"Palabras sabias, palabras ricas"
Jordi Hablador
$1.$Αποδείξτε, χωρίς να χρησιμοποιήσετε κανέναν μαθηματικό τύπο, πως ένας κύβος δεν μπορεί να διαμεριστεί σε πεπερασμένο αριθμό διαφορετικών μεταξύ τους κύβων.
$2.$ Ο τύπος του Ήρωνα μάς διαβεβαιώνει πως τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου καθορίζουν μονοσήμαντα το εμβαδόν του. Αληθεύει πως ο όγκος ενός τετραέδρου καθορίζεται μονοσήμαντα από το εμβαδόν των τεσσάρων εδρών του;
$3.$ ΠΡΟΣΘΕΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ (προτάθηκε από το φίλο Papadim):
Πόσα και ποια σημεία στον χώρο ισαπέχουν από τα επίπεδα που ορίζουν οι έδρες ενός τυχαίου τετραέδρου;
$3.$ ΠΡΟΣΘΕΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ (προτάθηκε από το φίλο Papadim):
Πόσα και ποια σημεία στον χώρο ισαπέχουν από τα επίπεδα που ορίζουν οι έδρες ενός τυχαίου τετραέδρου;
Οι 4 κορυφές ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ μπορούν να θεωρηθούν και ως κορυφές ενός εκφυλισμένου στο επίπεδο τετραέδρου, όγκου 0, με έδρες τις ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΑ και ΔΑΒ, όλες τους ομοεπίπεδες. Οι έδρες αυτές είναι ίσα μεταξύ τους ορθογώνια (και ισοσκελή) τρίγωνα και έχουν ίσα εμβαδά. Θα μπορούσαμε εύκολα να κατασκευάσουμε 4 ισόπλευρα τρίγωνα ίσου εμβαδού με τα πιο πάνω ορθογώνια τρίγωνα και με αυτά να φτιάξουμε ένα κανονικό τετράεδρο, όγκου μεγαλύτερου φυσικά από 0. Έχουμε λοιπόν ένα, ακραίο ίσως, αλλά χαρακτηριστικό αντιπαράδειγμα του ότι τα εμβαδά των 4 εδρών δεν αρκούν για τον προσδιορισμό του όγκου ενός τετραέδρου. Μια απλή εξήγηση είναι η εξής:
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτο τρίγωνο είναι αρκετός ο καθορισμός 3 στοιχείων (2 πλευρές και η περιεχόμενη γωνία ή 1 πλευρά και οι προσκείμενες σε αυτήν γωνίες ή οι 3 πλευρές) για τον πλήρη καθορισμό του και άρα για τον καθορισμό τού εμβαδού του. Αντίστοιχα, στο τετράεδρο είναι απαραίτητα 6 στοιχεία (οι 6 ακμές ή 3 συντρέχουσες ακμές και οι 3 μεταξύ τους γωνίες ανά δύο κ.ο.κ.). Τα εμβαδά των 4 εδρών δεν καθορίζουν επαρκώς τον αναγκαίο αριθμό στοιχείων, ως εκ τούτου δεν είναι εφικτή κάποια επέκταση του τύπου του Ήρωνα στο τετράεδρο.
