100 δημόσιοι υπάλληλοι συμμετείχαν σε μία συνεδρίαση. Τα καθίσματα στην αίθουσα σχημάτιζαν ένα τετράγωνο 10 σειρών με 10 καθίσματα σε κάθε σειρά. Η συνεδρίαση, ως συνήθως, καθυστέρησε και οι υπάλληλοι άρχισαν να μιλάνε αναμεταξύ τους.
Όσοι έμαθαν ότι ανάμεσα στους διπλανούς τους (δηλ. σε αυτούς που κάθονταν δεξιά, αριστερά, μπρος, πίσω και διαγώνια) υπήρχε το πολύ ένας με ίσο ή μεγαλύτερο μισθό, αποφάσισαν ότι έπρεπε να θεωρούν τους εαυτούς τους υψηλόμισθους. Ποιο είναι το μέγιστο δυνατό πλήθος υψηλόμισθων υπαλλήλων;
Πολύ καλό πρόβλημα Σωκράτη!
ΑπάντησηΔιαγραφήΒασανίστηκα για αρκετή ώρα ψάχνοντας για μια αναλυτική -συνδυαστική λύση, χωρίς επιτυχία, και μετά πρόσεξα (συνηθισμένο λάθος..) πως αυτό που ζητείται δεν είναι αυτό ,αλλά απλώς ένα άνω φράγμα. Η λύση μετά ήταν εύκολη.
Η "σκακιέρα" 10 Χ 10 χωρίζεται σε 25 μικρές σκακιέρες-τετράγωνα διαστάσεων: 2 Χ 2. Προφανώς σε κάθε τέτοιο μικρό τετράγωνο μπορεί να υπάρχουν το πολύ 2 υψηλόμισθοι . Άρα το πολύ 50.
Απλό (και γι'αυτό ίσως δύσκολο :-) )
Το πως μπορεί να υπάρξουν 50 (και όχι λιγότεροι κατά μέγιστο αριθμό) δείχνεται εύκολα. Οι τρεις πρώτες στήλες της πλήρους σκακιέρας (οι υπόλοιπες 7 εναλλάξ ..500 1000 500 1000...)
ΑπάντησηΔιαγραφή1000 500 1000
2000 500 2000
3000 500 3000
4000 500 4000
5000 500 5000
6000 500 6000
7000 500 7000
8000 500 8000
9000 500 9000
10000 500 10000
Πράγματι πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα και βρίσκω εξαιρετική (στη μοναδική απλότητά της) την απόδειξη / ανάλυση του Γιώργου!
ΑπάντησηΔιαγραφήΜια ενδιαφέρουσα παραλλαγή που θα πρότεινα, σε όσους φίλους θα ήθελαν να ασχοληθούν, είναι η απάντηση του ερωτήματος στην περίπτωση που υψηλόμισθος είναι κάθε υπάλληλος που δεν έχει κανένα διπλανό με ίσο ή μεγαλύτερο μισθό.
Γιώργο, πολύ ωραία η απόδειξη σου. Ως συνήθως ...
ΑπάντησηΔιαγραφή