Του Μπονάτσι γιος

Θυμίζω πως η γνωστή ,και παινεμένη άμα τε και ξακουστή, ακολουθία αριθμών Φιμπονάτσι (Fibonacci) ορίζεται αναδρομικά ως:

$F_1=1$ , $F_2=1$ 

και

$F_{\nu +1}=F_{\nu }+F_{\nu -1}\mathrm{\forall }\nu \ge 2$

$\alpha )$ Ποιος είναι  ο μικρότερος θετικός ακέραιος $\nu$ για τον οποίο ο $F_{\nu }$ τελειώνει σε $5$ μηδενικά;

$\beta )$ Αποδείξτε πως δυο τυχαίοι διαδοχικοί αριθμοί Φιμπονάτσι είναι μεταξύ τους πρώτοι. Δηλαδή δεν έχουν κοινούς παράγοντες, ή αλλιώς, ο Μ.Κ.Δ των $F_{\nu }$ και $F_{\nu +1}$ είναι το $1$.