Για παράδειγμα, ο αριθμός $2$ μπορεί να γραφεί με τέσσερις διαφορετικούς τρόπους:
$1^{2}+1^{2}=2$ , $-1^{2}+ -1^{2}=2$,
$1^{2}+ -1^{2}=2$ και $-1^{2}+ 1^{2}=2$
Ο αριθμός $3$ δεν μπορεί να γραφεί με κανέναν τρόπο, κ.λ.π.
Όταν λέμε "κατά μέσο όρο", εννοούμε το άθροισμα όλων των δυνατών εκφράσεων για όλους τους αριθμούς μέχρι κάποιον ακέραιο $Ν$, και να διαιρέσουμε το άθροισμα με τον $Ν$, επιτρέποντας βεβαίως στον $Ν$ να γίνεται όλο και μεγαλύτερος.
Για παράδειγμα, για $N=10$ , οι δυνατοί τρόποι γραφής για τους αριθμούς
$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ είναι αντίστοιχα: $1, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4, 8$ και ο μέσος όρος αυτών των εκφράσεων είναι: $\frac{1+4+4+0+4+8+0+0+4+4+8}{10} =3,7$
Αρχικά το θεώρησα "στενά" μαθηματικό, θεωρίας αριθμών και φυσικά αφού ελάχιστα γνωρίζω από θεωρία αριθμών το απέρριψα και ως σκέψη και ελάχιστα ασχολήθηκα μαζί του κάνοντας διάφορες πράξεις (Βολφραμάλφα) και μέχρι εκεί που μπορούσε να κάνει πράξεις δίνοντας την εξίσωση
ΑπάντησηΔιαγραφή$X^{2}+Y^{2} =K,K+1,K+2,...$ , (K= όσο μπορούσε να δεχθεί η
Β/αλφα) και ανά 4ο ή 5ο ή 6ο,..διαδοχικό αριθμό έδινε 4 ή 8 ή 12 ή 16 ή 20 λύσεις για Χ, Υ. Τελικά αδιέξοδο, αφού όριο στον αριθμητή δεν υπάρχει και τελικά μου ήρθε μία ιδέα, ότι το θέμα μπορεί να μην είναι στενά μαθηματικό αλλά ....φιλοσοφικά μαθηματικό.
Ότι μπορεί να έχει σχέση με την έννοια του απείρου.
Ο παρονομαστής του Μ.Ο, ο Ν, "επιτρέποντας βεβαίως στον N να γίνεται όλο και μεγαλύτερος." άρα μπορεί να γίνει άπειρος...
Όμοια και ο αριθμητής άπειρος, μόνο τα τετράγωνα των ακέραιων αριθμών $X^{2}+0^{2} \ \ \eta \ \ X^{2}+( \pm 1)^{2}$ δίνουν άπειρο άθροισμα στον αριθμητή, πόσο μάλλον όλες οι δυνατές λύσεις.
Άπειρο δια απείρου έχει νόημα?
Με αρκετές επιφυλάξεις αλλά δεν υπάρχει άλλος τρόπος, προς το παρόν τουλάχιστον, αφού κανείς δεν ασχολήθηκε με το θέμα να μάθω αν είναι σωστές ή όχι αυτές οι σκέψεις!
Ευθύμη, σ'ευχαριστώ θερμά για το σχόλιο και το ενδιαφέρον για το θέμα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΟμολογώ ανερυθρίαστα πως έκανα μεγάλη παγαποντιά γράφοντας στην εκφώνηση "ένα απλό ερώτημα". Δεν είναι καθόλου απλό το ερώτημα και μάλιστα δεν αντιμετωπίζεται αναλυτικά αλλά μόνον ευριστικά -πειραματικά. (εξ'όσων ξέρω πως ίσχυαν μέχρι πρόσφατα τουλάχιστον).
Ζητώ συγγνώμη λοιπόν για τον κόπο στον οποίο μπήκες (και άλλοι ίσως) ,αλλά είμαι σίγουρος πως η προσπάθεια σε ικανοποίησε και κυρίως πως η απάντηση θα σε αποζημιώσει, μιας και είναι από τα εντυπωσιακότερα και πιο απρόσμενα/αναπάντεχα αποτελέσματα στα Μαθηματικά, προσφορά της σύγχρονης τεχνολογίας και της brute force των υπολογιστών. Υπάρχει λοιπόν όντως "όριο" στον μέσο αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορεί να γραφεί ένας θετικός ακέραιος σαν άθροισμα τετραγ. δύο ακεραίων και είναι ο αριθμός... :-)
Nα βάλω πρώτα μια μικρή παρένθεση και να απαντήσω στο γενικότερο ερώτημά σου αν έχει νόημα το άπειρο διά άπειρο. Συνηθέστατα έχει! Aς πούμε η ακολουθία $ln(n)/n$ παρότι και ο αριθμητής και ο παρονομαστής τείνουν στο απειρο , έχει όριο το $0$.
$\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ln(n)}{n} =0$
Παρότι δηλαδή έχουμε την "απευθείας" σχέση των ορίων $\frac{ \infty }{ \infty }$ η απροσδιοριστία αίρεται ,είτε με τον κανόνα του Ντελοπιτάλ (L'Hospital) ,δηλαδή διαφορίζοντας τη συνεχή συνάρτηση $ln(x)/x$ ,οπότε καταλήγουμε στον λόγο
$ \frac{ \frac{1}{x} }{1}= \frac{1}{x}$ που έχει όριο το 0 , είτε απευθείας (με τον ορισμό ε-Ν του ορίου) και το κριτήριο παρεμβολής (Squeeze theorem) ,φράσσοντας το $ln(n)/n$ μεταξύ του 0 και του $1/sqrt{n}$ που επίσης έχει προφανώς όριο το 0.
H περίπτωσή μας εδώ όμως δεν είναι μια συνηθισμένη ακολουθία ακεραίων ,ούτε συνάρτηση που μπορεί να αντιμετωπιστεί με κάποιο συστηματικό τρόπο από την Ανάλυση.
Ο Ηarry.J.Smith (μεταξύ άλλων που ασχολήθηκαν σχετικά) έχει γράψει έναν κώδικα/γενική περιγραφή ενός προγράμματος Η/Υ. και έχει βρεθεί λοιπόν (ουφ! σάς έσκασα,ε; :-)) πως το όριο είναι
$π$. To γνωστό,πατροπαράδοτο και πανάρχαιο $π$ !
Δεν είναι απίστευτο; Πώς στην ευχή και ΓΙΑΤΙ να εμφανίζεται η γεωμετρική αυτή σταθερά σε ένα τέετοιο αριθμοθεωρητικό πρόβλημα; Ιδού λοιπόν και η Φιλοσοφία που σωστά διαισθάνθηκες Ευθύμη!
Εντάξει, ο αριθμός $π$ δεν είναι ασυνήθιστος στην ανάλυση (αλίμονο!) και ακόμη και σε "αταίριαστα" περιβάλλοντα, όπως η πιθανοτική Θεωρία Αριθμών. Έχουμε δει ας πουμε σε παλιότερη ανάρτηση πως η πιθανότητα 2 τυχαίοι ακέραιοι να μην έχουν κοινό διαιρέτη είναι $6/π^{2}$ . Aλλά έτσι ξερό και καραμπινάτο $π$ ,είναι κάτι που -προσωπικά- με εντυπωσιάζει πολύ , κυρίως αισθητικά.
Αυτό που μπορεί κανείς να παρατηρήσει είναι πως αν υπάρχει λύση, τότε όταν $μ=ν$ υπάρχουν 4 τρόποι για να σχηματιστεί ένας αριθμός
$(ν,ν) , (ν,-ν), (-ν,ν) (-ν,-ν)$
Όταν $μ=0$ υπάρχουν 4 τρόποι:
$(0,ν) (0,-ν) (ν,0) (-ν,0)$
Όταν $μ>0$ και $\mu \neq \nu$ υπάρχουν 8 τρόποι για να γίνει καταχώριση.
(μ,ν) (μ,-ν) (-μ,ν) (-μ,-ν) (ν,μ) (ν,-μ) (-ν,μ) (-ν,-μ)
Αν εξετάσουμε τα αποτελέσματα μέχρι τον αριθμό $128$ , βρίσκουμε 8 περιπτωσεις με $μ=ν$ , 11 περιπτώσεις με $μ=0$ και 41 περιπτώσεις με $\mu \neq \nu$
Ο Smith παρατηρεί πως σ'αυτη την περίπτωση η εκτίμηση για το $π$ είναι:
$[4*(8+11) + 8*41]/128=3,15625$
Πρέπει νομίζω να συμπληρωθεί εδώ ότι υπάρχουν ακέραιοι κ με πολλαπλές δυνατότητες παράστασής τους ως αθροισμάτων δύο τετραγώνων (ανεξαρτήτως σειράς και προσήμων των μ και ν). Αναφέρω το εξής παράδειγμα:
Διαγραφή8450 = 79^2+47^2 = 85^2+35^2 = 89^2+23^2 = 91^2+13^2
Στην περίπτωση αυτή έχουμε 4*8=32 δυνατές παραστάσεις. Για ακόμα μεγαλύτερους ακεραίους, υπάρχουν και ακόμα περισσότερες. Π.χ. ο 5^2*13^2*17^2 έχει 13*8=104 δυνατές παραστάσεις.
