Συνεταιριστικό παίγνιο

Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα, συνεργασία του εκλεκτού φίλου Θανάση Παπαδημητρίου, τον οποίον και ευχαριστώ θερμά!

Σε ένα συνεταιρισμό $Ν$ ατόμων, με $N \geq 3$ ,κάποιος χορηγός κάνει την ακόλουθη πρόταση: Κάθε μέλος του συνεταιρισμού θα συνεισφέρει προαιρετικά σε ένα ειδικό ταμείο ένα ποσό $α$, το ίδιο για όλους όσοι επιθυμούν να συνεισφέρουν. Για κάθε μέλος που καταβάλλει το ποσό $α$, ο χορηγός θα καταβάλει ένα επιπλέον ποσό $β$, με: $\alpha < \beta <(N-1) \times \alpha$.

Το συνολικό ποσό που θα συγκεντρωθεί με τις καταβολές από τα μέλη και τα αντίστοιχα πρόσθετα ποσά από τον χορηγό, θα μοιραστεί εξίσου σε όλα ανεξαιρέτως τα $Ν$ μέλη του συνεταιρισμού, ασχέτως αν συνεισφέρανε ή όχι. Ποιο είναι το μέγιστο δυνατό και ποιο το αναμενόμενο κέρδος για κάθε μέλος του συνεταιρισμού, αν δεχτούμε πως κάθε μέλος επιδιώκει τη μεγιστοποίηση του κέρδους του;