Μελέτη της συνάρτησης f(x) = εφx

Επειδή η συνάρτηση $f(x)=\epsilon \phi x$ είναι περιοδική με περίοδο $\pi$, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους $\pi$, π.χ. το $(-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{2})$.

(Το διάστημα είναι ανοικτό, αφού η συνάρτηση $\epsilon \phi$ δεν ορίζεται στα $-\frac{\pi }{2}$ και $\frac{\pi }{2}$).

Ας υποθέσουμε ότι η τελική πλευρά της γωνίας $x$ rad τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο ${\rm M}$ και την ευθεία των εφαπτομένων στο σημείο ${\rm E}$.

Όπως έχουμε αναφέρει η $\epsilon \phi x$ ισούται με την τεταγμένη του σημείου ${\rm E}$.

Επομένως:

● Όταν ο x παίρνει τιμές από $-\frac{\pi }{2}$ προς το $\frac{\pi }{2}$ το Μ κινείται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά από το ${\rm B}\prime$ προς το ${\rm B}$, οπότε η τεταγμένη του σημείου ${\rm E}$ αυξάνει. Αυτό σημαίνει ότι η $f(x)=\epsilon \phi x$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $(-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{2})$. 

● Όταν ο $x$ «τείνει» στο $-\frac{\pi }{2}$ από μεγαλύτερες τιμές η $\epsilon \phi x$ «τείνει» στο $-\infty$. Γι' αυτό λέμε ότι η ευθεία $x=-\frac{\pi }{2}$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$. Επίσης όταν ο $x$ «τείνει» στο $\pi 2$ από μικρότερες τιμές η $\epsilon \phi x$ τείνει στο $+\infty$. Γι' αυτό λέμε ότι και η ευθεία $x=\frac{\pi }{2}$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$.

Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση της συντάσσουμε, με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών πινάκων ή με επιστημονικό κομπιουτεράκι, έναν πίνακα τιμών της:

Στη συνέχεια παριστάνουμε με σημεία του επιπέδου τα ζεύγη αυτά των αντίστοιχων τιμών και τα ενώνουμε με μια συνεχή γραμμή. Η γραφική παράσταση της $f(x)=\epsilon \phi x$ φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Είναι φανερό ότι η γραφική παράσταση της $f(x)=\epsilon \phi x$ έχει κέντρο συμμετρίας το ${\rm O}$, αφού: 

$\epsilon \phi (-x)=-\epsilon \phi x$

είναι περιττή συνάρτηση.