$1.$ Μαγικό κόλπο: Δίνεται $5$ νομίσματα σε κάποια φίλη σας. Της λέτε να τα βάλει όπως θέλει πάνω σε ένα τραπέζι . Μπορεί ,ας πούμε, τα τρία να δείχνουν κεφάλι και τα δύο γράμματα, ή όποιον άλλο συνδυασμό εκείνη επιλέξει. Κατόπιν κοιτάζετε αλλού και η φίλη σας θα τουμπάρει δύο κέρματα, και με το δάκτυλό της θα κρύψει ένα (όποιο θέλει από τα πέντε!). Κατόπιν γυρίζετε και βλέπετε τα $4$ κέρματα. Μπορείτε να βρείτε αν το κρυμμένο νόμισμα δείχνει κεφάλι ή γράμματα;
$2.$ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν 4 κάλτσες. Η καθεμιά είναι είτε κόκκινη είτε πράσινη. Σας λένε πως η πιθανότητα που έχετε να τραβήξετε στα τυφλά ένα ζευγάρι κόκκινες κάλτσες είναι $0,5$. Ποια είναι η πιθανότητα που έχετε στην επόμενη προσπάθεια να τραβήξετε ένα ζευγάρι πράσινες κάλτσες;
1) 100%. Τουμπάροντας δύο νομίσματα θα τουμπάρει ή δύο ίδια (κεφάλια ή γράμματα) και θα υπάρχουν δύο περισσότερα από πριν της μίας όψης και δύο λιγότερα της άλλης όψης αντίστοιχα, ή ένα και ένα οπότε παραμένει ο ίδιος αριθμός όψεων με πριν.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈτσι αν δεi
-Δύο παραπάνω σε κάποια όψη από ότι είχε δει αρχικά το κρυμμένο είναι της άλλης όψης (πχ βλέπει 3 κεφάλια ενώ αρχικά είχε δει ένα, το κρυμμένο είναι γράμματα.
-Ένα παραπάνω σε μία όψη από ότι αρχικά το κρυμμένο είναι της ίδιας όψης με το "ένα παραπάνω".(πχ δει 2 ενώ πριν ένα το κρυμμένο είναι κεφάλι)
-Ένα παρακάτω σε μία όψη και της άλλης όψης ίσο αριθμό με πριν το κρυμμένο είναι το ίδιο με το "ένα λιγότερο" ή σωστότερα το "ένα λιγότερο" (πχ κανένα κεφάλι ενώ πριν είχε δει ένα το κρυμμένο είναι κεφάλι)
Συμπληρώνω μια λέξη (το αντικείμενο που το εννοώ αλλά δεν το έχω γράψει)
ΔιαγραφήΈνα παραπάνω σε μία όψη από ότι αρχικά, το κρυμμένο είναι της ίδιας όψης με το "ένα παραπάνω".(πχ δει 2 ΚΕΦΑΛΙΑ ενώ πριν ένα κεφάλι, το κρυμμένο είναι κεφάλι)
$2)$ Αν και με μπερδεύει το "στην επόμενη προσπάθεια" (ποια είναι η προηγούμενη?), και έτσι δεν αντιλαμβάνομαι ακριβώς τα δεδομένα και το ζητούμενο θα κάνω μια προσπάθεια με επιφύλαξη, ερμηνεύοντας το κατά το δοκούν.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑφού η πιθανότητα να τραβήξουμε ένα ζευγάρι κόκκινες είναι $0.50$, αυτό νομίζω σημαίνει ότι οι κόκκινες κάλτσες είναι $3$ και άρα μία πράσινη και άρα να τραβήξουμε ζευγάρι πράσινων αδύνατον, πιθανότης μηδέν $(0)$ .
Eυθύμη, σωστά!
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτο 1. ό,τι γίνεται αφήνει αμετάβλητο (invariable) την αρτιότητα (parity) κεφαλιών και γραμμάτων. Αν αρχικά είναι ας πούμε 3 (ή γενικά περιττός αριθμός) κεφάλια ,περιττός θα είναι και στο τέλος,οπότε αν δούμε στα 4 νομίσματα 1 κεφάλι ξέρουμε πως το κρυμμένο είναι "γράμματα".
Στο 2. 4 κάλτσες δίνουν C(4,2)=6 πιθανά ζευγάρια. Για να είναι η p(ζευγάρι κόκκινες)=1/2 σημαίνει πως τα 3 ζευγάρια έχουν μόνο κόκκινες, άρα οι κοκκινες είναι 3 και 1 η πράσινη.
Έστω 1,2,3 οι κοκκινες και 4 η πράσινη ,οι δυνατοί συνδυασμοί είναι 1-2, 2-3,1-3 (τρία ζεύγη κόκκινων) και 1-4, 2-4,3-4 (τρία ζεύγη κοκκινοπράσινα) . Άρα p(ζεύγος πράσινες)=0 .