Αν αντιλαμβάνομαι σωστά το ερώτημα, ζητάμε μια παράσταση συναρτήσει του Ν που να μας δίνει, για κάθε τιμή Ν, τον ακριβή μέσο όρο, όπως προσδιορίζεται και στο παράδειγμα της εκφώνησης.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣε μια πρώτη προσέγγιση, νομίζω ότι τέτοια παράσταση δεν μπορεί να υπάρχει, για τον εξής λόγο:
O N, στη γενική περίπτωση, έχει μικρότερους ή ίσους με αυτόν ένα πλήθος πρώτων, το οποίο δεν προσδιορίζεται παρά μόνο κατά προσέγγιση συναρτήσει του Ν.
Σύμφωνα με ένα θεώρημα του Φερμά, για να μπορεί ένας πρώτος να εκφραστεί ως άθροισμα τετραγώνων δύο ακεραίων, πρέπει και αρκεί να είναι ή ο 2 ή της μορφής p=1(mod4), π.χ. 1, 5, 13, 17, 29 κ.ο.κ.. Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι πρώτοι της συγκεκριμένης μορφής εκφράζονται ως άθροισμα τετραγώνων ακεραίων, ενώ όλοι οι πρώτοι κάθε άλλης πιθανής μορφής όχι.
Αφού όμως ο αριθμός των πρώτων που είναι μικρότεροι ή ίσοι του Ν δεν καθορίζεται με ακρίβεια συναρτήσει του Ν, είναι επόμενο ότι δεν μπορούμε να έχουμε και μια ακριβή μαθηματική φόρμουλα που να υπολογίζει και πόσοι από αυτούς εκφράζονται ως άθροισμα τετραγώνων ή όχι.
Επομένως, ανεξαρτήτως του τι συμβαίνει με τους σύνθετους μικρότερους ή ίσους του Ν, η απουσία κάθε κανονικότητας στην εμφάνιση των πρώτων, ακυρώνει τη δυνατότητα ακριβούς τύπου για το ζητούμενο μέσο όρο.
Θανάση, χαίρε και ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σχόλιο!
ΔιαγραφήΚαταλαβαίνεις ασφαλώς πως γράφαμε σχεδόν ταυτόχρονα . Νομίζω πως καλύπτεται ο προβληματισμός σου από αυτά που έγραψα σχετικά με τη φύση του θέματος.
Γράφει ο Ross Honsberger στο "Mathematical Gems III "
"Από καιρό σε καιρό εμφανίζεται ένα καταπληκτικό αποτέλεσμα που συνδέει στενά δύο ξένα αντικείμενα που φαίνονται να μην διαθέτουν τίποτα κοινό. Ποιος θα μπορούσε να υποπτευθεί, για παράδειγμα, ότι κατά μέσον όρο, το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορεί να εκφραστεί ένας θετικός ακέραιος ως άθροισμα των τετραγώνων δύο ακεραίων αριθμών, $x^{2} +y^{2} =n$ , είναι ο αριθμός $π$ ; "
Δίνω και τον κώδικα του Smith, όπως τον δίνει σε κείμενό του ο Κλίφορντ Πικόβερ, για όποιον τυχόν ενδιαφέρεται να δοκιμάσει μόνος του προσεγγίσεις του π. (μη μού ζητήσετε μόνο διευκρινήσεις ,δεν έχω ιδέα μουσικής!)
ΑπάντησηΔιαγραφήs_Max: Max s used for current estimate
n : n used in s=n*n+m*m
m : m used in s=n*n+m*m
n2 : n squared
m2 : m squared
s : Sum of two squares= n*n + m*m
t : t= total number of ways integers <=s_Max
can be written as the sum of two squares
a : Average number of ways, t/s_Max;
Error : Computed error=Pi -a
Done : Boolean done flag
s_Max <--- 1;
repeat
n <--- 0; 1<--- 0;
repeat
m<--- -1; n<--- n+1; n2<---n*n; Done<---True;
repeat
m<---m+1; m2<---m*m; s<---n2+m2;
f(s <= s_Max) {
Done <--- False;
if (m=0) or (m=n)
then t <--- t+4
else t <--- t+8;
}
else
m<---n;
until (m=n);
until Done or (interrupted by operator);
a<--- t / s_Max; Error <--- Pi - a;
output a, Error, s_Max;
s_Max <--- 2 * s_Max;
until (interrupted by operator);
Γιώργο, σε ευχαριστώ με τη σειρά μου για τις ενδιαφέρουσες πληροφορίες και παραπομπές και επίτρεψέ μου ένα - δυο συμπληρωματικά σχόλια:
ΑπάντησηΔιαγραφή1. Δεν ξέρω πόσο ενδιαφέρον ήταν το προηγούμενο σχόλιό μου, θεωρώ πάντως ότι ήταν μία μαθηματικά αιτιολογημένη απάντηση στην κυριολεκτική διατύπωση και ερμηνεία του ερωτήματος της ανάρτησης. Ξανακοιτάζοντάς το, βλέπω ότι ζητείται ο μέσος όρος σε σχέση με την τιμή του Ν και όχι το όριο του μέσου όρου για Ν τείνοντα στο άπειρο.
2. Αν θέλουμε (και νομίζω ότι είμαστε υποχρεωμένοι) να είμαστε μαθηματικά ακριβείς, ο υπό συζήτηση μέσος όρος δεν είναι ακριβώς ίσος με τον π για καμιά πεπερασμένη τιμή του Ν. Πείθομαι όμως, και χωρίς να έχω μελετήσει ακόμα τις παραπομπές που είχες την καλοσύνη να μας δώσεις, ότι τείνει στον π, όσο ο Ν τείνει στο άπειρο. Όπως ακριβώς το πλήθος των πρώτων που είναι μικρότεροι ή ίσοι του Ν τείνει στο Ν/lnΝ για Ν τείνοντα στο άπειρο, αλλά δεν είναι ακριβώς τόσοι για καμία πεπερασμένη τιμή του Ν
3. Αν δεν κάνω λάθος στα παραπάνω, νομίζω ότι, αντί για πρόβλημα προς λύση, καλύτερα θα ήταν να είχες γράψει κάποιο άρθρο, στο οποίο κάλλιστα θα μπορούσαν να περιληφθούν τα όσα ωραία παρουσίασες.
3.Προσωπικά, δε με εκπλήσσει η εμφάνιση του π σε προβλήματα που δεν είναι γεωμετρικά. Έχω υπόψη μου και άλλα, μη αριθμοθεωρητικά (π.χ. πιθανοτικά) προβλήματα που συμβαίνει επίσης να εμφανίζεται ο π και, σε καμιά περίπτωση, δε βρίσκω το εύρημα πρωτόγνωρο.
Θανάση, ομολογώ πως δεν καταλαβαίνω απόλυτα την ένστασή σου 2. αποπάνω. Δεν βλέπω σε τι ουσιαστικά διαφέρει η προσέγγιση αυτή του $π$ με κάθε άλλη γνωστή αναλυτική προσέγγιση. Και οι απειροσειρές (είτε καθαρά γεωμετρικές σαν του Αρχιμήδη, είτε αναλυτικές σαν την ιστορική του Βιέτ ή την γνωστή των Γουώλις-Brouncker) όρια είναι. Αλλά η ακρίβειά τους δεν αμφισβητείται. Μας δίνουν οσοδήποτε μεγάλο αριθμό ψηφίων του $π$ θέλουμε,και είναι ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ του αριθμού π.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο πρώτο ας πούμε απειρογινόμενο στην ιστορία που έδωσε μια παράσταση του $π$ , αυτό του Bιετ (Viete):
$\pi =2 \times \frac{2}{ \sqrt{2} } \times \frac{2}{ \sqrt{2+ \sqrt{2} } } \times \frac{2}{ \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2} } } } \times \cdots $
δεν διαφέρει "ιδεολογικά" -όπως το βλέπω εγώ το θέμα- από το όριο εδώ. Το ότι οι πρώτοι δεν είναι ορισμένα κατανεμημένοι δεν λέει κάτι. Απλώς η απειροσειρά των μέσων όρων προσεγγίζει πιθανότατα "εναλλασόμενα" (απο κάτω και από πάνω) το π.
