1. Nα αποδειχθεί ότι
$ \sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}=\sqrt{2}+\sqrt3+\sqrt5 $.
2. Να λυθεί η εξίσωση
$ 1+2\cdot2^x+3\cdot3^x<6^x $.
$ \sqrt{3\sqrt{5\sqrt{3\sqrt{5...}}}} $.
4. Να συγκριθούν οι αριθμοί
$ \sqrt[2012]{2012!} $ και $ \sqrt[2013]{2013!} $.
Kosovo National Mathematical Olympiad 2013
3. Αν θέσουμε $x=\sqrt{3\sqrt{5x}}$ προκύπτει πως $x=\sqrt[3]{45}$ , δηλαδή η παράσταση ισούται περίπου με 3,5569.
ΑπάντησηΔιαγραφή1.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕλέγχω τα τετράγωνα των 2 μελών της προς απόδειξη
ισότητας [κάτω από την ... “Δαμόκλειο σπάθη” του
Φώτη λόγω ευκολίας ! :-) ]
$(\sqrt[]{10+ \sqrt[]{24}+\sqrt[]{40}+\sqrt[]{60}})^{2}=$
$10+\sqrt[]{24}+\sqrt[]{40}+\sqrt[]{60}$ $(1)$
$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2}=10+2\sqrt{6}+2 \sqrt{10}+2 \sqrt{15}=$
$10+\sqrt{4 \times 6}+\sqrt{4 \times 10}+\sqrt{4\times 15}=$
$10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}$ $(2)$
$(1)=(2)$, άρα ισχύει η ισότητα
Δεν καταλαβαίνω τη διατύπωση και την επίλυση της άσκησης 3.
ΑπάντησηΔιαγραφή4. Υψωνουμε και τις 2 ποσοτητες (θετικες) εις την 2012*2013 και καταληγουμε στη συγκριση των αριθμων (2012!) και (2013)^2012.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαποιος να υποβαλλει και τη λυση του θεματος 2 και φυγαμε για Κοσσοβο... ;-)
Θα κάνω μια προσπάθεια στο 2, για χάρη της Αγγελικής.:-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαταρχήν, υποθέτω ότι στη διατύπωση εκ παραδρομής γράφηκε ‘εξίσωση’, αντί για ανίσωση.
Η συνάρτηση 6^x-3*3^x-2*2^x-1 μηδενίζεται για x=2, παίρνει αρνητικές τιμές για x<2, ενώ για x>2 είναι παντού αύξουσα, δεδομένου ότι η παράγωγός της: ln6*6^x-3ln3*3^x-2ln2*3^x = ln3(6^x-3*3^x)+ln2(6^x-2*2^x) >0 για κάθε x>2.
Επομένως για να είναι 6^x-3*3^x-2*2^x-1 > 0 ==> 1+2*2^x+3*3^x < 6^x, πρέπει x>2
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΦώτη, έθεσα αρχικά σαν x όλη την παράσταση και ξανά σαν x το σημείο της παράστασης που αρχίζει να επαναλαμβάνεται. Αυτό μπορούμε να το κάνουμε γιατί η παράσταση έχει άπειρους παράγοντες, οπότε οποιοδήποτε τμήμα της ταυτίζεται με το όλον. Είναι δηλαδή παράσταση fractal (τώρα μου ήρθε αυτό, ελπίζω να είναι δόκιμος ο όρος). Μετά λύνουμε ως προς x.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕίναι δόκιμες τέτοιες παραστάσεις;
ΔιαγραφήΔεν παρουσιάζονται στη φύση, αν εννοείς αυτό. Νομίζω βρίσκονται μόνο στη φαντασία των μαθηματικών.
ΔιαγραφήΠάνο, προσωπικά θεωρώ απολύτως δόκιμο και ευρηματικό τον όρο 'fractal παράσταση' και μπράβο σου για την εμπνευσμένη μεταφορά!
ΔιαγραφήΠαρεμπιπτόντως, μια πολύ επιτυχής νομίζω απόδοση του όρου fractal στα ελληνικά, που έχω συναντήσει σε μεταφράσεις βιβλίων του Mandelbrot, είναι 'μορφοκλασματικός/κή'.
Προτείνω λοιπόν το γενικό όρο 'μορφοκλασματική παράσταση' και για τη συγκεκριμένη ειδικότερα 'ριζικό pantsik'!! :-)
Μπραβο σε ολους σας για τις ωραιες λυσεις που σκεφτηκατε σε αυτο αλλα και στα υπολοιπα προβληματα.
