Ένα παραλληλόγραμμο και σημείο $Ρ$ στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε οι αποστάσεις από τις κορυφές του να είναι $1, 4, 7, 8$.
Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδόν αυτού του παραλληλογράμμου;
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
190 Αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Twitter X
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Pinterest
Desmos Activities
Ultimate AI Math Solver
Photomath
The Ultimate Math Help App
Wikipedia - Mathematics
Google Gemini
OpenAI - Chat GPT
DeepL Translator
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία
Canadian Mathematical Society (CMS)
The William Lowell Putnam Mathematics Competition (Archive 1985 - 2021)
Art of Problem Solving ONLINE
Leonardo Fibonacci
Kurt Friedrich Gödel
Ευκλείδης
Αρχιμήδης
Leonard Euler
Georg Cantor
Pierre-Simon Laplace
René Descartes
Joseph-Louis Lagrange
Πιερ ντε Φερμά
Gottfried Wilhelm Leibniz
Με κάποια επιφύλαξη το ζητούμενο αποτέλεσμα είναι :
ΑπάντησηΔιαγραφή${(ABCD)_{\max }} = \dfrac{{\sqrt {3135} + \sqrt {255} }}{2} \simeq 35,97989506\,\,\tau .\,\mu o\nu \alpha \delta \varepsilon \varsigma $.
Αργότερα λεπτομέρειες.
Αντιμετωπίζοντάς το ως πρόβλημα βελτιστοποίησης, προέκυψε μέγιστο εμβαδόν = 36 τ.μον. και το παραλληλόγραμμο να είναι ορθογώνιο.
ΑπάντησηΔιαγραφή$20 \sqrt{3}$;
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο μέγιστο εμβαδό αντιστοιχεί στο μέγιστο εμβαδό τετραπλεύρου με πλευρές $1,4,7 και 8$.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο εμβαδό αυτό μεγιστοποιείται για εγγράψιμο (αυτό που το περιγράφει ένας κύκλος! O κύκλος ΕΞΩ από το τετράπλευρο και να εφάπτεται σε ολες τις πλευρές δηλαδή!) τετράπλευρο.
Τότε ισχύει ο τύπος του Βραχμαγκούπτα για το εμβαδό:
$E=2 \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} $ =
$2 \sqrt{(10-1)(10-4)(10-7)(10-8)} =36$
YΓ. s=ημιπερίμετρος = (1+4+7+8)/2=10
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΔιαγραφήΔιόρθωση 1η:
ΔιαγραφήTo μέγιστο εμβαδό αντιστοιχεί στο ΔΙΠΛΑΣΙΟ του μεγίστου εμβαδού τετραπλεύρου με πλευρές 1,4,7,8.
Παλίότερη ανάρτηση γι'αυτό:
http://eisatopon.blogspot.com/2013/07/blog-post_975.html
(ΥΓ. oυδεμία ευθύνη φέρει ο γράφων,για τυχόν ορθογραφικά ,γραμματικά ,συντακτικά λάθη του RIZOPOULOS GEORGIOS. oύτε για τα λάθη του σε φορολογικές δηλώσεις)
Διόρθωση 2η:
"O κύκλος ΕΞΩ από το τετράπλευρο και να εφάπτεται σε ολες τις KOΡΥΦΕΣ δηλαδή!" (για όνομα δηλαδή!...άκου πλευρές! ματιασμένος είμαι να με ζμπαθάτε!)
Πολύ ενδιαφέρον. Γιατί όμως αντιστοιχεί στο διπλάσιο του μεγίστου εμβαδού τετραπλεύρου με πλευρές 1,4,7,8; Μπορείτε να το εξηγήσετε (για τους πιο αδαείς) ή να μας δώσετε κάποια παραπομπή;
ΔιαγραφήΑυτό είναι εύκολο αρκεί από το $P$ να φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές του παραλληλογράμμου .
ΔιαγραφήΤώρα σε ότι αφορά το αποτέλεσμα :
Καλώς είχα την επιφύλαξη .
Εχει γίνει κατασκευή με κανόνα και διαβήτη του σχετικού παραλληλογράμμου στηριζόμενος στην κατασκευή που περιγράφει πολύ σωστά ο κ. Ριζόπουλος .
Επειδή όμως το τετράπλευρο που κατασκεύασα δεν ήταν εγγράψιμο προέκυψε το αποτέλεσμα ( λανθασμένο) με τους άρρητους .
Θα προσπαθήσω να δώσω ( κατασκευαστικά ) τον μετασχηματισμό του τετραπλεύρου με πλευρές $,1,4,7,8$ σε ισοδύναμο εγγράψιμο δικαιώνοντας το κ, Ριζόπουλο 1000% που άθελά μου στενοχώρησα σε άλλη ανάρτηση και του ζητώ ειλικρινώς συγνώμη.
Φίλτατε Χαλμπ βέσεν χαλμπ ντινγκ (aber welch einer Vorname! :-) ), μπορείς να το δεις εποπτικά ως εξής:
ΔιαγραφήΚάνε copy στο τρίγωνο ΑΒP και κάντο paste δεξιά ,ταυτίζοντας δηλαδή την πλευρά DC με την ΑΒ (DC=AB)
Πάρε και το μικρό τριγωνάκι APD και κόλλησέ το από πάνω (κολλώντας ΑD και ΒC)
Δεξιά έχεις δημιουργήσει ένα τετράπλευρο PCP'D (έστω P' to kaiνούργιο σημείο που ορίζει το τριγωνο DCP' =APB)
Aν πετύχεις το σχήμα, θα δεις πως προκύπτει φυσικά το ότι:
Eμβαδό εξαγώνου PDP'CP''B=2* PCP'D (έστω P'' το σημείο πάνω και έξω που ορίζεται από το τριγωνάκι ΒCP"=ADP)
To τετράπλευρο PCP'D έχει πλευρές 1,4,7,8 . είναι εγγράψιμο, κ.λ.π.
Ουάου! Ευχαριστώ. Το έφτιαξα με geogebra, κι έτσι πέτυχε το σχήμα :-)
Διαγραφή(Απορία: Κάτι τέτοια εσείς οι μαθηματικοί τα αντιλαμβάνεστε έτσι χαλαρά με τη πρώτη; )