Τρίτη 30 Σεπτεμβρίου 2014

Αθροίσματα ψηφίων

Ο αριθμός $3^{1000}$ έχει $478$ ψηφία. Αν $a$ είναι το άθροισμα όλων των ψηφίων του  $3^{1000}$, $b$ το άθροισμα των όλων ψηφίων του $a$, και $c$ το άθροισμα όλων των ψηφίων του $b$, να βρεθεί η τιμή του $c$. 
1995 Singapore Math Olympiad (Open Round 1)
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 30.9.14
Ετικέτες ,

2 σχόλια:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS30 Σεπτεμβρίου 2014 στις 3:43 μ.μ.

    Ωραίο προβληματάκι. Το $3^{1000}$ είναι εμφανώς πολλαπλάσιο του $9$, δηλαδή $0 mod 9$. Συνεπώς και κάθε digital root κατωτέρας τάξης (άθροισμα ψηφίων και το επόμενο άθρ.ψηφίων δηλαδή, και πάει λέγοντας) θα είναι $0 mod 9$.
    Tα 478 ψηφία σουμάρουν 4ψήφιο αριθμό το πολύ,και μάλιστα 478*9=4302 . 4+3+0+2=9 . Άρα το digit.root του αθροίσματος ψηφίων του 3^1000 είναι 9 (αφού είναι ΄το πολύ τετραψήφιος <4302). Τόσο είναι και το c λοιπόν. $9$.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. RIZOPOULOS GEORGIOS30 Σεπτεμβρίου 2014 στις 8:46 μ.μ.

      Μια επεξήγηση, για κάτι που ίσως δεν είναι τόσο καθαρό στο προηγούμενο σχόλιο. Το αθρ.ψηφίων (digital root) α <4302=478*9 , και ισοδύναμο 0 mod 9. Άρα το πολύ είναι 4275 ή κάποια μετάθεση των 2,7,5 ή 3996 (ή μετάθεση των 9,9,6) Το πολύ λοιπόν το b να είναι 3*9=27 . Αρα c=9

      Διαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)