Να χωρισθεί με μία ευθεία γραμμή ένα τρίγωνο σε δύο μέρη, τα οποία να έχουν ίσο εμβαδόν και ίση περίμετρο.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Να προσθέσω στα ωραία σχόλια των Papadim και Doloros την πραγματολογική παρατήρηση πως η MN διέρχεται υποχρεωτικά από το περίκεντρο του τριγώνου ΑBC.
Aν υπάρχουν δε 3 λύσεις (1 υπάρχει πάντα) οι τρεις ευθείες διέρχονται και οι τρεις από το περίκεντρο.
(δείχνεται εύκολα, αν φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας c,πως τέμνει τη ΜΝ στο περίκεντρο.)
Το λογισμικό όμως δεν δικαιώνει τα πιο πάνω.
Για το έγκεντρο (κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου) πρόκειται
με βάσει τα πιο πάνω φαίνεται και μια απλή λύση στο πρόβλημα!!
Ενδιαφέρον πρόβλημα! Δεν ξέρω αν υπάρχει αμιγώς γεωμετρική προσέγγιση και θα προτείνω ένα περίγραμμα μιας μικτής γεωμετρικής – αλγεβρικής λύσης.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο πρόβλημα ανάγεται στο να βρεθούν τα μήκη CM, CN που ικανοποιούν τις ισότητες:
CM+CN=(AC+CB+BA)/2 και
CM*CN=(AC*CB)/2.
Η δεύτερη ισότητα προκύπτει από τη σχέση εμβαδών (CMN)/(CAB)=1/2, σε συνδυασμό με την ισότητα του λόγου των υψών των ίδιων τριγώνων, που άγονται από τις κορυφές τους Μ και Α αντιστοίχως, προς το λόγο CM/CA).
Γνωρίζουμε επομένως το άθροισμα και το γινόμενο των CM και CN συναρτήσει των γνωστών πλευρών του αρχικού τριγώνου και μπορούμε αλγεβρικά, με αντικατάσταση και επίλυση εξίσωσης 2ου βαθμού, να υπολογίσουμε τα συγκεκριμένα μήκη, με τους περιορισμούς αυτά να έχουν τιμές θετικές και μικρότερες των μηκών των πλευρών του αρχικού τριγώνου, πάνω στις οποίες βρίσκονται τα σημεία Μ και Ν αντιστοίχως.
Το πρόβλημα έχει αλγεβρικά το πολύ 3*2=6 λύσεις, δεδομένου ότι η διαχωριστική γραμμή μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε να τέμνει 3 διαφορετικά κάθε φορά ζευγάρια πλευρών του αρχικού τριγώνου, αλλά με τους περιορισμούς που προαναφέραμε οι λύσεις μπορεί να είναι λιγότερες ή ενδέχεται και να μην προκύπτει λύση.
Πολύ σωστά όλα $papadim$
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν $ABC$ το δεδομένο τρίγωνο και θέσουμε:
$BC = a,CA = b,AB = c\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,s = \dfrac{{a + b + c}}{2}$ τότε για να βρούμε τα σημεία $M,N$ των $AB,AC$ αντίστοιχα που πληρούν τις προδιαγραφές του προβλήματος αρκεί να κατασκευαστούν οι ρίζες της εξίσωσης : $x(s - x) = \dfrac{{bc}}{2}$ (με τις προϋποθέσεις δυνατής κατασκευής )
Πρώτα κατασκευάζουμε τη μέση ανάλογο των $b,\dfrac{c}{2}$ δηλαδή τμήμα $u$ για το οποίο :
${u^2} = \dfrac{{bc}}{2}$. Στη συνέχεια γράφουμε κύκλο διαμέτρου $EZ = s$ και στο $E$ υψώνουμε κάθετο επί την $EZ$ και παίρνουμε πάνω σ αυτή τμήμα $ET = u$ . Η παράλληλη από το $T$ προς την $EZ$ τέμνει, εν γένει, τον κύκλο στα σημεία : $P,Q$ τα τμήματα $TP,TQ$ είναι αντίστοιχα τα μήκη των $AM,AN$.
Αργότερα ίσως βάλω και σχήμα .
Ευχαριστώ πολύ Doloros!
ΔιαγραφήΠολύ ωραία η γεωμετρική κατασκευή των δύο μηκών, όπου από ό,τι βλέπω μετατέθηκε το σημείο Ν από την πλευρά CB στην πλευρά ΑΒ του τριγώνου. Ιδιαιτέρως μου άρεσε η κατασκευή των x και s-x με το θεώρημα του τετραγώνου της εφαπτομένης.
Μιας και είχα την τιμή να συμμετέχω εξ αρχής ως σχολιαστής στην ανάρτηση αυτή, ας μου επιτραπεί η παρατήρηση ότι η διόγκωση μιας λεκτικής παραδρομής του Γ. Ριζόπουλου και η ανάδειξή της σε ΄πρωτοσέλιδη' καταχώριση, αδικεί κατάφωρα την ξεχωριστή παρουσία και προσφορά του στο ιστολόγιο. Πολύ περισσότερο όταν η ρητή αναφορά του σε διχοτόμο στο επίμαχο σχόλιό του κάνει απολύτως σαφές σε κάθε καλόπιστο τρίτο ότι εννοούσε το έγκεντρο και όχι το περίκεντρο του τριγώνου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΖητώ συγνώμη αν κάποιους στενοχώρησα .
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν μου επιτρέψει ο κ. Σωκράτης αποσύρω οτιδήποτε ενοχλεί .