ν2+μ2=κ

Ένα απλό ερώτημα: Mε πόσους διαφορετικούς τρόπους, κατά μέσο όρο, μπορεί να γραφεί ένας ακέραιος ως άθροισμα των τετραγώνων δύο ακεραίων;

Για παράδειγμα, ο αριθμός $2$ μπορεί να γραφεί με τέσσερις διαφορετικούς τρόπους:

$1^2+1^2=2$ , $-1^2+-1^2=2$,

$1^2+-1^2=2$ και $-1^2+1^2=2$

Ο αριθμός $3$ δεν μπορεί να γραφεί με κανέναν τρόπο, κ.λ.π.

Όταν λέμε "κατά μέσο όρο", εννοούμε το άθροισμα όλων των δυνατών εκφράσεων για όλους τους αριθμούς μέχρι κάποιον ακέραιο ${\rm N}$, και να διαιρέσουμε το άθροισμα με τον ${\rm N}$, επιτρέποντας βεβαίως στον ${\rm N}$ να γίνεται όλο και μεγαλύτερος.

Για παράδειγμα, για $N=10$ , οι δυνατοί τρόποι γραφής για τους αριθμούς

$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ είναι αντίστοιχα: $1,4,4,0,4,8,0,0,4,4,8$ και ο μέσος όρος αυτών των εκφράσεων είναι: $\frac{1+4+4+0+4+8+0+0+4+4+8}{10}=3,7$