$11$. Όταν πούλησε όλες τις σοκολάτες εισέπραξε $100$€. Πόσες συνολικά σοκολάτες είχε; Πόσες από κάθε είδος;
Πηγή: Ευκλείδης Β΄
Πηγή: Ευκλείδης Β΄
Κυριακή 28 Σεπτεμβρίου 2014
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
190 Αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Twitter X
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Pinterest
Desmos Activities
Ultimate AI Math Solver
Photomath
The Ultimate Math Help App
Wikipedia - Mathematics
Google Gemini
OpenAI - Chat GPT
DeepL Translator
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία
Canadian Mathematical Society (CMS)
The William Lowell Putnam Mathematics Competition (Archive 1985 - 2021)
Art of Problem Solving ONLINE
Leonardo Fibonacci
Kurt Friedrich Gödel
Ευκλείδης
Αρχιμήδης
Leonard Euler
Georg Cantor
Pierre-Simon Laplace
René Descartes
Joseph-Louis Lagrange
Πιερ ντε Φερμά
Gottfried Wilhelm Leibniz
Με brute force (για τους μοναδικούς πρώτους <100 που ταιριάζουν στα δεδομένα, δηλαδή το 29 και το 47) βρίσκω:
ΑπάντησηΔιαγραφή29 σοκολάτες , με ανάλυση: 19*3 +7*4+ 3*5=100
Οι 9 αριθμοί, που τα ψηφία τους αποτελούνται από πρώτους αριθμούς, που το άθροισμα των ψηφίων τους ισούται με 11 είναι οι:
ΑπάντησηΔιαγραφή2,2,7 - 2,7,2 και 7,2,2
3,3,2 – 2,3,3 και 3,2,3
3,3,5 – 5,3,3 και 3,5,3
Οι οποίοι σχηματίζουν τους εξής αριθμούς, που ικανοποιούν τη συνθήκη του αθροισματος των ψηφίων να ισούται με 11:
2,2,7 - 2,7,2 και 7,2,2 ---> 22+7=4+7=11 ---> 47, 74
3,3,2 – 2,3,3 και 3,2,3---> 32+2=9+2=11 ----> 29, 92
3,3,5 – 5,3,3 και 3,5,3 ---> 32+5=9+5= 13 απορρίπτεται
Με διερεύνηση βλέπουμε ότι ο αριθμός 29 αποτελεί το σύνολο των σοκολατών, τις οποίες όταν πούλησε εισέπραξε 100€. Έστω «α» η ποσότητα των σοκολατών αξίας 3€, «β» η ποσότητα των σοκολατών αξίας 4€, και «γ» η ποσότητα των σοκολατών αξίας 5€. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
α+β+γ=29 (1)
3α+4β+5γ=100 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
α=29-β-γ (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
3α+4β+5γ=100 --> [3*(29-β-γ)+4β+5γ]=100 ---> 87-3β-3γ+4β+5γ=100 --->
β+2γ=100-87 ---> β+2γ=13 ---> 2γ=13-β ---> γ=(13-β)/2 (4)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε τη διερεύνηση των ριζών.
Δίνοντας στο «β» τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι οι μοναδικές τιμές που
ικανοποιούν τη συνθήκη και δίνουν ακέραιο αριθμό «γ» είναι οι αριθμοί 1, 3, 5, 7, 9, και 11 (5)
Αντικαθιστούμε τις τιμές του «β» στη (4) κι’ έχουμε:
1)γ=(13-β)/2 ----> γ=(13-1)/2 ---> γ=12/2 ----> γ=6 (6)
2)γ=(13-β)/2 ----> γ=(13-3)/2 ---> γ=10/2 ----> γ=5 (6α)
3)γ=(13-β)/2 ----> γ=(13-5)/2 ---> γ=8/2 ----> γ=4 (6β)
4)γ=(13-β)/2 ----> γ=(13-7)/2 ---> γ=6/2 ----> γ=3 (6γ)
5)γ=(13-β)/2 ----> γ=(13-9)/2 ---> γ=4/2 ----> γ=2 (6δ)
6)γ=(13-β)/2 ----> γ=(13-11)/2 ---> γ=2/2 ----> γ=1 (6ε)
Από τις ανωτέρω η μόνη που ικανοποιοί τη συνθήκη του προβλήματος είναι η (4).
