Δευτέρα 24 Φεβρουαρίου 2014

$θ,2θ,3θ,...,Νθ$

Για πόσους φυσικούς αριθμούς $N\geq3$ υπάρχουν $N$ - γωνα (όχι κανονικά) που οι γωνίες τους είναι της μορφής $θ,2θ,3θ,...,Νθ$ (για κάποιο $θ>0$ και είναι όλες μικρότερες από $180^0$;
Μαθηματικός διαγωνισμός "Καγκουρό" 2009
Αναρτήθηκε από στις 24.2.14
Ετικέτες

1 σχόλιο:

  1. halb Wesen halb Ding24 Φεβρουαρίου 2014 στις 10:22 μ.μ.

    Σε ένα Νγωνο σχηματίζονται (Ν-2) τρίγωνα άρα το άθροισμα των γωνιών του είναι (Ν-2) * 180.

    Το άθροισμα των γωνιών είναι Ν(Ν+1)*θ/2, άρα θ = 2 * (Ν-2) * 180 /(Ν(Ν+1)) και για τη μεγαλύτερη γωνία (Νθ) πρέπει να ισχύει:
    2 * (Ν-2) * 180 * Ν / ( Ν (Ν+1) ) < 180 => 2* (Ν-2)/(Ν+1) <1 => Ν<5.
    Άρα ισχύει για τους 3 και 4, δηλαδή για 2 φυσικούς αριθμούς.
    Γ.Δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)