Συνεταιριστικό παίγνιο

Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα, συνεργασία του εκλεκτού φίλου Θανάση Παπαδημητρίου, τον οποίον και ευχαριστώ θερμά!

Σε ένα συνεταιρισμό ${\rm N}$ ατόμων, με $N\ge 3$ ,κάποιος χορηγός κάνει την ακόλουθη πρόταση: Κάθε μέλος του συνεταιρισμού θα συνεισφέρει προαιρετικά σε ένα ειδικό ταμείο ένα ποσό $\alpha$, το ίδιο για όλους όσοι επιθυμούν να συνεισφέρουν. Για κάθε μέλος που καταβάλλει το ποσό $\alpha$, ο χορηγός θα καταβάλει ένα επιπλέον ποσό $\beta$, με: $\alpha <\beta <(N-1)\times \alpha$.

Το συνολικό ποσό που θα συγκεντρωθεί με τις καταβολές από τα μέλη και τα αντίστοιχα πρόσθετα ποσά από τον χορηγό, θα μοιραστεί εξίσου σε όλα ανεξαιρέτως τα ${\rm N}$ μέλη του συνεταιρισμού, ασχέτως αν συνεισφέρανε ή όχι. Ποιο είναι το μέγιστο δυνατό και ποιο το αναμενόμενο κέρδος για κάθε μέλος του συνεταιρισμού, αν δεχτούμε πως κάθε μέλος επιδιώκει τη μεγιστοποίηση του κέρδους του;