Απάντηση στο πρόβλημα: Μέγιστο εμβαδόν (του Νίκου Φραγκάκη)

Το πρόβλημα: Μέγιστο εμβαδόν
Στο πρώτο σχήμα:

Έχει κατασκευαστεί  τετράπλευρο $PBTC$ με πλευρές $PB=8,BT=4,TC=1,CP=8$ που όμως δεν είναι εγράψιμμο η διαγώνιος του $PT=8$  και μετά το παραλληλόγραμμο $ABCD$ με 

$BA//=TP\kappa \alpha \iota AD//=BC$.

Το εμβαδόν του τετραπλεύρου $PBTC$ είναι χωρισμένο σε τρίγωνα με γνωστές και ακέραιες πλευρές και έχει εμβαδόν 

$(PBTC)={\displaystyle \frac{\sqrt{3135}+\sqrt{255}}{4}}$ 

και άρα το παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν

$(ABCD)=2(PBTC)={\displaystyle \frac{\sqrt{3135}+\sqrt{255}}{2}}$.

Εδώ την πάτησα.

Αφού στο δεύτερο σχήμα το τετράπλευρο

$PBTC$ είναι και εγγράψιμμο.

Για να επιτευχθεί αυτό : Κατασκευάζω τρίγωνο  $PCB$ με βάση $CB={\displaystyle \frac{3\sqrt{65}}{5}}$ και πλευρές $PC=8,PB=7$. Γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου αυτού και με κέντρο $B$ και ακτίνα $4$ γράφω νέο κύκλο που τέμνει το μικρό τόξο $CB$ στο $T$.

Με τη βοήθεια  και  του θεωρήματος του Πτολεμαίου προκύπτει ότι $CT=1$.

Τώρα συνεχίζουμε  όπως πιο πάνω και έχουμε το εμβαδόν

$(PCTB)=(PCB)+(CBT)=18\Rightarrow (ABCD)=36$.

Δείτε κι αυτό:

Για κάθε $K$ στην πλευρά π. χ.  $AB$ του παραλληλογράμμου $ABCD$ είναι

$(ABCD)=2(KDC)$.