1. Για να καταλάβω ακριβώς σε τι συνίσταται το αποδεικτέο, θα ρωτήσω: η περίπτωση 6^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 (ξέρω και άλλες) δεν είναι περίπτωση κύβου διαμεριζόμενου σε πεπερασμένο αριθμό διαφορετικών μεταξύ τους κύβων;
Για το 1. το ζητούμενο είναι αν ένας κύβος μπορεί να αποτελείται (να κατασκευαστεί) από μικρότερους κύβους οι οποίοι είναι όλοι διαφορετικοί/ανισομεγέθεις.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν υποθέσουμε ότι είναι εφικτή μια τέτοια κατασκευή, τότε η βάση του μεγάλου κύβου θα πρέπει να χωρίζεται σε πεπερασμένο αριθμό άνισων μεταξύ τους τετραγώνων. Το μικρότερο από αυτά δε θα μπορούσε να βρίσκεται σε γωνία της μεγάλης βάσης, διότι τότε δε θα μπορούσε να έχει όμορά του μόνο μεγαλύτερα τετράγωνα. Αν όμως βρίσκεται στο εσωτερικό της μεγάλης βάσης, τότε η απέναντι της βάσης έδρα του θα έπρεπε να περιβάλλεται από τμήματα εδρών μεγαλύτερων υποκύβων. Επομένως πάνω στην έδρα αυτή θα έπρεπε, για να μη μείνει κενό, να χωρέσουμε μικρότερους ακόμα υποκύβους, των οποίων οι βάσεις θα τη χωρίζουν αντιστοίχως σε πεπερασμένα μικρότερα τετράγωνα. Επανερχόμαστε επομένως στο αρχικό σημείο, σε μικρότερη κλίμακα. Είναι φανερό ότι αυτή η διαδικασία, με την αναγωγή σε ολοένα και μικρότερη κλίμακα, δεν μπορεί να ολοκληρωθεί σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων, άρα να περιλάβει πεπερασμένο αριθμό κύβων. Επομένως, δεν είναι εφικτή η κατασκευή.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια το θέμα 1. Aυτό είναι Θανάση! Θερμά συγχαρητήρια για τη διαισθητική απόδειξη και για τη σαφή εξήγηση!
ΔιαγραφήΠολύ ωραία παρεμπιπτόντως η εξήγησή σου -με το παράδειγμα του τετραγώνου-γιατί ο μικρότερος κύβος κάθε οριζόντιας"σειράς" κύβων(αρχής γενομένης από την 1η σειρά) δεν μπορεί ποτέ να είναι σε κάποιο άκρο (ακμή) ή γωνία.
Για το ωραίο θέμα 2.:
ΑπάντησηΔιαγραφήAυτή ακριβώς η αιτιολόγηση-αντιπαράδειγμα που δίνει ο Θανάσης (papadimή) με το εκφυλισμένο τετράεδρο είναι αρκετή για να καταδείξει πως δεν υπάρχει μονοσήμαντη αντιστοιχία -αλά Ήρωνα- μεταξύ εμβαδού εδρών και όγκου τετραέδρου. Συγχαρητήρια για μια φορά ακόμη στο Θανάση και θα κάνω μια μικρή ανάλυση σε ακόλουθο σχόλιο, 1ον γιατί είμαι φαφλατάς εκ φύσεως, και 2ον γιατί το θέμα είναι πολύ ενδιαφέρον και με πολλές προεκτάσεις.
Nα ποσοτικοποιήσω κάπως καταρχάς το επιχείρημα του Θανάση. Το κλειδί της διαισθητικής απόδειξης είναι όντως η σύγκριση μεταξύ ενός κανονικού τετραέδρου με μοναδιαίο εμβαδό για κάθε έδρα , και του τετραγώνου με εμβαδό $=2$.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο καν. τετρ. έχει θετικό όγκο ,ενώ (δείτε και το Σχήμα στην ανάρτηση για τα σύμβολα!) το τετράγωνο $ABCD$ είναι ένα εκφυλισμένο (δηλαδή μηδενικού όγκου) τετράεδρο ,του οποίου οι έδρες (όπως τις περιέγραψε ο Θανάσης) $ABC$ ,$BCD$, $CDA$, $DAB$ έχουν όλες εμβαδό $1$. Άρα βλέπουμε πως υπάρχουν τουλάχιστον 2 τετράεδρα με διαφορετικούς όγκους και ίδιο εμβαδόν εδρών ,πράγμα που σημαίνει πως τύπος -αλά Ήρωνα- δεν υπάρχει στην περίπτωση αυτή.
