Απάντηση στο πρόβλημα: Μέγιστο εμβαδόν (του Νίκου Φραγκάκη)

Το πρόβλημα: Μέγιστο εμβαδόν
Στο πρώτο σχήμα:

Έχει κατασκευαστεί  τετράπλευρο $PBTC$ με πλευρές $PB = 8,BT = 4,TC = 1,CP = 8$ που όμως δεν είναι εγράψιμμο η διαγώνιος του $PT = 8$  και μετά το παραλληλόγραμμο $ABCD$ με 

$BA// = TP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD// = BC$.

Το εμβαδόν του τετραπλεύρου $PBTC$ είναι χωρισμένο σε τρίγωνα με γνωστές και ακέραιες πλευρές και έχει εμβαδόν 

$(PBTC) = \dfrac{{\sqrt {3135}  + \sqrt {255} }}{4}$ 

και άρα το παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν

$(ABCD) = 2(PBTC) = \dfrac{{\sqrt {3135}  + \sqrt {255} }}{2}$.

Εδώ την πάτησα.

Αφού στο δεύτερο σχήμα το τετράπλευρο

$PBTC$ είναι και εγγράψιμμο.

Για να επιτευχθεί αυτό : Κατασκευάζω τρίγωνο  $PCB$ με βάση $CB = \dfrac{{3\sqrt {65} }}{5}$ και πλευρές $PC = 8,PB = 7$. Γράφω τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου αυτού και με κέντρο $B$ και ακτίνα $4$ γράφω νέο κύκλο που τέμνει το μικρό τόξο $CB$ στο $T$.

Με τη βοήθεια  και  του θεωρήματος του Πτολεμαίου προκύπτει ότι $CT = 1$.

Τώρα συνεχίζουμε  όπως πιο πάνω και έχουμε το εμβαδόν

$(PCTB) = (PCB) + (CBT) = 18 \Rightarrow (ABCD) = 36$.

Δείτε κι αυτό:

Για κάθε $K$ στην πλευρά π. χ.  $AB$ του παραλληλογράμμου $ABCD$ είναι

$(ABCD) = 2(KDC)$.