Κυριακή 28 Σεπτεμβρίου 2014

Οι σοκολάτες

Σε ένα περίπτερο ο περιπτεράς πουλούσε σοκολάτες των $3$€, $4$€ και $5$€. Ο περιπτεράς, που του αρέσουν τα μαθηματικά, διαπίστωσε ότι οι 3 αριθμοί για τις ποσότητες στα τρία είδη σοκολάτας είναι πρώτοι. Αλλά και ο συνολικός αριθμός τους είναι επίσης πρώτος αριθμός με άθροισμα ψηφίων
$11$. Όταν πούλησε όλες τις σοκολάτες εισέπραξε $100$€. Πόσες συνολικά σοκολάτες είχε; Πόσες από κάθε είδος;
Πηγή: Ευκλείδης Β΄
Αναρτήθηκε από στις 28.9.14
Ετικέτες

11 σχόλια:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS28 Σεπτεμβρίου 2014 στις 9:31 μ.μ.

    Με brute force (για τους μοναδικούς πρώτους <100 που ταιριάζουν στα δεδομένα, δηλαδή το 29 και το 47) βρίσκω:
    29 σοκολάτες , με ανάλυση: 19*3 +7*4+ 3*5=100

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Papaveri28 Σεπτεμβρίου 2014 στις 11:00 μ.μ.

    Οι 9 αριθμοί, που τα ψηφία τους αποτελούνται από πρώτους αριθμούς, που το άθροισμα των ψηφίων τους ισούται με 11 είναι οι:
    2,2,7 - 2,7,2 και 7,2,2
    3,3,2 – 2,3,3 και 3,2,3
    3,3,5 – 5,3,3 και 3,5,3
    Οι οποίοι σχηματίζουν τους εξής αριθμούς, που ικανοποιούν τη συνθήκη του αθροισματος των ψηφίων να ισούται με 11:
    2,2,7 - 2,7,2 και 7,2,2 ---> 22+7=4+7=11 ---> 47, 74
    3,3,2 – 2,3,3 και 3,2,3---> 32+2=9+2=11 ----> 29, 92
    3,3,5 – 5,3,3 και 3,5,3 ---> 32+5=9+5= 13 απορρίπτεται
    Με διερεύνηση βλέπουμε ότι ο αριθμός 29 αποτελεί το σύνολο των σοκολατών, τις οποίες όταν πούλησε εισέπραξε 100€. Έστω «α» η ποσότητα των σοκολατών αξίας 3€, «β» η ποσότητα των σοκολατών αξίας 4€, και «γ» η ποσότητα των σοκολατών αξίας 5€. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
    α+β+γ=29 (1)
    3α+4β+5γ=100 (2)
    Από την (1) συνάγουμε ότι:
    α=29-β-γ (3)
    Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
    3α+4β+5γ=100 --> [3*(29-β-γ)+4β+5γ]=100 ---> 87-3β-3γ+4β+5γ=100 --->
    β+2γ=100-87 ---> β+2γ=13 ---> 2γ=13-β ---> γ=(13-β)/2 (4)
    Διερεύνηση:
    Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε τη διερεύνηση των ριζών.
    Δίνοντας στο «β» τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι οι μοναδικές τιμές που
    ικανοποιούν τη συνθήκη και δίνουν ακέραιο αριθμό «γ» είναι οι αριθμοί 1, 3, 5, 7, 9, και 11 (5)
    Αντικαθιστούμε τις τιμές του «β» στη (4) κι’ έχουμε:
    1)γ=(13-β)/2 ----> γ=(13-1)/2 ---> γ=12/2 ----> γ=6 (6)
    2)γ=(13-β)/2 ----> γ=(13-3)/2 ---> γ=10/2 ----> γ=5 (6α)
    3)γ=(13-β)/2 ----> γ=(13-5)/2 ---> γ=8/2 ----> γ=4 (6β)
    4)γ=(13-β)/2 ----> γ=(13-7)/2 ---> γ=6/2 ----> γ=3 (6γ)
    5)γ=(13-β)/2 ----> γ=(13-9)/2 ---> γ=4/2 ----> γ=2 (6δ)
    6)γ=(13-β)/2 ----> γ=(13-11)/2 ---> γ=2/2 ----> γ=1 (6ε)
    Από τις ανωτέρω η μόνη που ικανοποιοί τη συνθήκη του προβλήματος είναι η (4).
    Αντικαθιστούμε τις τιμές του «β» και του «γ» στη (3) κι’ έχουμε:
    α=29-β-γ ---> α=29-7-3 ---> α=19 (7)
    Επαλήθευση:
    α+β+γ=29 ----> 19+7+3=29
    3α+4β+5γ=100 ---> [(3*19)+(7*4)+(3*5)]=100 ---> 57+28+15=100 ο.ε.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Τάκης Κωτσιόπουλος29 Σεπτεμβρίου 2014 στις 12:03 π.μ.