Για όσους τώρα δεν καλύπτονται πιθανώς(ή τους μένουν ερωτηματικά γενικότερης φύσεως) από την αυστηρότητα του αντιπαραδείγματος με το εκφυλισμένο τετράεδρο (δεν νομίζω βέβαια να υπάρχει άλλη "no formulas!" αντιμετώπιση) μπορούμε να πούμε (μεταξύ πολλών άλλων, το θέμα είναι ευρύ.) τα εξής "αυστηρά":
Μπορούμε να εξετάσουμε το θέμα για ΙΣΟΣΚΕΛΗ τετράεδρα ,τα οποία εξ ορισμού έχουν 4 έδρες ίδιου εμβαδού. Αυτά τα τετράεδρα έχουν κάποιες ωραίες και ενδιαφέρουσες ιδιότητες ,οι οποίες καλύπτονται πλήρως από ένα Θεώρημα που λέει:
"Aν ένα τετράεδρο ικανοποιεί οποιαδήποτε από τις $6$ ακόλουθες ιδιότητες, τότε είναι ισοσκελές και ικανοποιεί και τις $6$ ιδιότητες.
$1$. Και οι $4$ έδρες έχουν το ίδιο εμβαδό.
$2$. Και οι $4$ έδρες έχουν την ίδια περίμετρο
$3$.Και οι $4$ έδρες είναι όμοιες (congruent)
$4$ Oι αντικριστές ακμές είναι ίσες
$5$ Οι γωνίες που σχηματίζουν οι έδρες που καταλήγουν σε μια οποιαδήποτε κορυφή έχουν άθροισμα $180$ μοίρες.
$6$. Η εγγεγραμμένη και περιγεγραμμένη σφαίρα στο τετράεδρο ,έχουν κοινό κέντρο.
Δείτε τώρα το σχήμα . Μπορούμε να έχουμε ένα μοντέλο ενός τυχαίου ισοσκελούς τετραέδρου από ένα τυχαίο επίπεδο τρίγωνο (το $\triangle D_{1} D_{2} D_{3} $ ) χρησιμοποιώντας σαν βάση του τετραέδρου το διάμεσο τρίγωνο(αυτό δηλαδή του οποίου οι κορυφές $Α ,Β, C$ είναι τα μέσα των πλευρών του αρχικού, και σημειώνεται με διακεκομένη και πλευρές $a, b, c$) και "διπλώνοντας" τις τρεις άλλες όμοιες έδρες. Διπλώνοντας λοιπόν κατα μήκος των διακεκομένων παίρνουμε το δεξί σχήμα-τετράεδρο.
Θα απλοποιήσουμε κι άλλο την αποστολή μας ,θέτοντας $a=b$, έτσι ώστε κάθε έδρα του τετραέδρου μας να γίνει ένα ισοσκελές τρίγωνο με μήκη πλευρών: $a, a, c$. H ορίζουσα Cayley-Menger (Kέηλη-Μένγκερ) για την οποία θα πω στο τέλος ,μάς δίνει το εμβαδό $E= \frac{c \sqrt{4a^2 - c^2} }{4}$
Aν θέσουμε λοιπόν το εμβαδό του τριγώνου $E=1$ και δίνοντας τιμές στο $c$ έχουμε:
$a= \sqrt{ \frac{c^2}{4} + \frac{4}{c^2} }$ και ο όγκος $V$ του τετραέδρου ως προς το μήκος $c$ είναι:
$V= \frac{c^2}{ \sqrt{72} } \sqrt{ \frac{8}{c^2} - \frac{c^2}{2} }$
Oυσιαστικά τελειώσαμε με την απόδειξη! Από τον τύπο του όγκου ,κάποιος βλέπει (βοηθάει και ένα καρτεσιανό διάγραμμα με $c$ στις τετμημένες και $V$ στις τεταγμένες) πως καθώς το μήκος $c$ μειώνεται προς το $0$ ο όγκος τείνει στο $0$ ή όταν το $c$ πλησιάζει το $2$ (οπότε και το τετράεδρο εκφυλίζεται σε τετράγωνο!) επίσης ο όγκος τείνει στο $0$.
