Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο του οποίου το άθροισμα των ψηφίων του, καθώς και το άθροισμα των ψηφίων του επόμενού του ακεραίου να διαιρούνται με $17$.
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
190 Αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Twitter X
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Pinterest
Desmos Activities
Ultimate AI Math Solver
Photomath
The Ultimate Math Help App
Wikipedia - Mathematics
Google Gemini
OpenAI - Chat GPT
DeepL Translator
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία
Canadian Mathematical Society (CMS)
The William Lowell Putnam Mathematics Competition (Archive 1985 - 2021)
Art of Problem Solving ONLINE
Leonardo Fibonacci
Kurt Friedrich Gödel
Ευκλείδης
Αρχιμήδης
Leonard Euler
Georg Cantor
Pierre-Simon Laplace
René Descartes
Joseph-Louis Lagrange
Πιερ ντε Φερμά
Gottfried Wilhelm Leibniz
Ωραιότατα Νίκο, εννοώ τα θέματα που έβαλες!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια την λύση δεν είμαι και σίγουρος ότι είναι ο μικρότερος, αλλά δεν έχω χρόνο να το ελέγξω! :-)
$8899, 2 \times(8+9)=34$
$8899+1=8900, 8 +9 =17$
Ωραίο πρόβλημα όντως!
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ επόμενος ενός τυχαίου αριθμού έχει άθροισμα ψηφίων κατά 1 μεγαλύτερο ,εκτός αν τελειώνει ο πρώτος σε 9 οπότε πέφτει κατά 8.(αφού το τελικό 9 γίνεται 0 και η δεκάδα ανεβαίνει +1) Ο μόνος τρόπος να μείνει αμετάβλητο το mod(17) των digital roots δύο διαδοχικών αριθμών είναι λοιπόν τα 2 τελ. ψηφία να είναι 99. Γιατί τότε ο επόμενος θα γινει ...00 ,άρα το digital sum χάνει 9+9-1=17. Αρα ψάχνουμε τον μικρότερο ακέραιο 0 mod100 που διαιρεί το 17. 8900 (και 8899 ο προηγούμενος).
Μια σχολαστική διόρθωση:"Αρα ψάχνουμε τον μικρότερο ακέραιο 0 mod100 με άθροισμα ψηφίων 17" εννοούσα.
ΔιαγραφήΚαι μια μη σχολαστική διόρθωση: Γενικά ισχύει βεβαίως αυτό που έγραψα για το....99 ,αλλά δεν πρέπει το ψηφίο των εκατοντάδων να είναι και αυτό 9, όχι ...999 δηλαδή ,γιατί τότε ο επόμενως έχει +26 διάφορο του 0 mod 17 (αλλά κατάλληλο για άλλο παζλ. :-) )
Καλησπέρα στους κυρίους κυρίους Ευθύμη και Γιώργο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπαντήσεις σωστές . Η ανάλυση δε από τον Γιώργο πολύ υψηλού επιπέδου ! .
Πηγή: Quantum
Νίκο, δεν τον βρήκα στην τύχη τον αριθμό, ακριβώς με αυτόν τον τρόπο το βρήκα, δεν υπάρχει και άλλος, απλά βιαζόμουν να δώσω απάντηση ΚΑΙ Στην τρικυμία
ΑπάντησηΔιαγραφήΕυθύμη σε καμία περίπτωση δεν υπαινίχτηκα κάτι τέτοιο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΉμουνα όμως υποχρεωμένος να αναφερθώ στην ανάλυση του Γιώργου.
Αλώστε σε τέτοιες ασκήσεις (και όχι μόνο) εδώ και στο mathematica , διαπρέπεις συνεχώς.
Δεν είναι είναι εκεί το θέμα μου, ούτε μου πέρασε από το μυαλό, δεν ήταν ποτέ το πρώτο ενδιαφέρον μου τα μαθηματικά, άλλο είναι το θέμα μου κάτι σαν την παροιμία με τον "λύκο και το ντορό", αλλά Ο.Κ κλείνει το θέμα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΝίκο καλημέρα,
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπειδή το θέμα, μου ήταν σχετικά οικείο λόγω της ενασχόλησης πρί ένα, ενάμισυ χρόνο, θέμα σε κάποιο βιβλίο για τις ιδιοτητες των $9$ στο τέλος +$1$ , δεν ήταν με πολλαπλάσια, αλλά πόση διαφορά έχει?
