Ο R. Mankiewicz περιγράφει τις «τοµές Dedekind» ως εξής: «Φανταστείτε την ευθεία των αριθµών σαν ένα στερεό σωλήνα απείρου µήκους γεµάτο µε διατεταγµένους ρητούς αριθµούς. Μια τοµή του σωλήνα θα µας δώσει δυο τµήµατα, έστω Α και Β, και θα µας αποκαλύψει δύο διατοµές (τα άκρα των Α και Β).
Κοιτάζοντας τις εκτεθειµένες αυτές πλευρές µπορούµε να διαβάσουµε τους αριθµούς που µας δείχνουν (η µια ή η άλλη). Αν δεν µας δείχνουν κανέναν αριθµό, τότε η τοµή έχει γίνει σε έναν άρρητο». Για παράδειγµα, έστω ότι το αριστερό τµήµα Α περιέχει όλους τους ρητούς που είναι µικρότεροι του 2 και το δεξιό τµήµα Β εκείνους που είναι µεγαλύτεροι ή ίσοι του 2. Το 2 είναι η «τοµή». Αν τώρα το τµήµα Α περιέχει τους ρητούς των οποίων το τετράγωνο είναι µικρότερο του 2 και το τµήµα Β εκείνους που το τετράγωνό τους είναι µεγαλύτερο του 2, και πάλι ορίζεται η «τοµή»: είναι το 2 (Kaplan & Kaplan, 2004).
Συνεπώς το σύνολο των πραγµατικών αριθµών είναι το σύνολο όλων των δυνατών τοµών. Οι «τοµές Dedekind» µε τις οποίες τα σύγχρονα µαθηµατικά ορίζουν τους ασύµµετρους αριθµούς, παρουσιάζουν µεγάλη οµοιότητα, όπως έχουµε ήδη αναφέρει, µε τη θεωρία του Ευδόξου όπως αυτή παρουσιάζεται στο V βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη. Ο ορισµός του Dedekind για τους άρρητους, όµως, απαιτεί τη χρήση απειροσυνόλων ρητών αριθµών. Έτσι, τελικά, το ενεργεία άπειρο έπρεπε να δηλωθεί σαφώς στα µαθηµατικά, ώστε να παρέχει τα θεµέλια για τους αριθµούς που χρησιµοποιούνται και στην αναλυτική γεωµετρία και στον απειροστικό λογισµό.
Οι τομές του Ντέντεκιντ αποδεικνύουν την πληρότητα των πραγματικών αριθμών χωρίς το αξίωμα της επιλογής ,και –επί της ουσίας- μάς δείχνουν πως όλοι οι ρητοί περιγράφονται από κάποια τομή, ΑΛΛΑ υπάρχουν τομές που δεν αντιστοιχούν σε ΚΑΝΕΝΑ ρητό ,κι αυτές ακριβώς οι δεύτερες τομές ορίζουν τους άρρητους.
ΑπάντησηΔιαγραφή