Μεταξύ των 2 αυτών ακραίων τιμών, ο $V$ είναι θετικός . Ξεκινώντας από 0 ,για c=0, αυξάνεται μέχρι τη maximum τιμή του ,περίπου $1,52$ (για $c=2/(3^{1/4})$ ) και μετά βέβαια πέφτει πάλι προς το $0$. Φυσικά, ο $Vmax$ αντιστοιχεί στο ΚΑΝΟΝΙΚΟ τετράεδρο.
(συνεχίζεται...)
Μια άλλη προσέγγιση στο θέμα ,θα ήταν σίγουρα η διανυσματική, κι αν θέλει να ασχοληθεί κάποιος φίλος ,καλοδεχούμενη!
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ ορίζουσα Cayley-Menger που αναφέρθηκε πιο πάνω, δίνει τον όγκο κάποιου n-διάστατου simplex συναρτήσει των μηκών των πλευρών.(δυστυχώς δεν ξέρω τον δόκιμο ελληνικό όρο,αν υπάρχει.) της γενίκευσης δηλαδή ενός τριγώνου ή ενός τετραέδου στους ευκλ.χώρους διάστασης 2 και 3 αντίστοιχα, σε χώρους μεγαλυτέρων διαστάσεων.
http://mathworld.wolfram.com/Cayley-MengerDeterminant.html
Για την διδιάσταη περίπτωση, η ορίζουσα C-M είναι:
$-16E^2 \begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & 1 \\1 & 0 & c^2 & b^2\\1 & c^2 & 0 & a^2\\1 & b^2 & a^2 & 0 \end{bmatrix}$
που ισούται με:
$(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$ ..που είναι ο τύπος του Ήρωνα.
Το θέμα έχει εξαιρετικά ανεπτυγμένη βιβλιογραφία (και πολύ πράμα μπορεί να βρει κανείς και στο ίντερνετ) .Το ειδικό θέμα που εξετάσαμε, ήταν μεχρι πρόσφατα "ανοικτό". Υπήρχε δηλαδή η εντύπωση πως πρέπει να υπάρχει κάποιο ειδικό τετράεδρο μονοσήμαντα καθορισμένο ,αλλά πρόσφατες (του 2000) εργασίες (Lisonek και Israel) δείξαν αλλιώς.
"Petr Lisoněk and Robert B. Israel, Metric invariants of tetrahedra via polynomial elimination. C. Traverso, Ed., Proceedings of the 2000 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ACM Press (2000)"
Η εργασία αυτή αποδεικνύει πως κάποιο τετράεδρο μπορεί να είναι "μη καθορισμένο" ακόμη και με δεδομένη ακτίνα περιγεγρ.κύκλου (circumradius). Mάλιστα, υπάρχει μια άπειρη οικογένεια ΜΗ ΟΜΟΙΩΝ τετραέδρων , που έχουν ίδιο όγκο, circumradius και εμβαδά εδρών!
Aπό την άλλη πλευρά όμως, στο paper "C. -S. Lin in [The Volume of a Tetrahedron and Areas of its Faces. Crux Math. with Mayhem, 27:3 (April 2001) 207-212" εξετάζεται μια υποοικογένεια τετραέδρων των οποίων ο όγκος καθορίζεται από το εμβαδόν των εδρών τους! Μια τέτοια περίπτωση-παράδειγμα είναι τα αποκαλούμενα "τετράεδρο του Ήρωνα" που είναι τετράεδρο του οποίου τουλάχιστον ένα ζεύγος εδρών τέμνεται ορθογώνια (υπό γωνια $π/2$)
Eνδιαφέρον (και σχετικό!) είναι και αυτό το κείμενο του Βόλφραμ για τα τετράεδρα του Ήρωνα:
http://mathworld.wolfram.com/HeronianTetrahedron.html
Ελπίζω να ήταν ενδιαφέροντα τα τετράεδρα "χωρίς τύπους" (σχεδόν... :-) ) Οποιαδήποτε παρατήρηση,ερώτηση, επέκταση ,ασφαλώς όχι μόνο καλοδεχούμενη ,αλλά και επιθυμητή.