ΔιαγραφήΩραία και απλή λύση για το 3., Πάνο!
ΑπάντησηΔιαγραφήΕναλλακτικά ,μπορούμε να πούμε πως η παράσταση είναι:
τετραγ.ρίζα 3 * 4η ρίζα 5 * 8η ρίζα 3 * 16η ρίζα 5 *...
Και γενικά ,για $x$ και $y$ στη θέση των 3 και 5 :
$\sqrt[2]{x} \times \sqrt[4]{y} \times \sqrt[8]{x} \times \sqrt[16]{y} \times \cdots $
= $x^{1/2} \times y^{1/4} \times \cdots $
= $x^{1/2 +1/8 + 1/32+ \cdots } \times y^{1/4 +1/16 + 1/64+ \cdots }$
=$x^{2/3} \times \sqrt[3]{y} $
Και στην περίπτωσή μας:
$3^{2/3} \times \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{45}$
Και λίγο γενικότερα για το $3.$
ΑπάντησηΔιαγραφή$\sqrt[n]{x \sqrt[n]{y\sqrt[n]{x \sqrt[n]{y...}}}} =
x^{ \dfrac{1}{n}} \times y^{ \dfrac{1}{ n^{2}}} \ \times x^{ \dfrac{1}{n^{3}}} \times y^{ \dfrac{1}{ n^{4}}}...= $
$x^{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{3}}+...} \times y^{\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{1}{n^{4}}+...} =$
$ x^{\frac{n}{n^{2}-1}} \times y^{ \frac{1}{n^{2}-1}}=$
$x^{\frac{n}{n^{2}-1}}\times\sqrt[\frac{1}{n^{2}-1}]{y}=\sqrt[\frac{1}{n^{2}-1}]{x^{n}y}$
Διόρθωση τελευταίας σειράς
Διαγραφή$x^{\dfrac{n}{n^{2}-1}}\times \sqrt[ n^{2}-1]{y}=\sqrt[ n^{2}-1]{ x^{n} y}$
Και ένα ερώτημα από μένα. Υπολογίστε το: 2^(1/2)^[2^(1/2)^[2^(1/2)^[...
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΔιαγραφήΦώτη, ένα λινκ για LateX:
Διαγραφήhttp://atomurl.net/math/
Κάνεις κόπυ και πέηστ κατευθείαν ,απλώς προσθέτεις "δολλάριο" στην αρχή και στο τέλος.
Π.χ στο "P(B | A)= \frac{P(A \wedge B)}{P(A)}" αντικαθιστάς τα " με δολλάριο,και βγαίνει:
$P(B | A)= \frac{P(A \wedge B)}{P(A)}$
Aπλό και όμορφο.
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΔιαγραφήΦώτη, αν εννοείς την παράσταση
ΑπάντησηΔιαγραφή$$\sqrt{2} ^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}} \cdots$$
τότε λύνεται με τον τρόπο που έγραψα πιο πάνω:
$$x=\sqrt{2} ^{x} \Rightarrow x^{\frac{1}{x}}=2^{\frac{1}{2}} \Rightarrow x=2$$
Έλα όμως που η εξίσωση x=2^(1/2)^x έχει ρίζα και το x=4. Πώς ξέρουμε τότε ποια είναι η τιμή της παράστασης;
ΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ τιμή της παράστασης είναι το 2, γιατί μια απειροπαράσταση τέτοια (στα γερμανικά λέγεται Potenzturm (=πύργος δυνάμεων),δεν ξέρω δυστυχώς τον δόκιμο ελληνικό όρο) έχει όριο το 2. Δεν έχει νόημα να την "κόψεις" κάπου και να υπολογίσεις τη συγκεκριμένη τιμή ,παρά μόνον σαν ένδειξη για να βρεις το όριό της.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕτσι ας πούμε για πύργο ύψους 5 (5 διαδοχικούς ρίζα2 εκθέτες) βρισκεις περίπου 1,93 και προσεγγίζεις όλο και περισσότερο το 2. Ο λόγος που η προηγούμενη μέθοδος ,δεν έχει απόλυτη εφαρμογή εδώ ,είναι πως
$\lim_{n \rightarrow \infty } x^{ x^{ x^{x} } }^ \cdots ν φορές$ συγκλίνει μόνο για ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ διάστημα από
$e^{-e} \leq x \leq e^{ \frac{1}{e} }$ (περίπου από 0,066 έως 1,44) όπως έχει αποδειχθεί από τον Όϋλερ.