Για το 1. ,μπορεί να μην μίλησα στην εκφώνηση καθαρά για "όριο", αλλά η περιφραστική διατύπωσή μου το υποννοεί σαφώς.
Ο λόγος που δεν ανέφερα "όριο" στην εκφώνηση, είναι πως ήθελα να είμαι ακριβολόγος. Δεν μπορούμε τυπικά να μιλήσουμε για όριο, με το εννοιολογικό-φορμαλιστικό περιεχόμενο που δίνουν τα Μαθηματικά στον όρο, εφόσον δεν έχουμε μια σαφώς ορισμένη με αναλυτικό τρόπο συνάρτηση-ακολουθία. Αλλά αυτό ΔΕΝ σημαίνει (όπως έχει αναμφισβήτητα αποδειχτεί με πολύ μεγάλους αριθμούς , μέσω Η/Υ) πως δεν μπορούμε να βρούμε $ε$ θετικό, ώστε να φράξουμε την ακολουθία των μέσων όρων σε μια αυθαιρέτως μικρή γειτονιά του $π$ ακτίνας $ε$.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπίτρεψέ μου μια προσθήκη, καθώς είδα αυτό σου το σχόλιο αφού είχα στείλει το τελευταίο δικό μου. Γράφεις ‘Δεν μπορούμε τυπικά να μιλήσουμε για όριο, με το εννοιολογικό-φορμαλιστικό περιεχόμενο που δίνουν τα Μαθηματικά στον όρο, εφόσον δεν έχουμε μια σαφώς ορισμένη με αναλυτικό τρόπο συνάρτηση-ακολουθία.’ Συμφωνώ απολύτως, αλλά ρωτάω. Από πού προκύπτει και πώς αποδεικνύεται ότι δεν μπορούμε να έχουμε σαφώς ορισμένη αναλυτικά συνάρτηση-ακολουθία;
ΔιαγραφήΘανάση, με αδικείς ή ίσως με διαβάζεις κάπως απρόσεκτα. :-) Δεν είπα πως "δεν μπορούμε να έχουμε". Αλλά -προς το παρόν- δεν έχουμε. Πραγματολογική παρατήρηση ήταν δηλαδή.
ΔιαγραφήΚαι δεν χρειάζεται να σού "επιτρέπω" τίποτε και οποτεδήποτε! Τα σχόλιά σου είναι "εξ ορισμού" αποδεκτά και επιθυμητά στο ιστολόγιο και διπλά επιθυμητά από την ημετέρα ταπεινότητα.
Γιώργο μου, σε διαβάζω με θρησκευτική προσήλωση (κάτι σαν ευαγγέλιο, να πούμε..), αλλά άνθρωποι είμαστε, κάτι θα μας ξεφύγει καμιά φορά.
ΔιαγραφήΣυμφωνώ, το ‘δεν μπορούμε’ μπορεί στο μέλλον να διαψευσθεί, υποψιάζομαι όμως πως όχι πριν από την εξιχνίαση του μυστηρίου της κατανομής των πρώτων αριθμών. :-)
Ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια, τα ανταποδίδω μαζί με τα πάντα καλά μου αισθήματα!
Γιώργο μου, τα τελευταία μου σχόλια δεν αφορούσαν το π ως όριο απειροσειρών ή την έννοια του ορίου γενικότερα, θέματα που νομίζω ότι αντιλαμβάνομαι επαρκώς και σε συμφωνία προφανώς με όσα γράφεις στα δικά σου σχόλια.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό που ισχυρίστηκα (και θεωρώ ότι ήταν ευθεία απάντηση στο ερώτημα της ανάρτησης, όπως το προσδιόρισες και με το σχετικό παράδειγμα), είναι ουσιαστικά ότι ούτε το 3,7 για Ν=10, ούτε το 3,15625 για Ν=128 δεν είναι π, αλλά προσεγγίσεις του. Φυσικά, στο αρχικό μου σχόλιο δεν αναφέρθηκα ούτε σε όριο σύγκλισης ούτε συγκεκριμένα στον π, γιατί ομολογουμένως δε γνώριζα ότι ο π είναι το όριο του μέσου όρου, όταν το Ν τείνει στο άπειρο.
Αιτιολόγησα πάντως τον ισχυρισμό μου για την αδυναμία ακριβούς εύρεσής του μέσου όρου, για οποιαδήποτε πεπερασμένη τιμή του Ν, μέσω του θεωρήματος του Φερμά και της απουσίας κανονικότητας των πρώτων. Αν φυσικά θεωρείς ότι αυτά δεν είναι αρκετά για να στοιχειοθετήσουν την υπόψη αδυναμία, ευχαρίστως να το συζητήσουμε. Αν πάλι παρεννόησα το νόημα του ερωτήματος της ανάρτησης, δεν έχω καμιά δυσκολία να το δεχτώ και να αποσύρω την ‘ένστασή’ μου.
Θα διαβάσω φυσικά τον πιθανό αντίλογό σου στα πιο πάνω, αλλά όσο με αφορά θα μου επιτρέψεις να μην ανταπαντήσω, θεωρώντας το θέμα καλυμμένο από άποψη μαθηματικής ουσίας.
Τι θα πει ακέραιος αριθμός;
ΑπάντησηΔιαγραφήΔεν ρωτάω ποιοι είναι οι ακέραιοι, ξέρω ποιοι ονομάζονται. Ρωτώ τι σημαίνει ακέραιος αριθμός ώστε να κρίνουμε αν π.χ. στην ισότητα 1+1=2 το 2 έχει τις ίδιες ιδιότητες με το 1, ώστε να χαρακτηριστούν αμφότεροι ακέραιοι. Αν δεν διευκρινιστεί τι θα πει ακέραιος αριθμός (όχι ποιοι είναι οι ακέραιοι επαναλαμβάνω) δεν έχει νόημα το εισαγωγικό πρόβλημα.
Αυτό είναι μαθηματικό πρόβλημα και όχι οι ασκήσεις τυφλοσούρτη. Επειδή σε μένα δεν θα απαντήσετε (ούτε και με απασχολεί), μπορείτε να αναρωτηθείτε από μόνοι σας αν γνωρίζετε την απάντηση διότι εγώ γνωρίζω αν την ξέρετε ή όχι. Δεν είσαστε δα και οι πρώτοι που θα σιωπήσετε, εν προκειμένω, με ξένο επιχείρημα από το πραγματικό…
Υγεία
Ένα επίσης ενδιαφέρον μαθηματικό αποτέλεσμα, απολύτως σχετικό με το περιεχόμενο της ανάρτησης, που αξίζει νομίζω αναφοράς είναι και το εξής:
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια να μπορεί ένας θετικός ακέραιος να εκφραστεί ως άθροισμα τετραγώνων δύο ακεραίων, αναγκαία και ικανή συνθήκη είναι όλοι οι πρώτοι παράγοντές του που είναι του τύπου p=3(mod4) να εμφανίζονται με άρτιο εκθέτη στην παραγοντική παράσταση του αριθμού (περιλαμβανομένου και του 0 στους άρτιους).
Αν δεν κάνω λάθος, πρόκειται για ένα θεώρημα του εξαίσιου Euler.:-)
Μέχρι τώρα αποφύγατε τις προκλήσεις κύριε papadim και η στάση σας ήταν άψογη. Το εκτίμησα διότι δεν περίμενα απαντήσεις για πράγματα που γνωρίζω ότι δεν τις έχετε, όχι εσείς αλλά κανένας μαθηματικός. Απλά επεσήμανα το αδιέξοδό σας και δυστυχώς ακόμα και τώρα δεν βλέπετε τον τοίχο μπροστά σας. Τώρα γιατί προκαλείτε παρά την εμφανή αδυναμία σας; Μάλλον θα αισθάνεστε πιο δυνατός για να γράψετε μετά από τη δημοσίευσή μου θέλοντας να κάνετε επίδειξη άλματος υπεροχής σε μια προσπάθεια έμμεσης στήριξης του σιωπηλού συνομιλητή (και τι να πει;) αλλά και να επισημάνετε την απαξία που επιδεικνύετε σε μένα. Δεν εντυπωσιάζομαι από κουταμάρες και μη το συνεχίσετε μαζί μου σας παρακαλώ (όχι και τόσο έντονα όμως) γιατί δεν έχετε τέτοιες δυνατότητες.