To LateX μάσησε την ορίζουσα Cayley-Menger,πιο πάνω. Ελπίζω τώρα να εμφανιστεί σωστά. Υπάρχει πάντως στο λινκ του Βόλφραμ που έδωσα.
ΑπάντησηΔιαγραφή$-16E^2 \begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & 1 \\1 & 0 & c^2 & b^2\\1 & c^2 & 0 & a^2\\1 & b^2 & a^2 & 0 \end{vmatrix}$
Γιώργη, ευχαριστώ για την επιβεβαίωση, όπως και για τη διακριτική, πλην αναγκαία προσθήκη (ακμή ή γωνία).
ΑπάντησηΔιαγραφήΓιώργο, πολύ ενδιαφέρουσες, ακόμα μια φορά, οι θεματικές σου επιλογές και μπράβο! Γεωμετρία αυτή τη φορά ως βασικό υπόστρωμα, αλλά με ικανή δόση κάπως πιο απαιτητικής αφαιρετικής σκέψης, πράγμα που τις ξεχωρίζει από τα κλασικά θέματα γεωμετρίας σχολικού ενδιαφέροντος.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠολύ ενδιαφέρουσα και η ανάπτυξη σε βάθος και πλάτος (όπως και η επέκταση σε χώρους πολλών διαστάσεων) που έδωσες στο θέμα και μακάρι αυτό να σταθεί αφορμή για κάποιους φίλους να το ψάξουν περαιτέρω.
Από την πλευρά μου, ως συνεισφορά στην παρούσα ανάρτηση, θα προτείνω στους φίλους σχολιαστές που αγαπούν τη γεωμετρία (και ιδιαιτέρως τη στερεομετρία) και σε σένα (ως αναρτησιάρχη) ένα ωραίο σχετικό πρόβλημα που έχω θησαυρίσει από την παλιότερη πιο στενή ενασχόλησή μου με τη γεωμετρία:
Πόσα σημεία στο χώρο ισαπέχουν από τα επίπεδα που ορίζουν οι έδρες ενός τετραέδρου; (όχι αναγκαστικά κανονικού ή ισοσκελούς ή ορθογωνίου κ.ο.κ.)
Θανάση , πρόσθεσα την πρότασή σου στην ανάρτηση.
ΔιαγραφήΑυτή η στερεομετρία μου φαίνεται ότι είναι χαώδης σε σχέση με την επιπεδομετρία...
ΑπάντησηΔιαγραφήsin(π/60)={[5*3^(1/2)+10]^(1/2)-[4*5^(1/2)-2*15^(1/2)-10*3^(1/2)+20]^(1/2)-[3^(1/2)+2]^(1/2)}/8, για όποιον ενδιαφέρεται...
ΑπάντησηΔιαγραφήΦώτη, πολύ ωραία και σωστή η ανάλυσή σου σε ριζικά!
Διαγραφή(θα ήταν όμως προτιμότερο να το είχες ποστάρει στην οικεία ανάρτηση ,για να μην μπερδεύται κάποιος που διαβάζει εδώ για τετράεδρα και κύβους :-) )
Θανάση, πολύ ενδιαφέρον το θέμα που έβαλες (3.ΠΡΟΣΘΕΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ) ! Ανοίγω τη συζήτηση ,καταθέτοντας τη σκέψη μου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαταρχάς ,μπορούμε να εξετάσουμε χωριστά το σύνολο των εσωτερικών του τετραέδρου σημείων ,και χωριστά των εξωτερικών.
