Δίνονται $81$ φυσικοί αριθμοί των οποίων των οποίων οι πρώτοι διαιρέτες ανήκουν στο σύνολο $\{2, 3, 5\}$. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $4$ αριθμοί, από τους $81$, που το γινόμενό τους είναι τέταρτη δύναμη φυσικού αριθμού.
Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα
"Ο Αρχιμήδης" (1996-1997)
"Ο Αρχιμήδης" (1996-1997)
Καθένας από τους 81 ακέραιους μπορεί να γραφεί ως 2^κ*3^λ*5^μ, όπου κ , λ, μ ακέραιοι >=0.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαθένας από τους εκθέτες κ, λ, μ μπορεί να είναι ζυγός (ζ) ή μονός (2 δυνατότητες), ενώ συνδυαστικά για τους τρεις υπάρχουν 2^3=8 δυνατότητες / διατάξεις των parities και συγκεκριμένα: ζ-ζ-ζ, ζ-ζ-μ, ζ-μ-ζ, ζ-μ-μ, μ-ζ-ζ, μ-ζ-μ, μ-μ-ζ και μ-μ-μ.
Επομένως, μεταξύ οποιωνδήποτε 9 από τους 81 ακεραίους, θα υπάρχουν υποχρεωτικά δύο τουλάχιστον που θα έχουν εκθέτες κ-λ-μ της ίδιας διάταξης των parities, μεταξύ των πιο πάνω 8 περιπτώσεων. Αν δύο τέτοιοι ακέραιοι έχουν εκθέτες κ1,λ1,μ1 και κ2,λ2,μ2 αντιστοίχως, τότε το γινόμενό τους θα έχει αντίστοιχους εκθέτες κ1+κ2 , λ1+λ2 , μ1+μ2 , δηλαδή και τους τρεις εκθέτες άρτιους, πολλαπλάσιους του 2 (θα είναι τέλεια τετράγωνα). Το γινόμενο αυτό δηλαδή θα έχει πρώτους παράγοντες τους 2, 3 και 5 με αντίστοιχους εκθέτες της μορφής 2κ, 2λ, 2μ.
Αν τώρα χωρίζουμε τους 81 ακέραιους ανά 9, σε κάθε τέτοια 9άδα θα υπάρχει ένα γινόμενο δύο ακέραιων που είναι τέλειο τετράγωνο, ενώ θα υπάρχουν οπωσδήποτε σε δύο τέτοιες 9άδες δύο τέτοια γινόμενα με εκθέτες των 2,3, και 5 τους 2κ1, 2λ1, 2μ1 και 2κ2, 2λ2, 2μ2 αντιστοίχως, όπου οι διάταξη των parities των κ1, λ1, μ1 και κ2, λ2, μ2 θα είναι ακριβώς η ίδια.
Αν πάρουμε επομένως το γινόμενο δύο τέτοιων γινομένων, θα έχουμε ένα γινόμενο τεσσάρων από τους 81 ακεραίους, όπου όλοι οι εκθέτες τών 2, 3 και 5 θα είναι πολλαπλάσιοι του 2*2=4, άρα το γινόμενο αυτό θα είναι τέταρτη δύναμη ακεραίου.
Πολύ ωραία και εμπνευσμένη λύση σε ένα "στριφνό" πρόβλημα, Θανάση!
ΑπάντησηΔιαγραφήTo στριφνό ,στο αποπάνω σχόλιο ,παρακαλώ να εννοηθεί χωρίς εισαγωγικά βεβαίως!
ΑπάντησηΔιαγραφή(πάσχω από μια μικρή εισαγωγικομανία τελευταία, αλλά ελπίζω πως είναι πρόσκαιρο... :-) )
Να 'σαι καλά Γιώργη, σε ευχαριστώ!
ΑπάντησηΔιαγραφήΠροσωπικά, δεν έχω κανένα πρόβλημα με τα εισαγωγικά, μη μου ζητήσεις μόνο να σου δώσω απόδειξη της αρχής Dirichlet, είμαι πνιγμένος αυτό τον καιρό: ψάχνω για καμιά απόδειξη της προκοπής του Πυθαγορείου θεωρήματος και δε βοηθάει κανείς.
Να δώσω και μια εναλλακτική προσέγγιση (όχι πολύ διαφορετική σαν "μοτίβο σκέψης" από του papadim , απλώς ο δικός του περιστερώνας (pigeonhole) ξεκόλλησε λίγο και τον δικό μου ,που είχε ξεμείνει ψες από καναβούρι. :-) )
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαταρχάς ,νομίζω πως ,μια και δεν αναφέρεται ρητά στην εκφώνηση, πρέπει να ξεχωρίσουμε πως μιλάμε για διακριτούς (διαφορετικούς ανά 2) αριθμούς. Για μή διακεκριμένους, το ζητούμενο είναι προφανές.
Ψάχνουμε 4 αριθμούς ,έστω $x_{i}$ Aν πάρουμε τους εκθέτες των 2, 3, και 5 αντίστοιχα σε modulo 4 , η τέταρτη δύναμη αντιστοιχεί σε άθροισμα των τεσσάρων με Σ(mod4) ανά εκθέτη =0.
Τα $mod 4$ ψηφία είναι πληθαριθμ.=4 ($0 ,1, 2, 3$) ,άρα συνολικά υπάρχουν $4^{3} =64$ διαφορετικές δυνατές τριάδες εκθετών. Αρα (από περιστερώνα) υπάρχουν 2 ίδιες τριάδες , μένουν 79, περιστερώνας,..., άλλοι 2,... 9 τουλάχιστον με -ανά δύο- ίδιο mod4,... Q.E.D.
Και μια τρίτη εκδοχή, πλησιάζει προς του Γιώργου (αν δεν είναι ίδια, αλλά αφού την έκανα)
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι αριθμοί θα είναι της μορφής 2^κ *3^λ *5^μ, εκφράζουμε τα κ, λ, μ σε mod4, άρα κ,λ,μ =0,1,2,3 mod4
Πρέπει να βρούμε 4 αριθμούς χ,y,z,ω έτσι ώστε χ*y*z*ω = γινόμενο δυνάμεων των πρώτων 2,3,5, εκφρασμένο σε mod 4 εκθετών να είναι(0,0,0).
4^3=64 οι δυνατές διαφορετικέ τριάδες, άρα θα υπάρχουν
81-64=17 τουλάχιστον ίδιοι αριθμοί σε mod εκθετών, αρκούν 9 και έστω χ1=y1, x2=y2, x3=y3,....x9=y9
Θεωρώ αριθμούς Κ1=χ1+y1, Κ2=x2+y2,...,Κ9=x9+y9
Tα αθροίσματα χi +yi σε mod εκθετών θα είναι (0ή2, 0ή2, 0ή2) και αυτό διότι:
0mod4+0mod4=0mod4
1mod4+1mod4=2mod4
2mod4+2mod2=4mod4=0mod4
3mod4+3mod2=6mod4=2mod4
Άρα οι δυνατοί διαφορετικοί αριθμοί Κi είναι 2^3=8
(0 ή 2 * 0 ή 2 * 0 ή 2 = 8 συνδυασμοί
Υπάρχουν 9 Κi αριθμοί, άρα 2 είναι ίσοι μεταξύ τους,
έστω Κα=Κβ σε mod 4 εκθετών, άρα Κα*Κβ=(0,0,0).