Ο Σωκράτης κι ο Γιώργος βρίσκονται στους πρόποδες ενός μεγάλου βουνού ,στο ίδιο υψόμετρο και σε αντιδιαμετρικές θέσεις. Ας προσομοιώσουμε την κατάσταση και το βουνό με αυτή την γραμμική δυδιάστατη εικόνα.
Σκοπός τους είναι να συναντηθούν κάπου πάνω στο βουνό, όπου θα κατασκηνώσουν και θα μιλήσουν για τον νέο επαναστατικό τομέα, τα υπερρεαλιστικά Μαθηματικά. Θέλουν όμως να βρίσκονται κατά τη διάρκεια όλης της διαδρομής και οι δύο στο ίδιο ακριβώς υψόμετρο, ακόμη κι αν αυτό προϋποθέτει ίσως το πισωγύρισμα. Μπορούν να τα καταφέρουν πάντα; Ανεξαρτήτως του μεγέθους και της μορφολογίας του βουνού;
Ναι, με την προυπόθεση να υπάρχει κάποιος τρόπος, να γνωρίζουν ο καθένας το υψόμετρο του άλλου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν έχουν αυτή την δυνατότητα, τότε το ραντεβού πρέπει να είναι στην ψηλότερη κορυφή του βουνού.
Ας ονομάσουμε τις κορυφές και τα χαμηλά του σχήματος από αριστερά προς τα δεξιά Κ1, Κ2, Κ3, Κ4 και Χ0 (το υψόμετρο που βρίσκονται), Χ1, Χ2, Χ3, αντίστοιχα.
Η ψηλότερη κορυφή είναι, αν δε με γελάει το μάτι μου, η Υ2,
εκεί και η συνάντηση τους.
Ανεβαίνουν και οι δύο μέχρι ο Γ να φτάσει στην Υ1 και ο Σ στο
ίδιο υψόμετρο στην πλαγιά προς την Υ4, ο Γ κατεβαίνει προς το
Χ1 και ο Σ πισωγυρίζει κρατώντας πάντα το ίδιο υψόμετρο με τον
Γ μέχρι ο Γ να φτάσει στο Χ1, μετά ανεβαίνουν μέχρι ο Σ να
φτάσει στην Υ4 και ο Γ στο ίδιο υψόμετρο πλαγιά του προς το Υ2.
Ο Σ οδεύει προς το Χ3 και ο Γ πισωγυρίζει στην πλαγιά του
μέχρι το υψόμετρο του Χ3, κ.ο.κ μέχρι να συναντηθούν στην
κορυφή Υ2.
Με την επιφύλαξη ότι μπορεί να μου διέφυγε κάτι από τα δεδομένα ή αν υπάρχει λύση χωρίς το δεδομένο που
προυπέθεσα και με το “ελαφρυντικό” ότι η απάντηση μου
είναι “τσάκ-μπάμ” (που λέει και ο νεαρός φίλος Μπάτης),
μόλις ξύπνησα, και ουφ!..κουράστηκα ανέβα-κατέβα στο
βουνό! :-)
Να προσθέσω ότι δεν θα πρέπει να υπάρχει κάποια χαράδρα που να κατεβαίνει κάτω από το αρχικό επίπεδο που ξεκινάνε.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠολύ ωραία, Ευθύμη και Σωτήρη!
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο ότι αν βυθίζεται κάποια ή κάποιες κοιλάδες κάτω από το αρχικό υψόμετρο μπορεί (όχι υποχρεωτικά!) να σημαίνει "μή λύση" φαίνεται κι απ'την απλή υπόθεση εργασίας πως αν αρχικά ο Γ πρέπει ας πούμε να κατέβει, κι ο Σ να ανέβει, προφανώς δεν υπάρχει λύση. Αλλά δεν είναι "αναγκαίο" αυτό. Αν σκεφτούμε την περίπτωση ας πούμε να έχουν να ανέβουν από μία κορυφή στο ίδιο υψόμετρο και μετά να κατέβουν σε μία χαμηλή κοιλάδα ανάμεσα, προφανώς συναντιούνται στην κοιλάδα.
Kαμιά ιδέα ,για το πώς αποδείχνουμε γενικά το ζητούμενο;
Σκεφτείτε "Γραφήματα(Γράφους)"! (οριζόντιες ευθείες από κάθε κορυφή και κοιλάδα,βοηθάνε...)
Εχω υπόψι μου και μια απόδειξη με Επαγωγή ,αλλά είναι κάπως στριφνή.
Γράφους δεν γνωρίζω, αλλά έναν αυτοσχέδιο "γράφο" για τις ανάγκες της γενίκευσης του θέματος μπορώ να προσπαθήσω.
ΑπάντησηΔιαγραφή(Η πρώτη προσέγγιση αφορούσε μόνο το αναρτημένο σχέδιο).
Και στην πρώτη συγκεκριμένη περίπτωση, υπόβαθρο ήταν ένα σχεδιάκι , το παρακάτω γενικευμένα.
Κατασκευή κατακόρυφης ευθείας και προβολές των κορυφών και κοιλάδων ή σταθμών που είναι απαραίτητες για να κρίνουμε αν έχει λύση το όποιο τέτοιο πρόβλημα (Υψηλών και Χαμηλών ή απαραίτητων σημείων) και των δύο φίλων πάνω στην κατακόρυφη ευθεία. Αριστερά της κατακόρυφης του αριστερού και δεξιά του δεξιού.