ΔιαγραφήΠερί ενδιαφέροντος τώρα:
Ακόμα πιο ενδιαφέρον είναι να μιλάμε με αόριστες έννοιες (π.χ. ακέραιος αριθμός), ώστε μετατρέποντας αυτές σε λάστιχο, να εμφανιζόμαστε ανίκητοι! Οι εξαίσιοι ανίκητοι κληρονόμοι του καντοριανού παράδεισου...
Υγεία
Αγαπητέ κύριε Μαγκλάρα, λυπάμαι αν κάποιο από τα προηγούμενα σχόλιά μου, από δικό μου πιθανώς σφάλμα διατύπωσης, αισθανθήκατε ότι σας θίγει ή σας προκαλεί προσωπικά. Δεχθείτε παρακαλώ την ειλικρινή και καλοπροαίρετη διαβεβαίωσή μου ότι δεν είχα καμία τέτοια πρόθεση μείωσης ή επίδειξης απαξίας προς το πρόσωπό σας.
ΔιαγραφήΩς προς την ουσία των λεγομένων σας, επιτρέψτε μου κάποιες διευκρινίσεις:
1. Η συμμετοχή μου σε αυτό το ιστολόγιο δεν έχει στόχο την επίδειξη δύναμης και εξυπνάδας, αλλά την πνευματική άσκηση μέσα από τη συνεύρεση με φίλους και την ανταλλαγή μαζί τους γνώσεων, ιδεών, σκέψεων και απόψεων σε τομείς όπου μας ενώνουν κοινά ενδιαφέροντα και κοινοί κώδικες επικοινωνίας.
2. Αυτό που έγραψα μετά από τη δημοσίευσή σας δεν είχε καμία σχέση με το περιεχόμενο του σχολίου σας, δεν ήταν κατά κανένα λόγο προσπάθεια στήριξης κανενός συνομιλητή, ούτε απόπειρα να ανοίξω ή συνεχίσω κανένα διάλογο μαζί σας.
3. Δεν απορρίπτω φυσικά κανέναν από συνομιλητή σε αυτό το φιλόξενο χώρο, αλλά προσωπικά θα ήθελα προηγουμένως να καταλάβω την ουσία και το ‘δια ταύτα’ των απόψεών σας, αν είχατε την καλοσύνη να τις εκθέσετε όχι αρνητικά και επιθετικά, αλλά θετικά και κατά το δυνατόν ολοκληρωμένα.
Εύχομαι υγεία και σε εσάς.
Αγαπητέ κύριε papadim, έχω γράψει ακριβώς πριν το δικό σας κείμενο:
ΔιαγραφήΡωτώ τι σημαίνει ακέραιος αριθμός ώστε να κρίνουμε αν π.χ. στην ισότητα 1+1=2 το 2 έχει τις ίδιες ιδιότητες με το 1, ώστε να χαρακτηριστούν αμφότεροι ακέραιοι. Αν δεν διευκρινιστεί τι θα πει ακέραιος αριθμός (όχι ποιοι είναι οι ακέραιοι επαναλαμβάνω) δεν έχει νόημα το εισαγωγικό πρόβλημα.
Όπως αντιλαμβάνεστε ευρίσκομαι εντός του εισηγμένου θέματος και το αμφισβητώ, όπως αυτό εισήχθη, σαν εσφαλμένο (κατά την άποψη μου διερευνούμε ανύπαρκτο θέμα), που συνεπάγεται ότι όλη η συνομιλία που το αφορά είναι αβάσιμη και ανούσια, αν δεν απαντηθεί το ερώτημά μου. Δεν πάω να πάρω το πορτοφόλι κανενός, δεν κάνω κακό νομίζω και παρά το ότι δεν είμαι μαθηματικός δεν συνεπάγεται ότι δεν μου ανήκει μερίδιο από τα μαθηματικά που δεν είναι ιδιοκτησία κανενός ή για να το πω και αλλιώς ανήκουν σε όλους μας.
Αυτό που γίνεται εν προκειμένω είναι κακομεταχείριση των μαθηματικών με όπλο την αυθαιρεσία και την κατάχρηση. Αν υποθέσουμε ότι κάποιος θεωρεί δικαίωμά του να τα κακομεταχειρίζεται, το ίδιο δικαίωμα έχει κάποιος άλλος να τα υπερασπιστεί.
Λέτε αγαπητέ κύριε papadim: Για να μπορεί ένας θετικός ακέραιος να εκφραστεί ως άθροισμα τετραγώνων δύο ακεραίων, αναγκαία και ικανή συνθήκη είναι…
Μα δεν βλέπετε τι γίνετε; Ποια συνθήκη είναι αναγκαία πριν από την δική σας;
Μα η δική μου. Η απάντηση στο ερώτημά μου που αν δεν απαντηθεί «τι είναι ακέραιος αριθμός» δεν έχει νόημα το αναγκαίο της δικής σας συνθήκης. Τι θα πει ακέραιος θετικός καλέ μου κύριε papadim;
Ποιο είναι το διακύβευμα;
Τι ψάχνουμε;
Υπάρχει στα μαθηματικά αυτό που ψάχνουμε, δηλαδή ακέραιος θετικός διάφορος του 1;
Ορίζεται τουλάχιστον για να μην πω ότι ο ορισμός απαιτεί απόδειξη ο ίδιος κατά τα θεωρήματα απόδειξης ύπαρξης; Όταν δεν ορίζεται (τουλάχιστον) το τι είναι ακέραιος θετικός ποιο είναι το αντικείμενο της συζήτησης; Αυτή είναι η ένστασή μου και δεν αρκεί να μου πείτε ποιοι θεωρούνται ακέραιοι θετικοί διότι το γνωρίζω. Αυτό που δεν γνωρίζω και επισημαίνω ότι ούτε κι εσείς και κανένας μαθηματικός δεν το γνωρίζει, είναι τι είναι ακέραιος θετικός και όχι το ποιοι λέγονται ακέραιοι θετικοί. Για να υπάρξει συνεννόηση αναγκαία συνθήκη είναι να διευκρινίσουμε τις χρησιμοποιούμενες έννοιες. Δεν συμφωνείτε ότι δεν μπορούμε να απεραντολογούμε και να λέμε μπράβο ο ένας στον άλλο για τις ωραίες λύσεις, όταν αυτές αφορούν το μαθηματικό τίποτα; Για αυτό φέρνω παράδειγμα το 1 και το 2. Έχουν τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες ώστε να λέγονται αμφότεροι ακέραιοι θετικοί και ποιες είναι αυτές οι ιδιότητες καλέ μου κύριε papadim; Διατυπώστε τες παρακαλώ. Δεν νομίζω ότι είναι ξένες ιδέες για σας αυτά που λέω. Το άθροισμα των 2 τετραγώνων του 1 (κατά την εισαγωγή του προβλήματος) που μας κάνει 2 τι σημαίνει; Ένωση (διπλασιασμό δηλαδή) της μονάδας ή απραξία, δηλαδή ότι ο αριθμός 2 σημαίνει ότι εκφράζει σταθερά τις 1 και 1 σαν πλήθος από μονάδες όπως είναι και πριν την αθροιστική πράξη; Τόσο δύσκολο είναι να γίνει κατανοητό;
Συνεχίζεται...
Δεν αντιλαμβάνεστε ότι ο κύριος Ριζόπουλος επειδή δεν μπορεί να αποδείξει το πυθαγόρειο κατά κανέναν τρόπο, το εισάγει έμμεσα προς συζήτηση για να κάνει κόντρα το αβγό στην πέτρα; Όμως όπου με γράφει τον έχω επίσης γραμμένο διότι είναι ψεύτης και αυτό δεν το παίρνω πίσω διότι τα γραπτά μένουν. Εδώ μπαίνετε εσείς που με τη συμμετοχή σας σε μια συζήτηση που απαιτεί για να διεξαχθεί αληθές το πυθαγόρειο δίνετε στήριξη στον κύριο Ριζόπουλο ηθελημένα ή αθέλητα (αυτό το τελευταίο πιστεύω ότι ισχύει).
ΔιαγραφήΣυμπαθάτε με που με παρέσυρε η υποψία.