Αντικαθιστούμε τις τιμές του «β» και του «γ» στη (3) κι’ έχουμε:
α=29-β-γ ---> α=29-7-3 ---> α=19 (7)
Επαλήθευση:
α+β+γ=29 ----> 19+7+3=29
3α+4β+5γ=100 ---> [(3*19)+(7*4)+(3*5)]=100 ---> 57+28+15=100 ο.ε.δ.
Οι σοκολάτες που πούλησε είναι περισσότερες από 20 και λιγότερες από 33.
ΑπάντησηΔιαγραφήΆθροισμα ψηφίων 11 έχει μόνο ο 29 .
Τις πούλησε με μο 3,44, επομένως πούλησε περισσότερες από τις μισές με 3 (17, 19, 23).
Οι συνδυασμοί που μένουν τώρα είναι πολύ λίγοι.
17 +12 (5-7, 7-5)
19 +10 (5-5, 7-3, 3-7)
23 +6 (3-3)
Φοβερός!!! ο Κ. Τάκης.
ΔιαγραφήΕύσημα.
Διόρθωση:
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι οποίοι σχηματίζουν τους εξής αριθμούς, που ικανοποιούν τη συνθήκη του αθροισματος των ψηφίων να ισούται με 11:
2,2,7 - 2,7,2 και 7,2,2 ---> 2^2+7=4+7=11 ---> 47, 74
3,3,2 – 2,3,3 και 3,2,3---> 3^2+2=9+2=11 ----> 29, 92
3,3,5 – 5,3,3 και 3,5,3 ---> 3^2+5=9+5= 14 απορρίπτεται
Σωκράτη, χωρίς να επιθυμώ να κάνω ιδιαίτερο θέμα,άλλωστε η λογοκλοπή ειδικά στο ίντερνετ δεν πολεμιέται, απλώς προς αποκατάσταση της τάξης ,αν έχεις επαφή με τους υπεύθυνους του "Ευκλείδης Β'" ,ενημέρωσέ τους για το εξής, ή στείλε τους μια επιστολή:
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτο τεύχος όπου υπάρχει αυτό το πρόβλημα (υπάρχει στο διαδίκτυο). έχει μπεί -σχεδόν αυτολεξεί- απόσπασμα από το παλιό μου άρθρο για την regula falsi του Αχμές.
http://eisatopon.blogspot.com/2013/02/regula-falsi.html
Είπαμε, δημόσια τα γράφω, και επιθυμητή η αναπαραγωγή, αλλά γράψτε ρε παιδιά ΠΟΎ(στο eisatopon δηλαδή) στην ευχή τα βρίσκετε, και ποιος χριστιανός τα πρωτογράφει...στοιχειώδης ηθική υποχρέωση νομίζω πως είναι.
Γιώργο, δεν γνωρίζω κάποιον από τους υπευθύνους του περιοδικού. και στα mail δεν απαντούν συνήθως....
ΑπάντησηΔιαγραφήA, ωραία! Επίσημο περιοδικό της Μαθηματικής εταιρείας και δεν απαντούν στα mail των μαθηματικών...!!! :-)
ΔιαγραφήΕντάξει Σωκράτη, δεν τρέχει για μένα και τίποτα σπουδαίο , απλώς ήθελα να σε ενημερώσω, μιας και τα άρθρα μου ,είναι και δικά σου (δηλαδή του ιστολογίου) πνευματικά τέκνα.
Γιώργο, το πρόβλημα αυτό κάτι μου έλεγε ότι το έιχα δει κάπου, αλλά δεν θυμόμουνα που. Και μιάς και ανέφερες το άρθρο που έγραψες, τ' οποιό και κράτησα στο αρχείο μου, θυμήθηκα που το είδα. Στη θέση σου θα έγραφα κατ' ευθείαν προσωπικά στο περιοδικό, τ' οποίο αναγκαστηκά θ' απαντούσε. Για μια τιμή ζούμε.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚάρλο, σ'ευχαριστώ για την υποστήριξη αλλά δεν θα ακολουθήσω την προτροπή σου. Καταρχάς η τιμή μου είναι μια χαρά και το κούτελό μου πεντακάθαρο.