    Οι σοκολάτες που πούλησε είναι περισσότερες από 20 και λιγότερες από 33.
    Άθροισμα ψηφίων 11 έχει μόνο ο 29 .
    Τις πούλησε με μο 3,44, επομένως πούλησε περισσότερες από τις μισές με 3 (17, 19, 23).
    Οι συνδυασμοί που μένουν τώρα είναι πολύ λίγοι.
    17 +12 (5-7, 7-5)
    19 +10 (5-5, 7-3, 3-7)
    23 +6 (3-3)


    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Papaveri29 Σεπτεμβρίου 2014 στις 10:14 π.μ.

    Διόρθωση:
    Οι οποίοι σχηματίζουν τους εξής αριθμούς, που ικανοποιούν τη συνθήκη του αθροισματος των ψηφίων να ισούται με 11:
    2,2,7 - 2,7,2 και 7,2,2 ---> 2^2+7=4+7=11 ---> 47, 74
    3,3,2 – 2,3,3 και 3,2,3---> 3^2+2=9+2=11 ----> 29, 92
    3,3,5 – 5,3,3 και 3,5,3 ---> 3^2+5=9+5= 14 απορρίπτεται

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. RIZOPOULOS GEORGIOS29 Σεπτεμβρίου 2014 στις 12:05 μ.μ.

    Σωκράτη, χωρίς να επιθυμώ να κάνω ιδιαίτερο θέμα,άλλωστε η λογοκλοπή ειδικά στο ίντερνετ δεν πολεμιέται, απλώς προς αποκατάσταση της τάξης ,αν έχεις επαφή με τους υπεύθυνους του "Ευκλείδης Β'" ,ενημέρωσέ τους για το εξής, ή στείλε τους μια επιστολή:
    Στο τεύχος όπου υπάρχει αυτό το πρόβλημα (υπάρχει στο διαδίκτυο). έχει μπεί -σχεδόν αυτολεξεί- απόσπασμα από το παλιό μου άρθρο για την regula falsi του Αχμές.
    http://eisatopon.blogspot.com/2013/02/regula-falsi.html
    Είπαμε, δημόσια τα γράφω, και επιθυμητή η αναπαραγωγή, αλλά γράψτε ρε παιδιά ΠΟΎ(στο eisatopon δηλαδή) στην ευχή τα βρίσκετε, και ποιος χριστιανός τα πρωτογράφει...στοιχειώδης ηθική υποχρέωση νομίζω πως είναι.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Σωκράτης Δ. Ρωμανίδης29 Σεπτεμβρίου 2014 στις 4:49 μ.μ.

    Γιώργο, δεν γνωρίζω κάποιον από τους υπευθύνους του περιοδικού. και στα mail δεν απαντούν συνήθως....

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. RIZOPOULOS GEORGIOS29 Σεπτεμβρίου 2014 στις 4:56 μ.μ.

      A, ωραία! Επίσημο περιοδικό της Μαθηματικής εταιρείας και δεν απαντούν στα mail των μαθηματικών...!!! :-)
      Εντάξει Σωκράτη, δεν τρέχει για μένα και τίποτα σπουδαίο , απλώς ήθελα να σε ενημερώσω, μιας και τα άρθρα μου ,είναι και δικά σου (δηλαδή του ιστολογίου) πνευματικά τέκνα.

      Διαγραφή
  7. Papaveri29 Σεπτεμβρίου 2014 στις 5:10 μ.μ.

    Γιώργο, το πρόβλημα αυτό κάτι μου έλεγε ότι το έιχα δει κάπου, αλλά δεν θυμόμουνα που. Και μιάς και ανέφερες το άρθρο που έγραψες, τ' οποιό και κράτησα στο αρχείο μου, θυμήθηκα που το είδα. Στη θέση σου θα έγραφα κατ' ευθείαν προσωπικά στο περιοδικό, τ' οποίο αναγκαστηκά θ' απαντούσε. Για μια τιμή ζούμε.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. RIZOPOULOS GEORGIOS29 Σεπτεμβρίου 2014 στις 7:02 μ.μ.