Ελέγχουμε αν σε κάθε διαδρομή του ενός και στην αντίστοιχη κατακόρυφη προβολή της μπορεί να σχεδιασθεί ίση κατακόρυφη και ταυτόσημη(?) προβολή της διαδρομής του άλλου και φυσικά και το αντίστροφο.
Αν αυτή η σχεδίαση των προβολών μπορεί να γίνει απρόσκοπτα
μέχρι το τέλος, έχουμε λύση και φυσικά το σημείο συνάντησης δίνεται από τις τελευταίες προβολές των τελευταίων διαδρομών
των δύο φίλων. Αν στην προβολή μίας διαδρομής είναι αδύνατον να σχεδιάσουμε ίση και ταυτόσημη του άλλου το πρόβλημα είναι αδύνατον να λυθεί και οι δύο φίλοι δεν θα συναντηθούν.
Η γενίκευση του θέματος αυτού δεν είναι τελικά παρά παραλλαγή της λύσης του θέματος "σε ένα ορθογώνιο ή τετράγωνο σχεδιάζουμε τεθλασμένη "διαγώνιο" αποτελούμενη από οριζόντια και κατακόρυφα ευθύγραμμα τμήματα και η ερώτηση είναι "ποια διαδρομή είναι μεγαλύτερη η τεθλασμένη διαγώνιος ή η ημιπερίμετρος του ορθογωνίου ή τετραγώνου"
προβολές στις δύο κάθετες πλευρές και ίσες oi διαδρομές. Γνωστό από τα γυμνασιακά μας χρόνια!
Παραλλαγή και επέκταση του παραπάνω σε μία διάσταση επί πλέον είναι το θέμα της σκακιέρας με τα ελάχιστα απαιτούμενα μολυσμένα τετράγωνα για να μολυνθεί η σκακιέρα γνωστό από την ενασχόληση μας στο ΕΙΣΑΤΟΠΟΝ! :-)
Έτσι με την σχεδίαση και τον έλεγχο των προβολών των επιμέρους διαδρομών των δύο στην περίπτωση της χαράδρας που ανάφερε ο Σωτήρης δεν σχεδιάζονται ίσες προβολές, άρα αδύνατη η συνάντηση εκτός της ειδικής περίπτωσης δύο ή περισσοτέρων υψηλότερων υψηλών οπότε η συνάντηση θα γίνει στο χαμηλότερο χαμηλό,ανεξαρτήτως στάθμης, όπως ανέφερες εσύ Γιώργο.
ΔιαγραφήΣτην περίπτωση περισσότερων των δύο ισοσταθμικών υψηλότερων υψηλών ένας ή και οι δύο, πιθανόν, θα βρεθούν σε κάποια από αυτά τα υψηλά δύο ή περισσότερες φορές μέχρι να βρεθούν για τελευταία φορά σε δύο γειτονικά, ένθεν και ένθεν, υψηλότερα υψηλά και που ανάμεσα τους βρίσκεται το χαμηλότερο
χαμηλό και θα οδεύσουν προς αυτό.
Εκτός των προβολών σε κατακόρυφο άξονα που το είχα έτοιμο, νοερά,λαβαίνοντας υπόψιν την βοήθεια "(οριζόντιες ευθείες από κάθε κορυφή και κοιλάδα,βοηθάνε...)" έβγαλα και μία πιο οικονομική , σε γραμμές λύση (ουσιαστικά όμοια).
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω ότι ξεκινάνε από κάτω προς τα πάνω, όμοια και στο αντίστροφο, και προς τα υψηλά τους, κάποιος φτάνει πρώτος, (προφανώς αυτός με το χαμηλότερο υψηλό) οριζόντια προβολή του υψηλού στην γραμμή διαδρομής του άλλου, υπάρχει άρα Ο.Κ, οδεύει προς το πλησιέστερο χαμηλό του και ο άλλος πισωγυρίζει, οριζόντια προβολή του χαμηλού στην γραμμή διαδρομής του άλλου, υπάρχει άρα Ο.Κ αυτή η διαδικασία συνεχίζεται και εφόσον η κάθε αντίστοιχη οριζόντια προβολή χαμηλού ή υψηλού υπάρχει μέχρι το τέλος, υπάρχει λύση και αυτό το "τέλος" είναι το σημείο συνάντησης. αν κάπου στην διαδικασία δεν υπάρχει το σημείο οριζόντιας προβολής στο ευθύγραμμο τμήμα της διαδρομής του άλλου, δεν υπάρχει
λύση και δεν θα συναντηθούν.
Πχ αν μετά από ένα χαμηλότερο υψηλό του Α σε σχέση με το αντίστοιχο υψηλό του Β και όδευση του Α προς το επόμενο χαμηλό του και πισωγύρισμα του Β προς το προηγούμενο χαμηλό του και το χαμηλό του Α βρίσκεται χαμηλότερα του χαμηλού που μπορεί να βρεθεί ο Β, θα βρεθούν σε αδιέξοδο, εγκλωβισμένοι μεταξύ του χαμηλότερου, σε σχέση με τον Β υψηλού του Α και του υψηλότερου, σε σχέση με τον Α, χαμηλού του Β.