Τα σημεία $C,D$ βρίσκονται πάνω σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB$. Οι $AD,BC$ τέμνονται στο $E$,ενώ οι $AC,BD$ στο $Z4. Η $EZ$ τέμνει το ημικύκλιο στο $S$.
Γράφω τους κύκλους $(S,D,E)$ και $(S,C,Z)$, με κέντρα τα $L,K$ αντίστοιχα.
Δείξτε ότι τα $B,K,S,L$ είναι συνευθειακά.
Πηγή: mathematica
Έστω ότι η EZ προεκτεινόμενη τέμνει την AB στο σημείο F. Είναι γωνία ADB=π/2 και γωνία ACB=π/2, ως εγγεγραμμένες που βαίνουν σε ημικύκλιο. Άρα η AC είναι κάθετη στη BE και η BD είναι κάθετη στην AE. Επομένως το Z είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABE και η EF είναι κάθετη στην AB, δηλαδή η γωνία BFE=π/2. Επίσης τα τετράπλευρα ABSD και ACSD είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο, οπότε γωνία EDS=γωνία ABS και γωνία EDS=γωνία ACS, δηλαδή γωνία EDS=γωνία ABS=γωνία ACS. Θεωρούμε τώρα τις μεσοκάθετες των τμημάτων ES και SZ που τέμνουν την EF στα G και H, αντίστοιχα. Είναι γωνία GLS=(γωνία ELS)/2=[2(γωνία EDS)]/2=γωνία EDS=γωνία ABS=γωνία BFS, άρα τα ορθογώνια τρίγωνα GLS και BFS είναι όμοια, επομένως θα είναι και γωνία GSL=γωνία BSF, που σημαίνει ότι οι γωνίες αυτές είναι κατακορυφήν και τα σημεία B,S και L είναι συνευθειακά. Ακόμη, γωνία HKS=(γωνία SKZ)/2=[2(γωνία SCZ)]/2=γωνία SCZ=γωνία ACS=γωνία ABS=γωνία BFS, οπότε και τα ορθογώνια τρίγωνα HKS και BFS είναι όμοια, άρα γωνία FSK=γωνία HSK=γωνία FSB, που σημαίνει ότι και τα σημεία S,K και B είναι συνευθειακά. Τελικά προκύπτει ότι τα B,K,S,L είναι συνευθειακά.
ΑπάντησηΔιαγραφήΥΓ.: Κατά τη γνώμη μου πρόκειται για μια έξοχη άσκηση γεωμετρίας, πολύ σωστά "στημένη"!!!