εφ'όσον όλες οι ανά δύο αποστάσεις είναι διαφορετικές, θεωρούμε τους δύο πλησιέστερους πιστολάδες. Με το σινιάλο, αυτοί οι δύο θα αλληλοπυροβοληθούν, και πιθανότατα θα αλληλοσκοτωθούν.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπομένουν ακόμα ν-2 πιστολάδες. Εχουμε δύο ενδεχόμενα:
Αν τουλάχιστον ένας από αυτούς έχει ως κοντινότερο έναν από τους δύο προηγούμενους, τότε θα πυροβολήσει αυτόν. Οπότε θα απομένουν πλέον να πυροβολήσουν ν-3 ακόμα πιστολάδες, ενώ οι ζωντανοί θα παραμένουν ν-2. Αρα τουλάχιστον ένας θα παραμείνει ζωντανός στο τέλος.
Αν κανένας από τους υπόλοιπους ν-2 δεν έχει ως κοντινότερο κάποιον από τους αρχικούς δύο, τότε ξαναεφαρμόζουμε την ίδια συλλογιστική: Επιλέγουμε από τους ν-2 τους δύο πλησιέστερους που αλληλοπυροβολούνται, αλληλοσκοτώνονται κλπ....
Στο τέλος, αν ο ν είναι περιττός, θα απομείνει σίγουρα τουλάχιστον ένας επιζών. Αν ο ν είναι άρτιος ενδέχεται να μην υπάρξει επιζών, εάν όλοι βρίσκονται σε ζευγάρια ελάχιστης απόστασης μεταξύ τους.
Συμφωνώ απόλυτα με την ανάλυση του Στράτου και ας μου επιτρέψει να τη συνοψίσω ως εξής:
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια να σκοτωθούν όλοι, κανένας πιστολάς δεν πρέπει να είναι ο κοντινότερος περισσότερων του ενός από τους άλλους πιστολάδες. Για να συμβεί όμως αυτό, δεδομένου ότι όλες οι ανά δύο αποστάσεις είναι διαφορετικές μεταξύ τους, αν ένας οποιοσδήποτε πιστολάς Α έχει κοντινότερο τον Β, θα πρέπει και ο Β να έχει κοντινότερο τον Α. Επομένως, σκοτώνονται και οι ν πιστολάδες μόνο με την προϋπόθεση ότι σχηματίζουν ν/2 ζευγάρια μεταξύ τους, πράγμα που είναι δυνατό μόνο για ζυγό ν.
Oι καλοί σχολιαστές κάλυψαν το θέμα πλήρως θεωρώ,οπότε η μοναδική δόκιμη προσθήκη από μένα είναι τα αχρείαστα μεν αλλά χρειαζούμενα (ωραίος "αποκλειόμενος τρίτος"...ε;) συγχαρητήρια! :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΓιώργη, να είσαι καλά! Ωστόσο 'αποκλειόμενος τρίτος' αποκλείεται να είναι κάποιος που είναι πρώτος, χωρίς όμως να αποκλείεται να είναι και ωραίος! :-)
Διαγραφή