Ίσα σε ισόπλευρο

Σημείο $K$ κινείται στην πλευρά $BC$ ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$.

Γράφω τον κύκλο κέντρου $K$ και ακτίνας $KA$ που τέμνει την ευθεία $AB$ στο σημείο $D$. Δείξετε ότι $KC=BD$.

Μετά την ωραία λύση του κ. Ευθύμη ας δούμε κάτι παρόμοιο.

Αν φέρουμε την παράλληλη  από το $K$ στην $AB$ και τμήσει την $AC$ στο $Z$, προφανώς το τρίγωνο $ZKC$ είναι ισόπλευρο και $\hat{\omega }=\hat{\theta }(1)$ ( εντός εναλλάξ  των παραλλήλων $ZK\kappa \alpha \iota AB$ με τέμνουσα την $AK$) . Επίσης  $\hat{\theta }=\hat{D}(2)$ ( παρά την βάση του ισοσκελούς τριγώνου $KAD$) . Από τις $(1)\kappa \alpha \iota (2)$ έχουμε: $\boxed{{\displaystyle \hat{\omega }=\hat{D}}}(3)$.

Επειδή $CA=CB\kappa \alpha \iota CZ=CK$ , αφαιρούμε κατά μέλη και έχουμε:

$CA-CZ=CB-CK\Rightarrow \boxed{{\displaystyle ZA=BK}}(4)$

 Τα τρίγωνα $ZAK\kappa \alpha \iota BKD$ έχουν:

$ZA=BK$ (λόγω της $(4)$)

$AK=KD$( ακτίνες του ίδιου κύκλου)

$\hat{\omega }=\hat{D}$ (λόγω της $(3)$) και  $A\hat{Z}K=K\hat{B}D={120}^0$ ( παραπληρώματα  των ${60}^0$)

Θα έχουν αναγκαστικά και τις τρίτες τους γωνίες ίσες και έτσι τα τρίγωνα $ZAK\kappa \alpha \iota BKD$ θα είναι ίσα $(\mathrm{\Pi }-\mathrm{\Gamma }-\mathrm{\Pi })$ και άρα θα έχουν και $KC=BD$.