Για τα εσωτερικά, ο γεωμετρικός τόπος των ισαπεχόντων σημείων από τα 4 -ανα 3 τεμνόμενα-επίπεδα/έδρες του τετραέδρου είναι φανερά το κεντροειδές(έγκεντρο) του τετραέδρου , δηλαδή το κέντρο $Κ$ της εγγεγραμμένης σφαίρας. Δεν υπάρχει άλλο σημείο εσωτερικά που να μας κάνει, καθότι αν υπήρχε θα μπορούσαμε σε δεδομένο τετράεδρο να εγγράψουμε και δεύτερη σφαίρα με διαφορετικό κέντρο, άτοπο.
Αυτό ,μπορεί να προκύψει κι απ'την παρατήρηση πως η κάθε τρίεδρη γωνία του τετραέδρου έχει 3 διχοτομούντα επίπεδα τα οποία τέμνονται σε μία
γραμμή (centroidal line) ,που είναι βεβαίως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που
ισαπέχουν από τις εν λόγω έδρες. Οποιοδήποτε απο τα άλλα 3
διχοτομούντα επίπεδα θα τέμνει αυτή τη γραμμή σε κάποιο σημείο Κ . Το
Κ προφανώς θα ισαπέχει κι από τις 4 έδρες. Προφανώς είναι το κεντροειδές $Κ$
(κέντρο εγγεγραμ. σφαίρας) και προφανώς τα 2 εναπομείναντα διχοτ.
επίπεδα είναι τα σύνολα των σημείων που ισαπέχουν από ζεύγη εδρών. Κι
αυτά περνάνε υποχρεωτικά από το Κ.
Για τα εξωτερικά σημεία τώρα , υπολογίζεται εύκολα με συνδυαστική ανάλυση και επαγωγή (όπως ακριβώς στο πρόσφατο θέμα με τις γραμμές που έλυσες) πως τα $4$ αλλητομνέμενα επίπεδα (στη γενική περίπτωση και για μη εκφυλισμένο τετράεδρο,οπότε και το θέμα είναι trivial) δημιουργούν $15$ διαφορετικές-διακριτές περιοχές. 14 τριεδρικούς χώρους (+1 χώρος το τετράεδρο). Άρα οι $14$ κεντροειδείς ευθείες (Centroidal lines) που είναι ο γεωμ. τόπος των ισαπεχόντων σημείων από τις 3 έδρες του κάθε τριέδρου (Αυτό ισχύει διότι οι εσωτερικοί διχοτόμοι για κάεθ δίεδρη γωνία ,που είναι ένα επίπεδο, είναι συναξονικοί,δηλαδή τέμνονται σε μία ευθεία που καλείται centroidal line)
Άρα έχουμε συνολικά 14 ημιευθείες (centroidal lines) + το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας $Κ$ . Για κανονικό τρίεδρο ας πούμε είναι προφανές πως σχηματιζέται ένας "διπλός στυρός" (σε 2 ορθογωνίως τεμνόμενα επίπεδα ) + το κεντροειδές.
Βρήκα μια εικόνα 4 αλληλοτεμνόμενων επιέδων.
ΑπάντησηΔιαγραφήhttp://3.bp.blogspot.com/-_ctzH293b6U/UZuo5_zGuUI/AAAAAAAAIwE/_RCN-sF5-HY/s1600/4%2Bintersecting%2Bplanes%2Btriangle_.jpg
Γιώργη, ευχαριστώ τόσο για την ανάδειξη του προβλήματος, όσο και για το πλούσιο σε καλές ιδέες σχόλιό σου. Θα προσθέσω μια-δυο ιδέες και από τη μεριά μου:
ΑπάντησηΔιαγραφή1. Το έγκεντρο του τετραέδρου, όπως πολύ σωστά το εντόπισες, είναι ένα από τα σημεία που ζητάμε.
