Πάρτε έναν οποιαδήποτε διψήφιο αριθμό, αντιστρέψτε τα ψηφία του, και αφαιρέστε το μικρότερο αριθμό από το μεγαλύτερο. Για παράδειγμα
$42 - 24 = 18$.
Κάντε το αρκετές φορές. Θα διαπιστώσετε ότι η διαφορά δεν είναι ποτέ πρώτος αριθμός. Γιατί;
Συμβαίνει το ίδιο με έναν τριψήφιο αριθμό;
Τι γίνεται με έναν τετραψήφιο αριθμό;
Τι γίνεται με πενταψήφιο, εξαψήφιο, ... $n$ ψήφιο αριθμό;
Αιτιολογήστε τα συμπεράσματά σας;
Bασικά και τον μεγαλύτερο από τον μικρότερο να αφαιρέσουμε ...πάντα σε $0mod 9$ καταλήγουμε... :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήMια απόδειξη "χωρίς λόγια" :-)
ΑπάντησηΔιαγραφή$\begin{pmatrix}
. . . . & 100000 & 10000 & 1000 & 100 & 10 & 1\\
- & 1 & 10 & 100 & 1000 & 10000 & 100000\\
. . . . & 99999 & 9990 & 900 & -900 & -9990 & -99999
\end{pmatrix} $
Καλησπέρα. Εδώ μαθητής Α Λυκείου. Έστω λοιπόν διψήφιος αριθμός αβ= 10α + β και ο αντίστροφός του τον οποίο αφαιρούμε βα= 10β + α . Ισχύει λοιπόν κάθε φορά: αβ - βα <=> 10α + β - (10β + α) <=>
ΑπάντησηΔιαγραφή10α + β - 10β - α <=>
9α - 9β <=>
9(α-β). Ο αριθμός 9 είναι σύνθετος, οπότε και κάθε πολλαπλάσιό του, δηλαδή για κάθε α-β, δεν θα είναι ποτέ πρώτος αριθμός.
Στην περίπτωση που έχουμε τριψήφιο αριθμό αβγ = 100α + 10β + γ & τον αντίστροφό του γβα = 100γ + 10β + γ , τότε έχουμε:
αβγ - γβα <=>
100α + 10β + γ -100γ -10β -α <=>
99α - 99γ <=>
99(α-γ) = 9*11*(α-γ). Οπότε πάλι, το 9 σύνθετος, οπότε κάθε πολλαπλάσιό του, στην περίπτωση αυτή κάθε 11(α-γ), ποτέ δεν θα είναι πρώτος αριθμός.
Για τετραψήφιο αριθμό, η διαφορά των δύο αριθμών θα είναι μετά από πράξεις με την ίδια λογική με τα από πάνω:
999α +90β -90γ -999δ <=>
999(α-δ) + 90(β-γ) Το 999 είναι σύνθετος, άρα το 999(α-δ) είναι πάντα σύνθετο, το 90 είναι σύνθετος, άρα και το 90(β-γ) είναι πάντα σύνθετο, οπότε και το άθροισμά τους θα είναι πάντα σύνθετο.
Τώρα γενικεύοντας λίγο, μπορεί λόγω επιπέδου να μην μπορώ να διαχειριστώ μια πιθανόν διαδικασία σαν τις αποπάνω για ν όρους, ωστόσο μπορώ να πω πως εφόσον για άρτιο αριθμό ψηφίων ισχύει, όπως και για περιττό το ίδιο, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ισχύει για κάθε αριθμό που ανήκει στο Ν. Σε κάθε περίπτωση, το αποτελέσμα θα είναι η διαφορά του πρώτου από του τελευταίου ψηφίου επί 9 ή 99 ή 999 ή 9999.... ανάλογα τα ψηφία του αριθμού, το οποίο πάντα θα είναι σύνθετο συν κάτι άλλο, το οποίο όμως σε κάθε περίπτωση είναι πολλαπλάσιου σύνθετου αριθμού. Συγνώμη για την απειρία, θα εκτιμούσα αν κάποιος με διαφώτιζε στην γενίκευση.
Γιάννης Τσικριτζάκης - 1ο Λύκειο Ιεράπετρας