Πέμπτη 5 Δεκεμβρίου 2013

Aποστάσεις πάνω στη Γη

"Ο Ευκλείδης λέει πως από ένα σημείο εκτός ευθείας περνάει μόνο μία παράλληλη. Ο Λομπατσέφσκυ λέει πως περνάνε άπειρες. Εγώ λέω πως δεν περνάει καμία."
Μπέρνχαρτ Ρήμαν
Aν κοιτάξουμε έναν παγκόσμιο χάρτη, βλέπουμε πως η Βαρκελώνη βρίσκεται περίπου στις 2°E,41°N (2 μοίρες Ανατολικά,41 μοίρες Βόρεια) και το Τόκιο στις 140°E,36°N. Να βρεθεί το μήκος, έστω d, της ελάχιστης απόστασης μεταξύ των δύο πόλεων. 

2 σχόλια:

  1. Yπόδειξη: Η ελάχιστη απόσταση/συντομότερη οδός μεταξύ δύο σημείων μιας σφαίρας που δεν είναι αντιδιαμετρικά είναι μοναδική και αντιστοιχεί στην "γεωδαιτική" γραμμή. Αν τα σημεία είναι αντιδιαμετρικά υπάρχουν άπειρες γεωδαιτικές που τα συνδέουν, που αντιστοιχούν στους μέγιστους κύκλους της σφαίρας.
    Θεωρήστε το σφαιρικό τρίγωνο που σχηματίζουν οι πόλεις και ο Βόρειος πόλος ,έστω D. Θεωρήστε δηλαδή ένα τρίγωνο με κορυφές: Α (Βαρκελώνη), Β(Τόκιο), D(Βόρειος Πόλος) και πλευρές ΑΒ=d , ΑD=a, και DΒ=b ,και προσπαθήστε να βρείτε το d. Δίνεται η ακτίνα της Γης: 6350 χιλιόμετρα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Τα γνωστά από την Ευκλείδεια γεωμετρία θεωρήματα του ημιτόνου και του συνημιτόνου ισχύουν -σε τροποποιημένη μορφή- και στη σφαιρική.
    sinα/sinA=sinβ/sinB=sinγ/sinΓ και (στην περίπτωσή μας)
    cosd=cosa*cosb+sina*sinb*cosD
    (η σχέση επαληθεύεται και στις κυκλικές μεταθέσεις μεταξύ a,b και d)
    Για εποπτικό σχήμα δείτε και εδώ: http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_law_of_cosines
    Eκφράστε τις πλευρές a,b θεωρώντας τον ισημερινό σαν άξονα/αρχή των τετμημένων . Στην περίπτωση της γωνίας D,πάρτε σαν αναφορά τον μεσημβρινό του Γκρίνουιτς...

    ΑπάντησηΔιαγραφή