Μικρότερο, ίσο ή μεγαλύτερο;

Στο παρακάτω σχήμα η ροζ επιφάνεια περικλείεται από τρία τόξα. Η περίμετρος του πράσινου παραλληλογράμμου είναι 42 cm. Το ύψος του είναι το μισό της ακτίνας των δύο ίσων κύκλων.

Να συγκριθούν τα εμβαδά της ροζ και πράσινης επιφάνειας.

Η λύση του Νίκου Φραγκάκη:

Το παραλληλόγραμμο $AB{O}_2{O}_1$ αποτελείται από τον κυκλικό τομέα γωνίας $\theta$ εκτός του τμήματος $E_2$ , συν το μεικτόγραμμο τρίγωνο $CZB$ εμβαδού $E_1$, συν το κυκλικό τομέα γωνίας $\omega$. Δηλαδή: $(AB{O}_2{O}_1)=(\pi R^2{\displaystyle \frac{\theta }{{360}^0}}-E_2)+E_1+(\pi R^2{\displaystyle \frac{\omega }{{360}^0}})$. Επειδή όμως $\theta +\omega ={180}^0$ έχουμε: $(AB{O}_2{O}_1)={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi R^2+E_1-{\mathrm{E}}_2=\mathrm{T}+{\mathrm{E}}_1$. Δηλαδή τα υπό σύγκριση εμβαδά είναι ίσα.