Για x μεγαλύτερο από e^(1/e) τζίφος ,καθότι το μεγιστο του
y^(1/y) είναι e^(1/e). To όριο γαρ ,ΑΝ υπάρχει!, είναι η λύση της εξίσωσης (όπως είπε και ο Πάνος) $y= x^{y}$
Εγώ θέλω μια απόδειξη, επιπέδου Λυκείου ή και λίγο παραπάνω, ότι η παράσταση αυτή έχει αποτέλεσμα το 2. Γίνεται;
ΔιαγραφήΓίνεται, αλλά πριν σού πω ,πες μου αν ξέρεις τι σημαίνει ρίζα2 εις την ρίζα2 ,ή απλώς το έγραψες για να εντυπωσιάσεις τα πλήθη με τη "διπλή ρίζα";
ΔιαγραφήΣοβαρά ρωτάω! Ξέρεις πως υψώνουμε σε άρρητη δύναμη και ΤΙ πραγματικά σημαίνει αυτό, ή να ξεκινήσουμε από εκεί; Το θέμα δεν είναι και τόσο απλό.
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΔιαγραφήΒασικά είχα δει πριν λίγο καιρό στη Wikipedia ένα λήμμα σχετικά με τις ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας του 2, εκεί λοιπόν υπήρχε και η συγκεκριμένη παράσταση που μου έκανε εντύπωση γι' αυτό και την παραθέτω εδώ. Όσο για την ύψωση πραγματικού αριθμού σε άρρητο, κάτι θυμάμαι από τη Β' Λυκείου, αλλά ας ξεκινήσουμε από αυτό καλύτερα.
ΔιαγραφήΩραία Φώτη. Kοίτα λοιπόν τι γίνεται και γιατί το θέμα δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται, ούτε παίρνει μονολεκτική απάντηση.
ΔιαγραφήΚαταρχάς η υψωση σε δύναμη, ΔΕΝ είναι προσεταιριστική. Ο δυναμόπυργος "καταρρέει" υποχρεωτικά από τη βάση προς την κορφή (ή ισοδύναμα: από δεξιά προς αριστερά).
Τώρα,για να ξέρουμε λοιπόν για τί μιλάμε ,και να μην πατάμε απλώς νουμεράκια στο κομπιουτεράκι χωρίς να μπορούμε να αξιολογήσουμε τι (και πόσο σωστό!) είναι αυτό που βγάζει, πρέπει να ορίσουμε τι σημαίνει "υψώνω σε άρρητη δύναμη"
Σημαίνει : προσεγγίζω τον άρρητο εκθέτη μέσω ΡΗΤΩΝ προσεγγίσεων,δηλαδή εκθετών που πλησιάζουν όλο και περισσότερο το ρίζα2 (στην περίπτωσή μας). Γιατί αυτό είναι ΠΑΝΤΑ δυνατόν; (σημαντική ερώτηση). Επειδή οι ρητοί είναι "πυκνοί στους άρρητους" (αν διάβασες και το θέμα "Μικρογραφίες" ,έχει απόλυτη σχέση)
Ας πούμε λοιπόν πως θέλουμε το $2^{ \sqrt{2} }$
Το πρώτο ψηφίο του ρίζα2 είναι το 1. Αρα η 1η μας προσέγγιση είναι: $2^{ \sqrt{2} } =1$
To επόμενο ψηφίο του ριζα2 είναι το 4.
Η ρίζα2, για ακρίβεια 2 ψηφίων, είναι 1,4= 14/10=7/5
Άρα η 2η προσέγγιση είναι:
$2^{ \sqrt{2} } = 2^{7/5} $ ,δηλαδή η 5η ρίζα του 2^7 ,περίπου 2,639
Για τρία σημαντικά ψηφία ,στο ίδιο μοτίβο, έχουμε τη ριζα2=1,41 =141/100. Τι πρέπει να κάνουμε; Να πάρουμε την 100η ρίζα του 2 και να την υψώσουμε στη δύναμη 141. Βρίσκουμε: 2,65737. Kαι ούτωκαθεξής. ΤΙ έχουμε κάνει λοιπόν; τι έχουμε παραγάγει; Μια ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ αριθμών.