      Κάρλο, σ'ευχαριστώ για την υποστήριξη αλλά δεν θα ακολουθήσω την προτροπή σου. Καταρχάς η τιμή μου είναι μια χαρά και το κούτελό μου πεντακάθαρο.
      Κατά δεύτερον, δεν έχω καμία διάθεση να ασχοληθώ περαιτέρω, ούτε να μπω σε οποιονδήποτε διαξιφισμό. Το τελευταίο πράγμα ειλικρινά που με απασχολεί αυτή τη στιγμή, είναι να μπει το όνομά μου σε κάποιο περιοδικό ή κάτι σχετικό. Απλώς επισήμανα το γεγονός, κυρίως προς ενημέρωση του Σωκράτη που είναι μαθηματικός, καθώς μού έκανε εντύπωση επειδή δεν μιλάμε για μια τυχάρπαστη έκδοση ή ένα κάποιο ιστολόγιο ή ιστοσκουπίδι (από τα πολλά που κυκλοφορούν και τα οποία πλαγιαρίζουν ασύστολα), αλλά για το περιοδικό της Μαθημ.Εταιρείας.
      Κατά τέλος, για να μην μένουν λανθασμένες εντυπώσεις, δεν διεκδικώ πατρότητα του "προβλήματος" . Το πρόβλημα 24. του παπύρου Rhind το έθεσε και το έλυσε πριν 3,5 χιλιάδες χρόνια o ίδιος ο Αχμές στα ιερογλυφικά. Απλώς η συγκεκριμένη περιγραφή -επεξήγηση και προσέγγιση στα ελληνικά για το συγκεκριμένο θέμα και τη "μέθοδο εσφαλμένης θέσης" (μέσω του παραδείγματος για την άσκηση 24.) είναι δική μου ,και δεν υπάρχει καμία αμφιβολία γι'αυτό! Άλλωστε άνθρωποι με ικανότητα κριτικής και κατανόησης παρεπιδημούν την Ιερουσαλήμ και μπορούν να αντιπαραβάλουν τα κείμενα και να βγάλουν συμπέρασμα. Το κάπως κωμικό είναι πως η "ελαφρά παραλαγή κι απόκρυψη" που επιχειρήθηκε έχει -από "υπερβάλοντα ζήλο" προφανώς-κοπυπαστώσει και το "ρητό" του Όϋλερ :« δεν με νοιάζει τόσο ν’ αποδείξω, όσο το ν’ ανακαλύψω!» σαν γνήσιο του Όϋλερ, ενώ είναι δικό μου! :-) Δηλαδή δική μου ερμηνεία της στάσης ζωής του Όϋλερ απέναντι στον φορμαλισμό των Μαθηματικών.
      Για του λόγου το αληθές, αντιγράφω από το κείμενό μου του 2013:
      "Κι όπως έλεγε και ο Όϋλερ « δεν με νοιάζει τόσο ν’ αποδείξω, όσο το ν’ ανακαλύψω!»
      Δηλαδή, δεν το είπε αυτό ακριβώς έτσι …αλλά το εννοούσε! "
      πλάκα έχει το θέμα, εντάξει! Θα υπάρχει άλλο ένα ψευδές ρητό ...αλλά του Όϋλερ, και στο περιοδικό της Μαθ.εταιρείας διάολε! :-)
      Tέλος πάντων, δεν χρειάζεται να δίνουμε συνέχεια. Στο κάτω-κάτω της γραφής...ας πρόσεχα!
      ΥΓ. Tώρα μένει να διαβάσω και την ιδέα ΜΟΥ για τη σύγκριση του απειροπλήθους ρητών και αρρήτων μέσω ζαριών/πιθανοτήτων σαν καμιά σπουδαία μαθηματική ανακάλυψη...

      Διαγραφή
    2. Papaveri29 Σεπτεμβρίου 2014 στις 7:26 μ.μ.

      Δεν καταλαβαίνω γιατί υποτιμάς τον εαυτό σου για κάτι που σου ανήκει δικαιωματικά. Στο κάτω-κάτω έκατσες και έγραψες αυτό το άρθρο για να προσφέρεις γνώση για κάτι που πιθανόν οι περισσότεροι δεν γνώριζαν. Είναι αδιανόητο, για τα Ελληνικά δεδομένα, κάποιος να προσπαθεί με μύρριες δυσκολίες να γράψει κάτι για την επιμόρφωση και κάποιος "καλοθελητής" να καρπούτε την εργασία του άλλου. Μου έχει τύχει και σε μένα αυτό, αλλά δε το άφησα το θέμα έτσι.

      Διαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)