Στις αθροίσεις 2 ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ και ΓΔ π.χ. επί ευθείας ε με τον διαβήτη ορίζουμε ΚΟ=ΑΒ και ΟΜ=ΓΔ και έτσι τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ ενώνονται και κάνουμε το ΚΜ έχοντας κοινό σημείο της ένωσής τους το Ο. Ούτε με αυτό συμφωνώ βέβαια αλλά έστω - καταχρηστικά - επειδή έτσι διδάσκεται στα παιδιά μας το επικαλούμαι. Στις μονάδες πως μπορεί να γίνει το ίδιο ώστε να έχουμε διπλάσιο (ή άλλο ακέραιο πολλαπλάσιο) του 1; Σκεφτείτε παρακαλώ: 1 μονάδα και 1 μονάδα τι κοινό έχουν να γίνουν μία διπλάσια μονάδα που θα την πούμε 2; Τα ευθύγραμμα τμήματα χωρίς να έχουν κάτι κοινό αποκτούν (με απόφαση) κοινό σημείο Ο. Οι 1 και 1 μονάδες τι κοινό μπορεί να ευρεθεί ότι έχουν μεταξύ τους ώστε να ενωθούν σε διπλάσια μονάδα και το 2 να είναι ακέραιος θετικός όπως το 1; Αλλά αυτό δεν φτάνει. Χρειάζεται και αξίωμα στήριξης βέβαια που να αναγνωρίζει οπωσδήποτε τη ύπαρξη «κάτι» κοινού μεταξύ των αριθμητικών μονάδων ώστε να μπορούν να ενωθούν, διότι χωρίς άμεση ή έμμεση στήριξη από αξίωμα καμία απόδειξη δεν θεωρείται αληθής στα μαθηματικά και αυτό είναι μαθηματική παραδοχή και όχι δική μου επινόηση.
Τόσο απλά είναι τα πράγματα.
Δεν γνωριζόμαστε κύριε papadim και επομένως δεν υπάρχει κάτι το προσωπικό. Υπάρχει όμως κάτι κοινό μεταξύ μας και αυτό είναι τα μαθηματικά, που εκτιμήστε, πως ίσως τα αγαπάω όσο κι εσείς. Αυτά που υποστηρίζετε στα μαθηματικά αρνούμαι - όπως έχω το δικαίωμα νομίζω - και όχι εσάς προσωπικά και θέλω να το καταστήσω σαφές.
Ζητώ ειλικρινά συγγνώμη για την οξύτητα αλλά μην το εκλαμβάνετε ότι είναι προσωπικό το θέμα. Μόνο τα μαθηματικά αφορά. Σας ευχαριστώ για το ύφος και το ήθος που όντως διδάσκει…
Υγεία.
Κύριε Μαγκλάρα ευχαριστώ!
ΔιαγραφήΔεν είχα λάβει ως προσωπικά στρεφόμενη εναντίον μου την όποια οξύτητα των σχολίων σας. Αυτό που αντιλαμβάνομαι όμως ως ουσία των τελευταίων σας τοποθετήσεων είναι ότι αφορούν το συνολικό σώμα της κατεστημένης μαθηματικής γνώσης (ή ‘γνώσης’, αν προτιμάτε) των τελευταίων αιώνων, ενδεχομένως δε και της επιστήμης και του πολιτισμού που έχει αναπτυχθεί στη βάση αυτής της γνώσης.
Θα σας εκπλήξει ίσως η δήλωσή μου ότι δεν είμαι καταρχήν αντίθετος σε αυτού του είδους τις κριτικές θέσεις και αποτιμήσεις, δεχόμενος ότι αυτό που ορίζεται συχνά ως γνώση και αλήθεια δεν είναι παρά μια ανθρώπινη και κοινωνική κατασκευή, η οποία εξελίχθηκε ιστορικά με ορισμένο τρόπο, όχι αναγκαστικά τον καλύτερο δυνατό. Επιτρέψτε μου όμως να πιστεύω ότι καμιά τέτοια κατασκευή δεν θα επιβίωνε στο χρόνο με τις όποιες αδυναμίες της, τις μετεξελίξεις και τις προσαρμογές της, αν δεν συνιστούσε ένα αποτελεσματικό / λειτουργικό πλαίσιο πρόσληψης και κατανόησης του κόσμου.
Δεν θα μου ταίριαζε να απαντήσω για λογαριασμό των μαθηματικών, που επίσης δεν είμαι, για το πόσο στέρεα θεμελιωμένοι είναι οι ακέραιοι ή κατά πόσο ισχύει το Πυθαγόρειο. Καλώς ή κακώς όμως με αυτά ως δεδομένα έχουμε οργανώσει τη σκέψη, την επιστήμη και τον πολιτισμό μας.
Αυτό που με συνδέει σε αυτό το χώρο με το Γ. Ριζόπουλο και τους άλλους φίλους, όπως σας έχω ήδη αναφέρει, είναι ακριβώς αυτή η κοινωνία γνώσης και πολιτισμού, μέσα στην οποία βρίσκουμε γλώσσα συνεννόησης και διαλόγου. Σε αυτή την κοινωνία, καταλαβαίνουμε όλοι οι συμμετέχοντες και τι εννοούμε όταν λέμε ακέραιοι και τι δηλώνει το Πυθαγόρειο. Είναι μερικά από τα βασικά μας δεδομένα. Δεν ξέρω αν είμαστε θύματα κακής εκπαίδευσης ή ζούμε με ψευδαισθήσεις, πάντως μπορούμε να έχουμε μια κοινή κατανόηση για το αντικείμενό μας, να συμφωνούμε, να διαφωνούμε, να διαλεγόμαστε.
Προφανώς, εσείς έχετε μια διαφορετική αντίληψη των πραγμάτων, η οποία, όσο τουλάχιστον με αφορά, είναι καθ’ όλα σεβαστή. Ελπίζω να είναι το ίδιο σεβαστό και από την πλευρά σας το δικαίωμά μας στο δικό μας ‘λάθος’.
Υγεία σε όλο τον κόσμο!
Κύριε Μαγκλάρα, προσπαθώ κι εγώ ειλικρινά και καλοπροαίρετα να καταλάβω την ένστασή σας σε ένα τόσο θεμελιώδες ζήτημα των μαθηματικών όπως είναι οι θετικοί ακέραιοι. Βοηθήστε με λοιπόν να καταλάβω τη θέση σας. Ρωτάτε τι κοινό έχει 1 μονάδα και 1 μονάδα και αν μαζί κάνουν μία διπλάσια μονάδα. Δεν συμβαίνει αυτό το δεύτερο αφού ένα μήλο και ένα μήλο δεν αποτελούν ένα μεγάλο μήλο, αλλά δύο μήλα. Το 1 και το 2 έχουν το εξής κοινό: συμβολίζουν αμφότερα διαφορετικά πλήθη διακριτών ποσοτήτων. Δεν είναι αυτό κοινό στοιχείο ώστε να εντάξουμε τις έννοιες 1 και 2 σε ένα σύνολο; Εξηγήστε σας παρακαλώ αναλυτικά τη θέση σας.
ΔιαγραφήΑγαπητέ κύριε papadim χαίρομαι που λύθηκε η όποια παρεξήγηση ή παρανόηση και καλό και χρήσιμο θα ήταν να λυθούν και διαφορές περί των αντιλήψεων.
ΔιαγραφήΛέτε: Επιτρέψτε μου όμως να πιστεύω ότι καμιά τέτοια κατασκευή (ανθρώπινη και κοινωνική, όπως την περιγράφετε) δεν θα επιβίωνε στο χρόνο με τις όποιες αδυναμίες της, τις μετεξελίξεις και τις προσαρμογές της, αν δεν συνιστούσε ένα αποτελεσματικό / λειτουργικό πλαίσιο πρόσληψης και κατανόησης του κόσμου.
Ασφαλώς δεν είμαι εγώ που θα σας επιτρέψω ή θα σας απαγορεύσω οτιδήποτε. Όμως, μπορώ να απαντήσω, ότι ποτέ δεν είναι αργά και οι αιτιολογίες μου να είναι αυτές που θα σας κάνουν από μόνος σας να συλλογιστείτε το τι θα θεωρήσετε εσείς γνώση. Να τώρα, που δεν αντέχει αυτή η αναφερόμενη κατασκευή. Ο χρόνος δεν σταματάει και δεν υπάρχει (δεν χωρεί) παραγραφή των λαθών που σχετίζονται με εμπεδωμένες αντιλήψεις λόγω παρέλευσης πολλών ετών, όπως στα ποινικά αδικήματα. Το λάθος εξάπαντος (τώρα ή μετά) θα λυγίσει μπροστά στην πραγματικότητα, οποτεδήποτε αυτή διεκδικήσει τη δική της αλήθεια. Π.χ. η περίπτωση του Γαλιλαίου και το αν ο ήλιος γυρίζει γύρω από τη γη ή το αντίστροφο. Αν μέναμε στην ανάπαυση της τότε κρατούσας αντίληψης ο ήλιος θα εξακολουθούσε να γυρίζει γύρω από τη γη. Δεν παίζει ρόλο λοιπόν το πολυετές διάβα π.χ. του πυθαγορείου σαν αληθούς, όταν τώρα καταρρίπτεται με πάταγο και τον θόρυβο τον συγκαλύπτει η αποσιώπηση.