$2, 2.639, 2.65737, ...$
Αυτό λοιπόν σημαίνει "υψώνω σε άρρητο" και η ακολουθία αυτή πλησιάζει όλο και περισσότερο έναν ΣΤΑΘΕΡΟ αριθμό-σημείο που λέγεται "όριο" (ορολογία της Ανάλυσης).
ΓΙΑΤΙ να υπάρχει όμως υποχρεωτικά αυτό το όριο;
Επειδή η συνάρτηση $2^{x}$ είναι "συνεχής" (κι αυτό απ'την Ανάλυση).
Με τον ίδιο τρόπο ,μπορούμε να βρίσκουμε άρρητου βαθμού ρίζες, την π-ιοστή ρίζα αριθμού, κι ό,τι (σχεδόν) άλλο "εξωτικό" θέλουμε.
Ποια είναι ας πούμε η ρίζα2 τάξης ρίζα του 2 ;Είναι ακριβώς το ρίζα2 εις την ρίζα2.
Λίγη βασική Άλγεβρα μας δείχνει πως:
2^(1/sqrt(2)) = 2^(sqrt(2)/2) = sqrt(2^sqrt(2))
= περίπου 1,632527
(συνεχίζεται..)
Όταν λοιπόν λέμε "ποια η τιμή της παράστασης
Διαγραφή$ \sqrt{2} ^{ \sqrt{2} ^{ \sqrt{2} ^ \ldots } } $ ;" αυτό που εννοούμε πραγματικά σαν ερώτηση,είναι: Ποιο είναι το όριο της ακολουθίας με πρώτο όρο το 1 και τον αναδρομικό τύπο: $\alpha _{ \nu +1} = \sqrt{2} ^{ \alpha _{ \nu } }$
Tι μπορεί να πει λοιπόν ο λυκειόπαις; [(ή έστω ΘΑ ΕΠΡΕΠΕ να μπορεί!, ασχέτως πως πιθανότατα ΔΕΝ φταίει που δεν μπορεί,(και μάλλον δεν φταίνε και οι δάσκαλοι..) αλλά αυτή είναι μεγάλη κουβέντα και άλλης τάξεως ζήτημα)]
Μπορεί και πρέπει να πει λοιπόν,
1ον). Η ακολουθία α(ν) είναι αύξουσα όσο το αν είναι μικρότερο του 2. Αυτό αληθεύει γιατί
$f(x)= \sqrt{2} ^{x} >x$ για x στο ανοικτό διάστημα (0,2)
2ον). Η ακολουθία είναι "άνω φραγμένη". Έχει δηλαδή κάποιο ταβάνι που ΔΕΝ το ξεπερνά. Γιατί;
Επειδή ,αν το αν μικρότερο του 2, τότε το α(ν+1) είναι ρίζα2 εις την δύναμη α(ν) ,το οποίο είναι μικρότερο από ριζα2 στο τετράγωνο ,που είναι 2. ΟΚ;
Από Επαγωγή, φαίνεται εύκολο πως αυτό είναι πάντα αληθές και επιπροσθέτως σημαίνει πως η ακολουθία είναι σταθερά αύξουσα.
Αν αυτά είναι κάπως "τεχνικά" μπορεί εναλλακτικά ο λυκειόπαις να σκεφτεί με ανάλογο τρόπο με αυτόν του Πάνου. Δηλαδή:
Έστω (σημαντικό το "έστω"! δεν είμαστε σίγουροι πως υπάρχει ΠΑΝΤΑ όριο) πως η ακολουθία
{ρίζα2, ρίζα2^ριζα2, ρίζα2^ριζα2^ριζα2,...} ΣΥΓΚΛΙΝΕΙ στο όριο L. Tότε έχουμε :
$L= \sqrt{2} ^{L} \Rightarrow L^{2} = 2^{L}$
Aν τη λύσουμε αυτή (ένα γραφηματάκι είναι καλή ιδέα ,για να αποκτούμε και εποπτεία..) βλέπουμε πως έχουμε $3$ (τρεις) ρίζες. Μια αρνητική, που την πετάμε προφανώς στον κάλαθο αχρήστων και τις θετικές $2$ και $4$. Τι γίνεται λοιπόν εδώ; Σε ποια από τις δύο συγκλινει η ακολουθία;
Μα φυσικά στο 2, αφού όπως ήδη δείξαμε , κι αν δεν έφτασε αυτό ας σκεφούμε "μπακάλικα" πως 1 μικρότερο του ριζα2 , ρίζα2 μικρότερο του ρίζα2^ριζα2 κ.λ.π. Όλα ανάγονται τελικά στο ότι ρίζα2 στο τετράγωνο είναι 2.