Και επειδή σκεπτόμενος καλύτερα διαπίστωσα ότι δεν έχει κανένα νόημα να “διαμαρτύρομαι” στην χειρότερη των περιπτώσεων να εκληφθεί και ως ψευτιδικαιολογία απο κανέναν καλοθελητή αλλά και κυρίως γιατί μου άρεσε πάρα πολύ αυτό το θέμα και μετα την τελευταία προσέγγιση ΑΚΟΜΑ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟ, και να με συγχωρείς που σε έφερα στη θέση να “απολογηθείς” (“ Αλωστε σε τέτοιες ασκήσεις (και όχι μόνο) εδώ και στο mathematica , διαπρέπεις συνεχώς.” Δεν τα πάω και άσχημα πάντως εκεί που δεν απαιτύνται ιδιαίτερες γνώσεις αλλά κυρίως σκέψη!)
*Είδαμε μέχρι στιγμής ότι ο μικρότερος θετικός ακέραιος, αριθμός που το άθροισμα των ψηφίων καθώς και το καθώς και το άθροισμα των ψηφίων του επόμενού του ακεραίου να διαιρούνται με το $17$ είναι ο $8899$.
Αυτή η ιδιότητα των δύο $9$ στο τέλος με ένα $8$ πριν από τα δύο $9$ και ο αριθμός των ψηφίων $8$ να ισούται με τον αριθμό των ψηφίων $9$ ($2$ φορές το $8$, $2$ φορές το ψηφίο $9$) γενικεύεται. Ο μικρότερος εξαψήφιος με τις παραπάνω ιδιότητες είναι ο $889899, (3*(8+9))$, $889899+1=889900$, $(2*(8+9))$, ο μικρότερος οκταψήφιος είναι ο $88899899$, $88899899+1= 88899900$, ..., ο μικρότερος $2*n$-ψήφιος αριθμός $n=2,3,4,..$, οσονδήποτε μεγάλο, είναι ο $88..(n-1)$ φορές το $8$,$999...(n-2)$ φορές το $9$, και κατάληξη $899$
*Γενίκευση μπορούμε να έχουμε επίσης για τους μικρότερους ακέραιους θετικούς αριθμούς, πολλαπλάσια του $3*9-1=26, 4*9-1=35,..,(9n-1)$, $n$ οσονδήποτε μεγάλο, αρκεί για $n=3$ ο αριθμός να λήγει σε:
...$8999$ και η αναλογία των $8$ προς $9$ να είναι $1:2$ (για $0mod26$), $89999$ και η αναλογία των $8$ προς $9$ να είναι $1:3$ (για $0mod35$)
…..........................................................................
και για $n, 0mod(9n-1)$ αρκεί να λήγει σε:
...$8999...$ $n$ φορές το $9$ και η αναλογία των $8$ προς $9$ να είναι $1:(n-1)$
*Και φυσικά μπορούμε να κάνουμε γινίκευση και προς τις $2$ παραπάνω κατευθύνσεις, δηλαδή εύρεση όχι απλώς του μικρότερου θετικού ακέραιου αριθμού που το άθροισμα των ψηφίων καθώς και το καθώς και το άθροισμα των ψηφίων του επόμενού του ακεραίου να διαιρούνται με το $9n-1$, αλλά και οποιουδήποτε $k$-ψήφιου αριθμού μεγαλύτερου του ελάχιστου όπως παραπάνω υπλογιζόμενου αριθμού. Άρκεί ο αριθμός των ψηφίων που θα μας δοθεί να είναι κατάλληλα πολλαπλάσιος του $n$
*Και δύο παραδείγματα για καλύτερη κατανόηση, θέλω να πιστεύω, αυτών που γράφω για όποιον από τους αναγνώστες φίλους της σελίδας έχουν την υπομονή να το διαβάσουν και με την επιφύλαξη τυχόν λάθους .