2. Αν κοιτάξουμε 2-3 αναρτήσεις πιο κάτω από αυτή (έγκεντρο-παράκεντρα τριγώνου), θα πάρουμε σίγουρα μια ακόμα χρήσιμη ιδέα από το επίπεδο, που το ανάλογό της στο χώρο μας οδηγεί εύκολα σε μερικά ακόμα τέτοια σημεία (όχι όλα όμως).
3. Τα σημεία που ζητάμε είναι, σε κάθε περίπτωση, πεπερασμένα σε πλήθος. Για να έχουμε έναν σχετικά γρήγορο υπολογισμό του μέγιστου δυνατού αριθμού τους, θα πρότεινα να εστιάσουμε σε μια τρίεδρη γωνία του τετραέδρου και σε μια δίεδρη απέναντί της και να βρούμε τις τομές των γεωμετρικών τόπων που προκύπτουν.
Λοιπόν τα σημεία τα έβγαλα 8 .Εξηγούμαι
ΑπάντησηΔιαγραφή1. Ενα σημείο είναι το κέντρο σφαίρας η
οποία είναι εγγεγραμένη στο εσωτερικό του τυχαίου τετράπλευρου
2. Εν συνεχεία παίρνουμε καθε μία από τις 4 έδρες και προεκτείνουμε εξωτερικά του τετράπλευρου , προς τη μεριά της τις άλλες 3.για καθεμία από τις 4 έδρες το σημείο που ισαπέχει από αυτή την έδρα και τις
άλλες 3 που προεκτείνουμε ανήκει στο κέντρο σφαίρας.Άλλωστε η σφαίρα είναι
γνωστό πως δημιουργείται από 4 σημεία του χώρου που δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και είναι μοναδική γι αυτά τα 4 σημεία.
Άρα έχουμε ένα σημείο για κάθε 4-άδα επιπέδων άρα συνολικά άλλα 4 σημεία συν
αυτό του κέντρου της εγγεγραμένης σφαίρας άρα μέχρι τώρα 5
3.Με παρόμοια λογική βρίσκουμε άλλες 3 4-άδες επιπέδων που περικλείουν ένα σημείο η καθεμία.Είναι ο χώρος που περικλείεται σε κάθε περίπτωση προεκτείνοντας 2 επίπεδα στις άλλες τρεις ακμές-σημεία τομής + την προέκταση των άλλων 2 επιπέδων.Έτσι έχουμε πάλι 3 σημεία που ανήκουν σε μία σφαίρα για καθεμία από τις 3 περιπτώσεις 4-άδων επιπέδων.Έτσι συνολο 8 σημεία(1+4+3)
Μπράβο Batman!!, είναι τόσα και είναι εκεί που τα εντόπισες. Και αυτό ισχύει για κάθε τετράεδρο ΑΒΓΔ που δεν υπακούει σε οποιαδήποτε ειδική σχέση ή συμμετρία μεταξύ των στοιχείων του (ακμών, γωνιών, εδρών). Δυο λόγια θα πω μόνο ακόμα, για την αιτιολόγηση του αριθμού των σημείων, 8:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν πάρουμε τις 3 έδρες που συντρέχουν σε μια κορυφή, έστω την Α, αυτές και οι προεκτάσεις τους στο χώρο σχηματίζουν 4 ζευγάρια κατά κορυφή τρίεδρων γωνιών. Για κάθε τέτοιο ζευγάρι, υπάρχει μια ευθεία διερχόμενη από το Α, όλα τα σημεία της οποίας ισαπέχουν από τα επίπεδα των 3 εδρών.
Αν τώρα πάρουμε 2 έδρες, μία από τις πιο πάνω και τη 4η, δηλαδή τη ΒΓΔ, αυτές και οι προεκτάσεις τους σχηματίζουν 2 ζευγάρια κατ’ ακμή δίεδρων γωνιών. Για κάθε τέτοιο ζευγάρι, υπάρχει ένα επίπεδο διερχόμενο από την κοινή ακμή, όλα τα σημεία του οποίου ισαπέχουν από τα επίπεδα των 2 εδρών.