Ανακεφαλαιώνοντας λοιπόν , αφού η ακολουθία είναι μονότονη (αύξουσα) και φράσσεται άνω απο το 2, και ΕΠΕΙΔΗ ο R είναι ένας συνεχής/πλήρης χώρος το όριό της είναι το 2.
Και το 4; Τι το κάνουμε το 4; είναι λάθος;
ΟΧΙ. Το 4 είναι "μεμονωμένο σημείο" ,αλλά αυτή είναι μεγάλη ιστορία για μια άλλη φορά.
Οι δυναμόπυργοι (τώρα υπερβαίνουμε τα λυκειακά) προσεγγίζονται επακριβως από τη συνάρτηση $W$ του Λαμπερτ (Lambert). Ψάξτο στο ιντερνέτι.
Η περίπτωση μας καλύπτεται από αυτό: http://www.wolframalpha.com/input/?i=LambertW%5B-Ln%5BSqrt%5B2%5D%5D%5D%2F%28-Ln%5BSqrt%5B2%5D%5D%29
Μάλιστα, ευχαριστώ πολύ για την απάντηση!
ΔιαγραφήΑυτό φαίνεται παραστατικά και από την κλίμακα (και όχι σκάλα, η οποία δεν είναι ελληνική λέξη), ανάμεσα στις καμπύλες y=2^(1/2)^x και y=x, που ξεκινάει από το σημείο (1,1).
Διαγραφή"και όχι σκάλα, η οποία δεν είναι ελληνική λέξη.."
ΔιαγραφήTι λέξη είναι η σκάλα; Η πόρτα; το σπίτι; η φαμίλια; η ντομπροσύνη; Το empathy είναι εγγλέζικα ή ελληνικά; Το sycophant? To Encyclopédie του Ντιντερό είναι γαλλικά;
Φώτη, καλύτερα να μείνουμε στα "μαθηματικά"..γιατί τα γλωσσικά είναι δύσκολα!
Απ' ό,τι ξέρω, η σκάλα, η φαμίλια και η πόρτα είναι λατινικής προέλευσης λέξεις. Η δε ντομπροσύνη πρέπει να προέρχεται από την Τουρκική. Επειδή τις υιοθετήσαμε στο λεξιλόγιό μας, δε σημαίνει ότι είναι και δικές μας. Δεν συμφωνείτε, κύριε Ριζόπουλε;
ΔιαγραφήAσφαλώς και ΔΕΝ συμφωνώ, Φώτη.
ΔιαγραφήΗ χρήση νομιμοποιεί, και τα γλωσσικά δάνεια δεν είναι σαν τα τραπεζικά που φεσώνουν και καταστρέφουν. Eίναι ευπρόσδεκτα και φυσικό μέρος της εξελικτικής διαδικασίας όλων των γλωσσών.
Ξέρεις , οι εγγλέζικες λέξεις που παρέθεσα, δεν ήταν τυχαίες. Eίναι λέξεις ελληνικής προέλευσης που έχουν αλλάξει σημασία στα αγγλικά. Sycophant είναι ο κόλακας (κι όχι ο συκοφάντης) και empathy σημαίνει πάθος (κι όχι εμπάθεια). Aνήκουν σαφέστατα στις λέξεις της αγγλικής, η οποία δεν έχει κανένα απολύτως κόμπλεξ να δανείζεται και να σχηματίζει. Αυτό, δεν νομίζω να την έβλαψε και πολύ, ε; Παγκοσμιοκράτειρα γλώσσα έγινε .
