Click to Translate Whole Page to Read and Solve

Σάββατο 15 Μαρτίου 2014

ν2+μ2=κ

Ένα απλό ερώτημα: Mε πόσους διαφορετικούς τρόπους, κατά μέσο όρο, μπορεί να γραφεί ένας ακέραιος ως άθροισμα των τετραγώνων δύο ακεραίων;
Για παράδειγμα, ο αριθμός 2 μπορεί να γραφεί με τέσσερις διαφορετικούς τρόπους:
12+12=2 , 12+12=2,
12+12=2 και 12+12=2
Ο αριθμός 3 δεν μπορεί να γραφεί με κανέναν τρόπο, κ.λ.π.
Όταν λέμε "κατά μέσο όρο", εννοούμε το άθροισμα όλων των δυνατών εκφράσεων για όλους τους αριθμούς μέχρι κάποιον ακέραιο Ν, και να διαιρέσουμε το άθροισμα με τον Ν, επιτρέποντας βεβαίως στον Ν να γίνεται όλο και μεγαλύτερος.
Για παράδειγμα, για N=10 , οι δυνατοί τρόποι γραφής για τους αριθμούς
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 είναι αντίστοιχα: 1,4,4,0,4,8,0,0,4,4,8 και ο μέσος όρος αυτών των εκφράσεων είναι: 1+4+4+0+4+8+0+0+4+4+810=3,7