Ιδίως το τελευταίο περί την κατανόηση του κόσμου, ας μου επιτραπεί να διαφωνήσω και ως προς την πρόσληψη και ως προς την κατανόηση του κόσμου. Το θέμα εν προκειμένω είναι σύνθετο και δεν αφορά μόνο τα μαθηματικά, αλλά και τη φυσική πέραν της κλασικής μηχανικής με εργαλεία επαλήθευσης τους πειραματισμούς και τις επαναλήψεις των πειραματισμών μέχρι ένα εκ των πειραμάτων να αμφισβητήσει την όποια κρατούσα αντίληψη, όπως επίσης αφορά και τη θεωρία της σχετικότητας. Αυτή τη φαιδρή θεωρία την καταρρίπτει (π.χ. σε ότι αφορά τη σχετικότητα της κίνησης και του μέτρου της που είναι η ταχύτητα) ο Ζήνων ο Ελεάτης χιλιάδες χρόνια πριν και ας αναγνωρίζουμε σαν παράδοξο (που δεν είναι) το πρόβλημα με τον Αχιλλέα και τη χελώνα. Οι μαθηματικοί (όχι όλοι βέβαια) κλείνουν και τα μάτια και τα αυτιά μη χαθεί ο καντοριανός παράδεισος. Στο στομάχι μου έχει κάτσει αυτή η ανοησία.
Πώς να κατανοήσει κανείς τον κόσμο όταν 1-1=0; Οι αρχαίοι Έλληνες δεν γνώριζαν το μηδέν και τους αρνητικούς αριθμούς. Πρόσθεση και αφαίρεση όμως κάνανε. Τι λέτε; Πόσο έκανε το 1-1 για τους αρχαίους Έλληνες; Η επιβολή της ύπαρξης του θετού μηδενός (που εισήχθη από τους ασιάτες σαν τα χαλιά Περσίας και έγινε παραδεκτό σαν αριθμός μετά από ομηρικές μάχες μεταξύ των μαθηματικών) και των αρνητικών αριθμών τι έχουν προσφέρει στον άνθρωπο πέρα από το αστείο 1-1=0 με συνεπακόλουθο λ.χ. όλες τις αλγεβρικές παραστάσεις που ισούνται με το 0 (μηδενικές εξισώσεις); Στο αχ2 + βχ + γ = 0 πως κάνουμε πράξεις στο πρώτο μέλος όταν αυτό όλο, είναι ίσο με το 0 του δεύτερου μέλους επί του οποίου (αυτού και μόνο αυτού) δεν μπορούμε να κάνουμε πράξεις διότι θα είναι αναποτελεσματικές;
Συνεχίζεται…
Λέτε: Δεν θα μου ταίριαζε να απαντήσω για λογαριασμό των μαθηματικών, που επίσης δεν είμαι, για το πόσο στέρεα θεμελιωμένοι είναι οι ακέραιοι ή κατά πόσο ισχύει το Πυθαγόρειο. Καλώς ή κακώς όμως με αυτά ως δεδομένα έχουμε οργανώσει τη σκέψη, την επιστήμη και τον πολιτισμό μας.
ΔιαγραφήΤο θέμα είναι ότι δεν μπορούν να απαντήσουν οι μαθηματικοί και όχι εσείς. Αυτοί έχουν και την ευθύνη των ψευδών διδασκαλιών στα παιδιά μας. Σe ότι αφορά την οργάνωση της σκέψης, της επιστήμης και του πολιτισμού καλέ μου κύριε papadim, η άποψή σας μόνο σαν απόφαση μπορεί να ερμηνευτεί. Αυτό, ασφαλώς όχι γιατί θέλω να σας περιγράψω σαν αυθαίρετο, αλλά απλά γιατί δεν έχετε τη γνώση (ούτε εσείς, ούτε εγώ, ούτε κανείς άλλος από αντικειμενική αδυναμία) ποια οργάνωση, ποια σκέψη και τι πολιτισμό θα είχαμε με μαθηματικά που να εναρμονίζονται με τη φύση. Αυτή την εκδοχή δεν την γνωρίσαμε ποτέ, ώστε να μην περιγράψω την άποψή σας σαν απόφαση, αλλά κατόπιν σύγκρισης, αφού την αρνηθήκαμε με τις επιλογές που άλλοι έκαναν για μας αντιλαμβανόμενοι τα μαθηματικά σαν ιδιοκτησία τους (π.χ. Hilbert). Φρονώ ξεπουλήσαμε τη νοητική κληρονομιά μας, αλλά και την δυναμική της, έναντι πινακίου φακής, εμπιστευόμενοι ανάξιους μαθηματικούς «θεούς».
Λέτε: Σε αυτή την κοινωνία, καταλαβαίνουμε όλοι οι συμμετέχοντες και τι εννοούμε όταν λέμε ακέραιοι και τι δηλώνει το Πυθαγόρειο. Είναι μερικά από τα βασικά μας δεδομένα.
Θα διαφωνήσω κάθετα οριζόντια και πλάγια. Δεν ξέρει κανένας μαθηματικός τι εννοεί όταν λέει «ακέραιοι αριθμοί». Ξέρουν όλοι ποιοι είναι οι ακέραιοι, αλλά αν τους ρωτήσεις τι είναι ακέραιος αριθμός θα αρχίσουν να σου λένε περί την περιπεπλεγμένη περιπλοκότητα και η μπάλα στην εξέδρα. Δοκιμάστε το σας παρακαλώ να διαπιστώσετε ότι θα συμβεί αυτό που σας λέω ή εναλλακτικά θα επέλθει η απόλυτη σιωπή (αποσιώπηση). Το ίδιο σύμπτωμα υπάρχει όμως και με τους real numbers ή πραγματικούς αριθμούς. Η έννοια του αριθμού (του φυσικού ευκλείδειου σαν συγκείμενο πλήθος μονάδων) δεν έχει καμία σχέση με τους συνεχείς αριθμούς των πραγματικών. Οι ευκλείδειοι αριθμοί που είναι οι μόνοι ορισμένοι από τον δάσκαλο, δεν είναι συνεχείς. Αυτός είναι ο κόμπος στο χτένι των ακεραίων, αλλά θεωρώ ότι το έχετε κατανοήσει. Επομένως (στους πραγματικούς) χωρίς να ορίσουν αλλιώς τους αριθμούς χρησιμοποιούν τον όρο «αριθμοί» όπως τον ορίζει ο Ευκλείδης, αλλά με ιδιότητες συνέχειας που αντιφάσκει με τον ευκλείδειο ορισμό όπου οι αριθμοί είναι αποκλειστικά πλήθος ΑΚΕΡΑΙΩΝ μονάδων. Μπορώ να δείξω την μονάδα, εσείς δεν μπορείτε να μου δείξετε διπλάσιο τετράγωνο δοσμένου τετραγώνου, ούτε τετραπλάσιο ή άλλο πολλαπλάσιο. Δείτε π.χ. τον Peano και θα διαπιστώσετε ότι έχει μεν άλλο αριθμητικό σύστημα περιέχοντας και το μηδέν, αλλά δεν αλλάζει τον ορισμό του αριθμού, αλλά ούτε και αυτός εισάγει την συνέχεια των αριθμών (ακολουθεί την ευκλείδεια αντίληψη), όπως συμβαίνει στα διαστήματα του R, όπου υπάρχει συνέχεια, απότοκη της μετατροπής της Αρχής των Εύδοξου και Αρχιμήδη σε αξίωμα συνεχείας από τον Hilbert.
Δεν χωρούν όλα σε ένα μήνυμα έστω και τεμαχισμένο. Ελπίζω να τα πούμε και πάλι διότι σπάνια μπορώ να είμαι αποτελεσματικά πειστικός με τρόπο περιληπτικό, όταν μάλιστα αντιμετωπίζω παγιωμένες αντιλήψεις ακόμα και με καλοπροαίρετους συνομιλητές όπως εσείς.
Υγεία
Αγαπητέ κύριε pantsik, χαίρομαι για τη συμμετοχή σας και μάλιστα με τόσο εύστοχο και επιτυχημένο τρόπο δοσμένο με απορία και συμπερασμό.
