Τρίτη 17 Δεκεμβρίου 2013

Γεωμετρικός τόπος

Έστω ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\overset{\triangle}{ABC}$ και το σημείο $D$ που κινείται στην υποτείνουσά του $BC$. Η κάθετος στην $BC$ στο $D$ τέμνει τις $AB\;,\;AC$ στα $E\;,\;Z$ αντίστοιχα. 
ask227.png
Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των $\overset{\triangle}{DZC}\;,\;\overset{\triangle}{AEZ}$ τέμνονται και στο $M$. 
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του M.
Αναρτήθηκε από στις 17.12.13
Ετικέτες , , ,

1 σχόλιο:

  1. Κουνελοϊός10 Ιανουαρίου 2014 στις 1:25 π.μ.

    Αν F το μέσο της BC, τότε διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
    Έστω ότι το D βρίσκεται μεταξύ των B και F. Τότε το τετράπλευρο AEMZ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, άρα γωνία EMZ=π-(γωνία EAZ)=π-π/2=π/2. Ομοίως το τετράπλευρο CDMZ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, άρα γωνία CMZ=γωνία CDZ=π/2. Επομένως τα σημεία C,E,M είναι συνευθειακά και η CM είναι κάθετη στην MZ. Στο τρίγωνο BCZ το E είναι ορθόκεντρο, οπότε η CM είναι κάθετη στη BZ. Άρα τα σημεία B,M,Z είναι συνευθειακά και γωνία BMC=π/2.
    Αν το D συμπίπτει με το F, τότε τα E και Z ταυτίζονται με το A και το τρίγωνο AEZ εκφυλίζεται στο σημείο αυτό, πράγμα το οποίο δεν είναι αποδεκτό. Στην περίπτωση αυτή και το M συμπίπτει με το A.
    Αν το D βρίσκεται μεταξύ των F και C, τότε για τον ίδιο λόγο όπως και παραπάνω στο τετράπλευρο AEMZ θα είναι γωνία EMZ=π/2. Το τετράπλευρο CDZM είναι επίσης εγγεγραμμένο σε κύκλο, άρα γωνία CMZ=π-(γωνία CDZ)=π-π/2=π/2. Επομένως και εδώ τα σημεία C,M,E είναι συνευθειακά και η MZ είναι κάθετη στη CE. Και πάλι το E είναι ορθόκεντρο του τριγώνου BCZ. Άρα η BZ είναι κάθετη στη CE, οπότε τα B,Z,M είναι συνευθειακά και ξανά γωνία BMC=π/2. Το συμπέρασμα είναι ότι το M ανήκει στο ημικύκλιο εκείνο με άκρα B,C το οποίο διέρχεται από το A, με εξαίρεση τα τρία αυτά σημεία.
    Αντιστρόφως, έστω M σημείο του ημικυκλίου με άκρα B,C το οποίο διέρχεται από το A, εκτός των τριών αυτών σημείων. Διακρίνουμε και πάλι περιπτώσεις:
    Αν το M είναι σημείο του τόξου AB, τότε γωνία BMC=π/2. Έστω ότι οι AB και CM τέμνονται στο E και η προέκταση της BM τέμνει την αντίστοιχη της AC στο Z. Έστω ακόμα ότι η προέκταση της EZ τέμνει τη BC στο D. Στο τρίγωνο BCZ το E είναι ορθόκεντρο, οπότε η DZ είναι κάθετη στη BC. Στο τετράπλευρο AEMZ είναι (γωνία EAZ)+(γωνία EMZ)=π/2+π/2=π, οπότε αυτό είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Δηλαδή το M ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου AEZ. Ομοίως, στο τετράπλευρο CDMZ είναι γωνία CDZ=γωνία CMZ=π/2, οπότε και αυτό είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Επομένως το M ανήκει και στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου CDZ.
    Αν το M είναι σημείο του τόξου AC, τότε και πάλι γωνία BMC=π/2. Έστω ότι οι προεκτάσεις των AB,CM τέμνονται στο E, οι AC,BM στο Z και η BC με την προέκταση της EZ στο D. Όπως και προηγουμένως, το E είναι ορθόκεντρο στο τρίγωνο BCZ και η DE είναι κάθετη στη BC. Ακριβώς όπως και πριν, το τετράπλευρο AEMZ είναι εγγράψιμο σε κύκλο, δηλαδή το M ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου AEZ. Τέλος, στο τετράπλευρο CDZM είναι (γωνία CDZ)+(γωνία CMZ)=π/2+π/2=π, οπότε και αυτό είναι εγγράψιμο σε κύκλο και το M είναι σημείο και του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου CDZ.
    Ουουουουφ!!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)