ΔιαγραφήΚατά δεύτερον, δεν έχω καμία διάθεση να ασχοληθώ περαιτέρω, ούτε να μπω σε οποιονδήποτε διαξιφισμό. Το τελευταίο πράγμα ειλικρινά που με απασχολεί αυτή τη στιγμή, είναι να μπει το όνομά μου σε κάποιο περιοδικό ή κάτι σχετικό. Απλώς επισήμανα το γεγονός, κυρίως προς ενημέρωση του Σωκράτη που είναι μαθηματικός, καθώς μού έκανε εντύπωση επειδή δεν μιλάμε για μια τυχάρπαστη έκδοση ή ένα κάποιο ιστολόγιο ή ιστοσκουπίδι (από τα πολλά που κυκλοφορούν και τα οποία πλαγιαρίζουν ασύστολα), αλλά για το περιοδικό της Μαθημ.Εταιρείας.
Κατά τέλος, για να μην μένουν λανθασμένες εντυπώσεις, δεν διεκδικώ πατρότητα του "προβλήματος" . Το πρόβλημα 24. του παπύρου Rhind το έθεσε και το έλυσε πριν 3,5 χιλιάδες χρόνια o ίδιος ο Αχμές στα ιερογλυφικά. Απλώς η συγκεκριμένη περιγραφή -επεξήγηση και προσέγγιση στα ελληνικά για το συγκεκριμένο θέμα και τη "μέθοδο εσφαλμένης θέσης" (μέσω του παραδείγματος για την άσκηση 24.) είναι δική μου ,και δεν υπάρχει καμία αμφιβολία γι'αυτό! Άλλωστε άνθρωποι με ικανότητα κριτικής και κατανόησης παρεπιδημούν την Ιερουσαλήμ και μπορούν να αντιπαραβάλουν τα κείμενα και να βγάλουν συμπέρασμα. Το κάπως κωμικό είναι πως η "ελαφρά παραλαγή κι απόκρυψη" που επιχειρήθηκε έχει -από "υπερβάλοντα ζήλο" προφανώς-κοπυπαστώσει και το "ρητό" του Όϋλερ :« δεν με νοιάζει τόσο ν’ αποδείξω, όσο το ν’ ανακαλύψω!» σαν γνήσιο του Όϋλερ, ενώ είναι δικό μου! :-) Δηλαδή δική μου ερμηνεία της στάσης ζωής του Όϋλερ απέναντι στον φορμαλισμό των Μαθηματικών.
Για του λόγου το αληθές, αντιγράφω από το κείμενό μου του 2013:
"Κι όπως έλεγε και ο Όϋλερ « δεν με νοιάζει τόσο ν’ αποδείξω, όσο το ν’ ανακαλύψω!»
Δηλαδή, δεν το είπε αυτό ακριβώς έτσι …αλλά το εννοούσε! "
πλάκα έχει το θέμα, εντάξει! Θα υπάρχει άλλο ένα ψευδές ρητό ...αλλά του Όϋλερ, και στο περιοδικό της Μαθ.εταιρείας διάολε! :-)
Tέλος πάντων, δεν χρειάζεται να δίνουμε συνέχεια. Στο κάτω-κάτω της γραφής...ας πρόσεχα!
ΥΓ. Tώρα μένει να διαβάσω και την ιδέα ΜΟΥ για τη σύγκριση του απειροπλήθους ρητών και αρρήτων μέσω ζαριών/πιθανοτήτων σαν καμιά σπουδαία μαθηματική ανακάλυψη...
Δεν καταλαβαίνω γιατί υποτιμάς τον εαυτό σου για κάτι που σου ανήκει δικαιωματικά. Στο κάτω-κάτω έκατσες και έγραψες αυτό το άρθρο για να προσφέρεις γνώση για κάτι που πιθανόν οι περισσότεροι δεν γνώριζαν. Είναι αδιανόητο, για τα Ελληνικά δεδομένα, κάποιος να προσπαθεί με μύρριες δυσκολίες να γράψει κάτι για την επιμόρφωση και κάποιος "καλοθελητής" να καρπούτε την εργασία του άλλου. Μου έχει τύχει και σε μένα αυτό, αλλά δε το άφησα το θέμα έτσι.
Διαγραφή