Μελέτη της συνάρτησης f(x) = εφx

Επειδή η συνάρτηση $f(x) = εφx$ είναι περιοδική με περίοδο $π$, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους $π$, π.χ. το $(-\frac{π}{2}, -\frac{π}{2})$.

(Το διάστημα είναι ανοικτό, αφού η συνάρτηση $εφ$ δεν ορίζεται στα $-\frac{π}{2}$ και $\frac{π}{2}$).

Ας υποθέσουμε ότι η τελική πλευρά της γωνίας $x$ rad τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο $Μ$ και την ευθεία των εφαπτομένων στο σημείο $Ε$.

Όπως έχουμε αναφέρει η $εφx$ ισούται με την τεταγμένη του σημείου $Ε$.

Επομένως:

● Όταν ο x παίρνει τιμές από $-\frac{π}{2}$ προς το $\frac{π}{2}$ το Μ κινείται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά από το $Β′$ προς το $Β$, οπότε η τεταγμένη του σημείου $Ε$ αυξάνει. Αυτό σημαίνει ότι η $f(x) = εφx$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $(-\frac{π}{2}, -\frac{π}{2})$. 

● Όταν ο $x$ «τείνει» στο $-\frac{π}{2}$ από μεγαλύτερες τιμές η $εφx$ «τείνει» στο $-∞$. Γι' αυτό λέμε ότι η ευθεία $x = -\frac{π}{2}$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$. Επίσης όταν ο $x$ «τείνει» στο $π2$ από μικρότερες τιμές η $εφx$ τείνει στο $+∞$. Γι' αυτό λέμε ότι και η ευθεία $x = \frac{π}{2}$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$.

Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση της συντάσσουμε, με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών πινάκων ή με επιστημονικό κομπιουτεράκι, έναν πίνακα τιμών της:

Στη συνέχεια παριστάνουμε με σημεία του επιπέδου τα ζεύγη αυτά των αντίστοιχων τιμών και τα ενώνουμε με μια συνεχή γραμμή. Η γραφική παράσταση της $f(x) = εφx$ φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Είναι φανερό ότι η γραφική παράσταση της $f(x) = εφx$ έχει κέντρο συμμετρίας το $Ο$, αφού: 

$εφ(-x) = -εφx$

είναι περιττή συνάρτηση.