*Έστω π.χ ότι μας ζητείται ο μικρότερος αριθμός του οποίου καθώς και του επόμενου τα αθροίσματα των ψηφίων να διαιρούνται ακριβώς με τον $9*5-1=44$.
Ο ελάχιστος αριθμός πρέπει να λήγει σε $899999$, να έχει $2*5=10$ ψηφία και η αναλογία των $8$ προς τα $9$ να είναι $2:8 (=1:4, 1+4=5)$ άρα είναι ο $8999899999$
$8999899999$, $(8+9+9+9+8+9+9+9+9+9)/44=2$
$8999899999+1=8999900000$ που επίσης διαιρείται με το $44$, $(8+4*9=44)$
*Έστω ότι μας ζητείται ο μικρότερος $20$-ψήφιος αριθμός του οποίου καθώς και του επόμενου τα αθροίσματα των ψηφίων να διαιρούνται ακριβώς με τον $9*5-1=44$.
Ο αριθμός πάλι, αφού $n=5$, πρέπει να λήγει σε $899999$ η αναλογία των $8$ πρός τα $9$ είναι $4:16, (1:4, 1+4=5)$ άρα είναι ο αριθμός $88899999999999899999$ και ο επόμενος του είναι ο $88899999999999900000$ που πράγματι και οι $2$ διαιρούνται με το $44$
Ο $1os$ έχει άθροισμα ψηφίων $4*8+16*9=176, 176/44 =4$
Ο $2os$ έχει άθροισμα ψηφίων $3*8+12*9=132, 132/44 =3$
Διόρθωση-βελτίωση όσον αφορά εκεί που έχω τον πρώτο αστερίσκο(*)
ΑπάντησηΔιαγραφή“*Είδαμε μέχρι στιγμής ότι ο μικρότερος θετικός ακέραιος, αριθμός που το άθροισμα των ψηφίων......”
Στα αναγραφόμενα στον δεύτερο και επόμενους αστερίσκους ως έχουν
Οι αριθμοί που βρίσκουμε στα αναγραφόμενα στον πρώτο αστερίσκο διαιρούνται μεν με το $17$ αλλά δεν είναι οι μικρότεροι $2n$-ψήφιοι αριθμοί.
Οι μικρότεροι δυνατοί υπολογίζονται ως παρακάτω:
Μικρότερος εξαψήφιος $ \equiv 0 $ μοδίω $17$
$107899 (1+7+8+2\times 9=34)$, $107899+1=107900 (1+7+9=17)$
Μικρότερος $8$-ψήφιος μοδίω $17$
$10007899 (1+7+8+18=34)$, $10007899+1=10007900 (1+7+9=17)$
παρατηρούμε ότι επειδή $2\times 9+8=26$, άρα χρειαζεται το άθροισμα των υπόλοιπων ψηφίων να είναι $8$ ήτοι το $1$ στην αρχή του αριθμού (δεν γίνεται να είναι $0$ !:-)) και το $7$ ακριβώς μπροστά από το $8$ και για τα υπόλοιπα ψηφία που απαιτούνται , όλα $0$ ανάμεσα στο $1$ και στο $7$ για να έχουμε άθροισμα ψηφίων $34$ και ο επόμενος αριθμός έχει άθροισμα ψηφίων $1+7+9=17$
Το παραπάνω δουλεύει ανετώτατα σε όλους τους $2n$-ψήφιους αριθμούς, $ \equiv 0$ μοδίω 17 πχ
Μας ζητείται ο μικρότερος ας πούμε $16$-ψήφιος αριθμός $ \equiv 0 $ μοδίω $17$.
Κατάληξη .$7899$, το $1$ μπροστά και τα υπολοιπα $11$ ψηφία μεταξύ $1$ και $7$ ΟΛΑ ΜΗΔΕΝΙΚΑ, ήτοι
$1000000000007899 (1+7+8+9+9=34)$ και ο επόμενος $1000000000007900 (1+7+9=17)$
Αντίστοιχη επεξεργασία μπορεί να γίνει για οποιονδήποτε $3n$-ψήφιο αριθμό 0 μοδίω $26(=3*\times 9-1)$ , $4n$-ψήφιος αριθμό $0$ μοδίω $35$, κ.ο.κ