Επομένως, τα 8 σημεία τομής των πιο πάνω γεωμετρικών τόπων, δηλαδή των 4 ευθειών και των 2 επιπέδων, είναι ακριβώς τα σημεία που ισαπέχουν και από τα 4 επίπεδα των εδρών.
Προσοχή όμως: Είναι 8 τα σημεία, με την προϋπόθεση ότι και οι 4 ευθείες τέμνουν και τα 2 επίπεδα, όπως τα προσδιορίσαμε, πράγμα που συμβαίνει μόνο σε ένα εντελώς τυχαίο τετράεδρο. Αν μία ή περισσότερες από τις 4 ευθείες είναι παράλληλη/ες προς κάποιο από τα 2 επίπεδα, τότε κάποια από τα 8 σημεία θα απουσιάζουν. Τέτοια είναι και η περίπτωση του κανονικού τετραέδρου, όπου οι 3 από τις 4 ευθείες είναι παράλληλες προς το ένα επίπεδο, επομένως εκεί τα σημεία είναι 5 και όχι 8. Και τα σημεία στην περίπτωση αυτή είναι το έγκεντρο (1) και τα παράκεντρα (4) του τετραέδρου. Στη γενική περίπτωση, για κάθε ζευγάρι ίσων απέναντι δίεδρων γωνιών του τετραέδρου, θα λείπει και από ένα από τα 8 σημεία. Επομένως, τα σημεία τελικά μπορεί τα είναι 5 ή 6 ή 7 ή 8.
Πολύ ωραία! Μπράβο Μπάτη για τη λύση,και μπράβο Θανάση για το ωραίο πρόβλημα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΜια και η παρούσα ανάρτηση έχει γίνει -κατά κάποιο τρόπο- μιά "Ωδή προς (ή "Ελεγεία για" ανάλογα το οπτικό πεδίο.. :-) ) τα τετράεδρα, ας δει όποιος ενδιαφέρεται και ένα ωραίο θέμα όπου αποδεικνύεται πως δεν μπορεί να υπάρξουν 5 σημεία στο χώρο που να ορίζουν -ανά 4- 5 τετράεδρα ίσου όγκου. Στο εξαίρετο ιστολόγιο προβλημάτων (κάπως "ανώτερων" μαθηματικών ,αλλά και πολλά στο στυλ που μάς αρέσει εδώ ,και υπάρχει και πεδίον δόξης λαμπρόν για τα άλυτα) του Μ.Κολουντζάκη.
http://kolount.wordpress.com/2009/08/30/%CF%80%CE%AD%CE%BD%CF%84%CE%B5-%CF%83%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%AF%CE%B1/
Η αυστηρή απόδειξη που δίνεται εφαρμόζει τον "Αφινικό μετασχηματισμό" μια πολύ χρήσιμη τεχνική με μεγάλη εφαρμοσιμότητα στην Ευκλείδεια γεωμετρία.
Γιώργη ευχαριστώ για το σχόλιο, αλλά και την πολύ ωραία παραπομπή που έδωσες! Δέξου με την ευκαιρία και τα δικά μου ταπεινά συγχαρητήρια για τη λύση σου στο πρόβλημα του kolount.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠαρεμπιπτόντως, με αφορμή το συγκεκριμένο πρόβλημα, αναρωτήθηκα αν το ανάλογό του στο επίπεδο θα μπορούσε να ισχύει ή όχι. Με άλλα λόγια, υπάρχουν 4 σημεία στο επίπεδο, τέτοια ώστε τα 4 τρίγωνα που σχηματίζουν (ανά 3) να είναι ίσου και μη μηδενικού εμβαδού;
Δεν θά 'λεγα □χι ;-)
ΔιαγραφήΜπράβο swt! Αν μάλιστα είχες παραστήσει το χι με ένα 'χ' στο εσωτερικό του □, θα είχαμε δει και τα 4 τρίγωνα ;-)
ΑπάντησηΔιαγραφή