Ίσα σε ισόπλευρο

Σημείο $K$ κινείται στην πλευρά $BC$ ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$.

Γράφω τον κύκλο κέντρου $K$ και ακτίνας $KA$ που τέμνει την ευθεία $AB$ στο σημείο $D$. Δείξετε ότι $KC = BD$.

Μετά την ωραία λύση του κ. Ευθύμη ας δούμε κάτι παρόμοιο.

Αν φέρουμε την παράλληλη  από το $K$ στην $AB$ και τμήσει την $AC$ στο $Z$, προφανώς το τρίγωνο $ZKC$ είναι ισόπλευρο και $\widehat \omega  = \widehat \theta \,\,(1)$ ( εντός εναλλάξ  των παραλλήλων $ZK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ με τέμνουσα την $AK$) . Επίσης  $\widehat \theta  = \widehat D\,\,(2)$ ( παρά την βάση του ισοσκελούς τριγώνου $KAD$) . Από τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ έχουμε: $\boxed{\widehat \omega  = \widehat D\,}\,(3)$.

Επειδή $CA = CB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CZ = CK$ , αφαιρούμε κατά μέλη και έχουμε:

$CA - CZ = CB - CK \Rightarrow \boxed{ZA = BK}\,\,(4)$

 Τα τρίγωνα $ZAK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,BKD$ έχουν:

$ZA = BK$ (λόγω της $(4)$)

$AK = KD$( ακτίνες του ίδιου κύκλου)

$\widehat \omega  = \widehat D$ (λόγω της $(3)$) και  $A\widehat ZK = K\widehat BD = {120^0}$ ( παραπληρώματα  των ${60^0}$)

Θα έχουν αναγκαστικά και τις τρίτες τους γωνίες ίσες και έτσι τα τρίγωνα $ZAK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,BKD$ θα είναι ίσα $(\Pi  - \Gamma  - \Pi )$ και άρα θα έχουν και $KC = BD$.