Το ίδιο και η σκάλα, το σπίτι, ο ντόμπρος (σλάβικο ,κι όχι τουρκικο) και τόσα άλλα. ΔΙΚΑ ΜΑΣ 100% πλέον. Το ότι είναι η λάθος η λογική σου, φαίνεται απο την "εγκυκλοπαίδεια" που έγραψα. Η λέξη ΔΕΝ είναι ελληνική (σύμφωνα με την οπτική σου) ,αφού δεν υπήρχε στα ελληνικά και την εισήγαγε /εφεύρε ο Ντιντερό και ο Ντ'αλμπέρ. Αρα είναι σίγουρα γαλλική παρότι προέρχεται από ελληνικά συνθετικά, και ΣΙΓΟΥΡΑ και ελληνική αφού την πήραμε απ'τα γαλλικά και την χρησιμοποιήσαμε ευρυτατα ως "εγκυκλοπαίδεια". Kαταλαβαίνεις νομίζω, τα αδιέξοδα και τους φαύλους κύκλους που προκαλεί η "φιλοσοφία του αίματος/DNA" στις λέξεις, χώρια την για μένα κατάπτυστη διαφοροποιηση των λέξεων σε "ευγενείς"(με πεντιγκρή) και "ταπεινές"("ξένες",λαϊκές, "χωριάτικες" κ.λ.π.) Φυσικά , αυτή είναι η άποψή μου (και πολλών ακόμη σοβαρών γλωσσολόγων και λογίων βέβαια) και δεν προτίθεμαι να την επιβάλω σε κανέναν. Αλλά μη λες πως η "σκάλα" δεν είναι ελληνικά γιατί φοβάμαι πως αν εφαρμόσουμε αυτή την κάθαρση -που εμμέσως και είμαι σίγουρος ακούσια, επαγγέλεσαι- θα βγούμε στο δρόμο και θά'μαστε άλαλοι! :-)
Όντως, η ντομπροσύνη προέρχεται από την Αρχαία Σλαβική, συγκεκριμένα από τη λέξη dobr "καλός". Μόλις το είδα σε έναν τόμο της...εγκυκλοπαίδειας που έχω!
ΔιαγραφήA γεια σου! Είδες τι φίνα κι ωραία είναι να είσαι κουλ και να μην πολυσκοτίζεσαι για "γενεαλογικά δέντρα" και "τίτλους ευγενείας"; :-)
ΔιαγραφήΜιας και έγινε τελικά η παρέκβαση στα γλωσσικά, να προσθέσω δυο λέξεις στα όσα ωραία έγραψε ο Γιώργος, με τα οποία και συμφωνώ απολύτως:
Διαγραφή1. Η λέξη εμπάθεια ανήκει στην ελληνιστική κοινή γλώσσα και σήμαινε την έντονη εχθρότητα και το πάθος εναντίον κάποιου. Σε στενότερο θρησκευτικό πλαίσιο δήλωνε την κυριαρχία των έντονων παθών στην ψυχή, την ηδυπάθεια. Σήμαινε, σε κάθε περίπτωση, και εξακολουθεί να σημαίνει και στη σημερινή της χρήση στην ελληνική, ένα έντονα αρνητικό συναίσθημα ή κατάσταση της ψυχής. Αντίθετα, η λέξη empathy στην αγγλική σημαίνει τη συναισθηματική κατανόηση του άλλου, τη συμπάθεια, τη συναισθηματική ταύτιση, τη λεγόμενη στη γλώσσα των ψυχολόγων ενσυναίσθηση. Πρόκειται δηλαδή για ένα απολύτως θετικό συναίσθημα / κατάσταση που δηλώνει περίπου το αντίθετο από αυτό που δηλώνει η αρχική λέξη εμπάθεια.
2. Οι λέξεις δεν αλλάζουν νοήματα μόνο όταν δανείζονται σε άλλες γλώσσες, αλλά τα νοήματά τους εξελίσσονται και αλλάζουν με το χρόνο και εντός της ίδιας εθνικής γλώσσας. Π.χ. η λέξη προσπάθεια στην ελληνιστική δήλωνε την κλίση / ροπή προς τα πάθη, ήταν δηλαδή περίπου συνώνυμη της ηδυπάθειας, ενώ σήμερα σημαίνει δοκιμή, απόπειρα κ.ά., δηλαδή κάτι εντελώς διαφορετικό.
Αυτό που δεν εμφανίστηκε σωστά αποπάνω, και που "συγκλίνει μόνο για ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ..." είναι η παράσταση-απειροπύργος:
ΑπάντησηΔιαγραφή$x^{ x^{x^ \ldots } }$
Ευχαριστώ Γιώργο, η συμπλήρωσή σου ήταν απαραίτητη για να εξηγήσει γιατί η λύση x=4 της εξίσωσης που έγραψα αποκλείεται για τη συγκεκριμένη παράσταση (πύργος δυνάμεων, ωραίος ορισμός!)
Διαγραφή