ΔιαγραφήΛέτε: Κύριε Μαγκλάρα, προσπαθώ κι εγώ ειλικρινά και καλοπροαίρετα να καταλάβω την ένστασή σας σε ένα τόσο θεμελιώδες ζήτημα των μαθηματικών όπως είναι οι θετικοί ακέραιοι. Βοηθήστε με λοιπόν να καταλάβω τη θέση σας. Ρωτάτε τι κοινό έχει 1 μονάδα και 1 μονάδα και αν μαζί κάνουν μία διπλάσια μονάδα. Δεν συμβαίνει αυτό το δεύτερο αφού ένα μήλο και ένα μήλο δεν αποτελούν ένα μεγάλο μήλο, αλλά δύο μήλα. Το 1 και το 2 έχουν το εξής κοινό: συμβολίζουν αμφότερα διαφορετικά πλήθη διακριτών ποσοτήτων. Δεν είναι αυτό κοινό στοιχείο ώστε να εντάξουμε τις έννοιες 1 και 2 σε ένα σύνολο; Εξηγήστε σας παρακαλώ αναλυτικά τη θέση σας.
Καλύτερα δεν θα μπορούσατε να το πείτε. Το λέτε εξαιρετικά και με βγάζετε από τον κόπο να φέρω εγώ το δικό σας παράδειγμα. Εδώ συμφωνώ απόλυτα μαζί σας. Αυτό είναι το τέλειο. Αυτό ακριβώς υποστηρίζω. Που διαφωνώ; Που είναι η ατέλεια; Το ατελές είναι στο πυθαγόρειο όπου π.χ. επί δοσμένου ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές 1, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ΕΝΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΔΙΠΛΑΣΙΟ του καθενός των τετραγώνων που κατασκευάζουμε με τις κάθετες πλευρές. Τετράγωνο διπλάσιο ή άλλο πολλαπλάσιο (π.χ. 2Χ2 = 4) δεν υπάρχει διότι ΚΑΙ ΓΙΑ ΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΙΣΧΥΕΙ ΑΥΤΟ ΠΟΥ ΛΕΤΕ ΜΟΝΟΣ ΣΑΣ: Δηλαδή: «Το 1 και το 2 - επομένως και το 3 και το 4 και το χ - έχουν το εξής κοινό: συμβολίζουν αμφότερα διαφορετικά πλήθη διακριτών ποσοτήτων». Το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ΕΝΑ και το λέμε ΔΥΟ εξαιτίας του πυθαγορείου..
Ίσως δεν έχετε δει αυτό:
http://eisatopon.blogspot.gr/2011/08/20.html
Στη διάθεσή σας.
Υγεία.
Κύριε Μαγκλάρα, διαπιστώνω πως τελικά η ένστασή σας δεν έχει να κάνει με τους θετικούς ακέραιους αλλά με το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Απ' όσο γνωρίζω το Π.Θ. είναι ισοδύναμο με το 5ο αίτημα των παραλλήλων του Ευκλείδη. Αυτό σημαίνει πως εισάγεται ως αίτημα στην ευκλείδεια γεωμετρία, ενώ δεν είναι αληθές σε μη-ευκλείδειες γεωμετρίες, όπου εκεί το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου δεν είναι 180 μοίρες.
ΔιαγραφήΩς αίτημα λοιπόν, δεν μπορεί να αποδειχτεί από τα υπόλοιπα 4 αιτήματα του Ευκλείδη.
Αυτό βέβαια δεν σημαίνει πως δεν είναι αληθές στον φυσικό μας κόσμο. Αν όμως το Σύμπαν μας δεν είναι ευκλείδειο τότε η ισχύς του Π.Θ. θα είναι περιορισμένη στη γειτονιά μας την οποία και εξετάζουμε πειραματικά. Εξαρτάται από το πόσο μεγάλη ακρίβεια θέλουμε να έχουν οι μετρήσεις μας και νομίζω πως σε κάθε πραγματική περίπτωση το Π.Θ. δίνει περισσότερη ακρίβεια απ' όση χρειαζόμαστε.
Έχει να κάνει με όλα κύριε.
ΔιαγραφήΓιατί το επιμερίζεται;
Για να μιλήσουμε για θετικούς ακεραίους καλόν είναι να μου πείτε τι είναι θετικός ακέραιος. Αν δεν μπορείτε μην αλλάζεται αυθαίρετα το θέμα των ενστάσεών μου με αιτία την αδυναμία σας παρακαλώ.
Δεν γνωρίζω πόσα γνωρίζετε, αλλά το πυθαγόρειο είναι κατά πολύ αρχαιότερο και του Ευκλείδη και του Πυθαγόρα. Ούτε οι Βαβυλώνιοι το απέδειξαν, ούτε οι Αιγύπτιοι και δεν ήταν άσχετοι οι άνθρωποι με τα μαθηματικά. Δεν το απέδειξαν γιατί απλά δεν αποδεικνύεται.
Το πώς εισάγεται και το ποιος το εισάγει (σαν αίτημα) και με ποιο δικαίωμα (!) είναι κάτι που πρέπει να σας απασχολεί (και χωρίς ίχνος σωβινισμού ακόμα και σαν Έλληνα), όπως και το ποιος μετέτρεψε σε αξίωμα το 5ο αίτημα για να μπορεί να αντικατασταθεί με αντίθετο από τους Ρίμαν και Λομπατσέφσκι γιατί σαν απλή πρόταση δεν μπορούσε. Το ίδιο βιολί και με το αξίωμα συνεχεία του Χίλμπερτ που είναι αξιωματικοποίση της Αρχής των Εύδοξου και Αρχιμήδη που είναι πρόταση αναπόδεικτη γιατί αν ήταν αποδεδειγμένη δεν θα μπορούσε να καταστεί αξίωμα. Στην ευκλείδεια γεωμετρία μπορεί (μπορούσε για την ακρίβεια) να εισάγει μόνον ο Ευκλείδης και κανένας άλλος. Δεν θα δώσουμε τα άγια στους σκύλους κύριε. Ο Ευκλείδης το π.θ. δεν το περιέχει στα αιτήματα, ούτε στις κοινές έννοιες. Ποιος αποφασίζει εν ονόματι του Ευκλείδη; Νέο σύστημα είναι αυτό;
Η ισοδυναμία στην οποία αναφέρεστε υπάρχει όντως, αλλά δεν την γνωρίζετε από πού πραγματικά προέρχεται. Το π. θ. είναι που εμποδίζει την απόδειξη του 5ου αιτήματος και δεν αφορά τον χαρακτηρισμό μιας πρότασης σαν αίτημα ή κοινή έννοια ή (μεταγενέστερα από τον Πρόκλο και μετά) σαν αξίωμα.
Οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες έχουν την δυνατότητα να υπάρχουν (αναγωγικά) εξαιτίας της παραδοχής του αληθούς του π.θ. που απαγορεύει την απόδειξη του 5ου αιτήματος και δίνει το δικαίωμα σε εξυπνάκηδες να το καταστήσουν (εντελώς καταχρηστικά) αξίωμα για να μπορεί να αντικατασταθεί από το αξίωμα Λομπατσέφσκι και το ελλειπτικό αξίωμα του Ρίμαν. Έχετε πολύ δρόμο μπροστά σας για να φθάσετε σε όλο τα φάσμα της πλεκτάνης για στήριξη μη ευκλείδειων γεωμετριών.
Συνεχίζεται
Λέτε: Ως αίτημα λοιπόν, δεν μπορεί να αποδειχτεί από τα υπόλοιπα 4 αιτήματα του Ευκλείδη.
ΔιαγραφήΚαλό κι αυτό! Το π.θ. δηλαδή ήταν αναπόδεικτο χιλιάδες χρόνια και δεν το ξέραμε; Σαν αναπόδεικτο διδάσκεται στα παιδιά μας και υπό το πρίσμα αυτού που λέτε; Κάτι δεν πάει καλά νομίζω. Σε ότι αφορά αυτό που λέτε για τα υπόλοιπα 4 αιτήματα του Ευκλείδη ουδεμία σχέση με την πραγματικότητα. Το 5ο αίτημα δεν μπορούσε να αποδειχθεί στην Απόλυτη ή Ουδέτερη γεωμετρία με στήριξη κοινή έννοια και όχι αίτημα ή αιτήματα. Κάτι διαβάσατε εν προκειμένω και το μεταφέρετε λάθος ή λάθος το αντιλαμβάνομαι;
Λέτε: Αυτό βέβαια δεν σημαίνει πως δεν είναι αληθές στον φυσικό μας κόσμο.
Ίσα - ίσα που στον φυσικό μας κόσμο δεν είναι αληθές. Δεν διαβάσατε τι λέει η ΕΜΕ; Το π.θ. δεν ισχύει με υλικά υποδείγματα (π.χ. πλακάκια). Τι είναι αυτά που μου λέτε λοιπόν; Άλλα διαβάζετε και άλλα καταλαβαίνετε;
Λέτε: Αν όμως το Σύμπαν μας δεν είναι ευκλείδειο τότε η ισχύς του Π.Θ. θα είναι περιορισμένη στη γειτονιά μας την οποία και εξετάζουμε πειραματικά.
Το σύμπαν είναι ευκλείδειο κύριε και με το «αν» δεν γίνεται να συνεννοηθούμε. Οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες δεν είναι γεωμετρίες. Ακόμα και Αϊνστάιν με τον Μινκόφσκι αναγνωρίζουν τις 3 γεωμετρικές διαστάσεις του χώρου και ο περίφημος χωροχρόνος εισάγει απλά μια τέταρτη διάσταση αυτή του χρόνου στην αντίληψη των γεγονότων από τους παρατηρητές, που όμως δεν είναι γεωμετρική, ώστε να επηρεάσει ακόμα και αυτή η επαίσχυντη θεωρία, την τρισδιάστατη φύση του σύμπαντος. Στις 3 συντεταγμένες του χώρου όπου γίνεται ένα γεγονός συμπληρώνουν μία 4η «διάσταση» μη γεωμετρική δηλαδή αυτή του χρόνου που το γεγονός συμβαίνει. Από αυτό συντίθεται το χωροχρονικό συνεχές ή χώρος των 4 διαστάσεων ή απλά χωροχρόνος.
Λέτε: Εξαρτάται από το πόσο μεγάλη ακρίβεια θέλουμε να έχουν οι μετρήσεις μας και νομίζω πως σε κάθε πραγματική περίπτωση το Π.Θ. δίνει περισσότερη ακρίβεια απ' όση χρειαζόμαστε.
Αφού το αποφασίζετε εσείς εγώ τι να πω; Αυτοί που αποφασίζουν είναι ανίκητοι και δεν θα τα βάλω μαζί σας. Θα πω μόνο ότι η διαφορά μεταξύ ρητού και άρρητου προκειμένου π.χ. για την τετραγωνική ρίζα του 2, είναι μεν όσο μικρή θέλουμε, ωστόσο δεν παύει να είναι υπαρκτή, που δηλώνει ότι εισάγονται τα άρρητα εκ των τετραγώνων χωρίς κανένα λόγο. Εάν σε σας περισσεύει η ακρίβεια του πυθαγορείου (σας δίνει μεγαλύτερη δόση ακρίβειας από όση έχετε ανάγκη) δεν μου μένει παρά να σας ζητήσω συγγνώμη που δεν καταλαβαίνετε!
Κύριε Μαγκλάρα, ζήτησα καλοπροαίρετα και με ειλικρινές ενδιαφέρον να μάθω τις θέσεις σας, αλλά γίνεστε και με μένα εριστικός και ασεβής. Σταματάω λοιπόν τη συζήτηση μαζί σας. Ίσως τελικά ο λόγος που δεν έχετε πάρει τις απαντήσεις που ψάχνετε να μην είναι ότι τους έχετε αποστομώσει όλους, αλλά ότι κανείς δεν αντέχει να συζητήσει για πολύ μαζί σας.
ΔιαγραφήΘανάση ,ναι του εξαίσιου Όϋλερ είναι το αποτέλεσμα για τους $3 mod(4)$ ακέραιους. Μερσί για τις ωραίες προσθήκες.
ΑπάντησηΔιαγραφήΘέλησα να συμετάσχω στο ...πάρτυ και αρχίζω
ΑπάντησηΔιαγραφήμε 2 ενστάσεις υπό μορφήν ερωτήσεων [φυλάω
τα νώτα μου πέραν του δέοντος! :-)]
Ένσταση – ερώτηση 1η (προς Γεώργιο επιστολή!)
Γράφεις “βρίσκουμε 8 περιπτωσεις με μ=ν, 11 περιπτώσεις
με μ=0 και 41 περιπτώσεις με μ≠ν, άρα
[4*(8+11)+8*41]/128 =3.15625”, όμως
για $X^2 +Y^2=65$ έχουμε $16$ λύσεις
$X= \pm8, \ \ Y= \pm1$
$X= \pm7, \ \ Y= \pm4$
$X= \pm4, \ \ Y= \pm7$
$X= \pm1, \ \ Y= \pm8$
και για $X^2 +Y^2=85$ επίσης $16$ λύσεις
$X= \pm9, \ \ Y= \pm2$
$X= \pm7, \ \ Y= \pm6$
$X= \pm6, \ \ Y= \pm7$
$X= \pm2, \ \ Y= \pm9$
και για $X^2 +Y^2=125$ επίσης $16$ λύσεις
$X= \pm11, \ \ Y= \pm2$
$X= \pm10, \ \ Y= \pm5$
$X= \pm5, \ \ Y= \pm10$
$X= \pm2, \ \ Y= \pm11$
Πού έχω κάνει λάθος? Και αν δεν έχω κάνει
λάθος, δεν αλλάζει σε τίποτε, πιθανόν τυπογραφικό
λάθος το πάρα πολύ ενδιαφέρον θέμα και με πολλές
προεκτάσεις στο θέμα το πρώτων αριθμών και των
ισοδυναμιών !
Ευθύμη, γιατί να έχεις κάνει λάθος; Θέλω να πω πως δεν βλέπω πώς σχετίζονται (και άρα και πώς αλληλοαντικρούονται) τα όσα γράφεις με τον αριθμό των τρόπων που μέχρι και τον αριθμό $128$ είναι $4*19+8*41=404$
ΔιαγραφήΟ πληθάριθμος των δυνατών τρόπων γραφής που μπαίνει στον αριθμητή του μέσου όρου ,είναι το άθροισμα των τρόπων ΚΑΘΕ αριθμού μέχρι τον εξεταζόμενο $Ν$.
ΔιαγραφήΌπως στο παράδειγμα για $Ν=10$ στην εκφώνηση.
Επειδή είδα 19 περιπτώσεις των 4-άρων 41 περιπτώσεις των 8 λύσεων και καμία των 16. Για να μην σχετίζονται και να μην αλληλοαναιρούνται πρέπει στο 41*8 να είναι ενσωματωμένες και οι επιπλέον 3*8 των 3*16 δηλαδή 41*8=35*8+3*16 ή κάτι αντίστοιχο
Διαγραφήστο 4*19 ή και στα δύο. Πιθανότατα να είναι έτσι δεν το έχω ελέγξει συνολικά!
Ευθύμη, οι 4άρες, 8άρες, κ.λ.π. αφορούν τους δυνατούς τρόπους για τις διάφορες σχέσεις μεταξύ των συνιστωσών $ν$ και $μ$ ,όχι της συνισταμένης. Ξανακοίταξε αν θέλεις, το σχόλιο "16 Μαρτίου 2014 ,9.25μ.μ."
ΔιαγραφήΑντιληπτό είναι ενσωματωμένες και λαβαίνοντας υπόψη τα γινόμενα των πρώτων αριθμών 1mod4 πχ 5*13=65(8*2 τρόποι), 5*17(8*2 τρόποι) και τις δυνάμεις των πρώτων αριθμών 1mod4 5^2 (8+4 τρόποι), 5^3=125 (8+4+4 ή 8+8 ?) κλπ όπως έχω καταλήξει με την δική μου προσέγγιση στο θέμα ...κατοίκον, επεξεργαζόμενος το θέμα και βγάζοντας χρήσιμα συμπεράσματα για τους πρώτους αριθμούς!
ΑπάντησηΔιαγραφήΜερικά από τα συμπεράσματα είναι τα παρακάτω:
ΑπάντησηΔιαγραφήΈνας αριθμός που παραγοντοποιείται σε γινόμενο
πρώτων αριθμών $A_{i} \equiv 1mod4$
$ A_{0 \times} A_{1} \times A_{2} \times.... A_{k}$
μπορεί να εκφρασθεί σαν άθροισμα δύο τετραγώνων
με $8 \times 2^{k}$ τρόπους
Ένας αριθμός δύναμη πρώτου αριθμού
$A \equiv 1mod4$ έστω $ A^{k}$ μπορεί να εκφρασθεί
ως άθροισμα δύο τετραγώνων με
$8+( \kappa -1) \times4$ τρόπους επίσης
$ ( A_{1}) ^{k} \times (A_{2}) ^{ \lambda }$ μπορεί να
εκφρασθεί με $[8+(\kappa-1) \times4] \times( \lambda+1)$ τρόπους
Η 2η ένσταση-ερώτηση αφορούσε ανάρτηση με αριθμούς
ΑπάντησηΔιαγραφήp = 3mod4 του θεωρήματος Euler, την οποία δεν την βλέπω, άρα δεν έχει νόημα να διατυπώσω την ερώτηση-ένσταση, έτσι ή αλλιώς η παρέμβαση μου είχε κυρίως συμβολικό και ...πολιτικό χαρακτήρα!