"To μυαλό του ανθρώπου λειτουργεί περισσότερο με τη διαίσθηση παρά με τη λογική ,και κατανοεί περισσότερα απ' αυτά που μπορεί να βάλει σε τάξη"
Luc de Clapiers (Vaunenargues)
Ο ψιθυριστής ψιθυρίζει στο αυτί του Αντώνη έναν τυχαίο φυσικό αριθμό ν. Στο αυτί του Βασίλη ψιθυρίζει τον αριθμό ν+1. Και ο Αντώνης και ο Βασίλης ,πέραν του αριθμού που ακούει ο καθένας ,ενημερώνονται από τον ψιθυριστή ότι έχουν διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς, αλλά δεν γνωρίζουν αν ο αριθμός τους είναι ο προηγούμενος ή ο επόμενος. Ο ψιθυριστής ξεκινάει την εξής διαδικασία:
Ρωτάει τον Αντώνη αν γνωρίζει τον αριθμό του Βασίλη. O Αντώνης απαντά "Όχι". Μετά ρωτάει το Βασίλη αν γνωρίζει τον αριθμό του Αντώνη. Ο Βασίλης απαντά "Όχι". Μετά ξαναρωτάει τον Α αν γνωρίζει τον αριθμό του Β. Μετά ξαναρωτάει τον Β...και συνεχίζει την ίδια επαναληπτική ερώτηση εναλλάξ. Ο Α και ο Β ακούνε όλες τις ερωτήσεις και τις απαντήσεις. Με την προϋπόθεση ότι οι Α(ντώνης) και Β(ασίλης) είναι πολύ έξυπνοι και λογικοί, θα ακούσει κάποια στιγμή ο ψιθυριστής μια απάντηση "Ναι!"; Αν ναι, ποιος από τους Α και Β θα απαντήσει πρώτος "Ναι!" και πόσα "Όχι" θα έχει πει ως τότε;
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠαραλλαγή:
ΑπάντησηΔιαγραφήΣου λένε τον αριθμό του άλλου και ψάχνεις τον δικό σου.
Στον Α λένε:
O Β έχει τον ν+1, εσύ έχεις ή τον ν ή τον ν+2
Ξέρεις ποιον έχεις;
Στον B λένε:
O A έχει τον ν, εσύ έχεις ή τον ν-1 ή τον ν+1
Ξέρεις ποιον έχεις;
κλπ.
....Σε αυτό απάνταγα.
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΥπάρχει copyright σε λύση;
ΑπάντησηΔιαγραφήΔηλαδή δημιουργία και χρήση μεθόδου, μεθόδου τέτοιας που να μπορεί να εφαρμοστεί σε όλα τα αντίστοιχα προβλήματα.
Και πού να τρέχουμε (ή μάλλον ανατρέχουμε) κύριε Κωτσιόπουλε, να βρίσκουμε ποιος έχει το κοπυράιτ της Επαγωγής; :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΠαρεμπιπτόντως, ωραία η παραλλαγή που προτείνατε!
Δεν μιλάω για το copyright της Επαγωγής.
ΑπάντησηΔιαγραφήΜιλάω για αξιοποίηση στοιχείων και μετά Επαγωγή.
Ομολογώ πως δεν καταλαβαίνω απόλυτα τι εννοείς. Αν εννοείς τον τρόπο που οδηγούμαστε στη λύση , με την έννοια της γενίκευσης μέσω της περπτωσιολογίας, ασφαλώς και η γενίκευση για τα ανα περίσταση ν, συνιστά μια "μέθοδο", αλλά δεν αντιλαμβάνομαι τι είδους κοπυράιτ (και από ποιον;) μπορεί να υπάρχει.
ΔιαγραφήΕννοώ τύπος που αποδεικνύεται επαγωγικά.
ΔιαγραφήΚοπυράιτ με τη γενική έννοια. Το δημοσιεύω δηλαδή χωρίς αναφορά σε πηγή.
Εαν εσύ πχ,. δημοσίευες εδώ μόνο δικά σου πράγματα, θα δημοσίευες την παραλλαγή που έφτιαξα;
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΔιαγραφήΟ κάθε παίχτης όταν απαντά σε ερώτηση έχει έναν αριθμό πληροφοριών.
ΔιαγραφήΗ πρώτη πληροφορία που έχει είναι ένας αριθμός.
Oι επόμενες είναι τα όχι. Κάθε όχι είναι και μια πληροφορία.
Όταν οι πληροφορίες συνολικά είναι ίσες ή περισσότερες (μπορεί να συμβεί) από τον αριθμό που γνωρίζει θα βρει τον ζητούμενο αριθμό.
Αυτός, στον οποίο ο αριθμός που του γνωστοποιούν είναι μικρότερος, έχει πλεονέκτημα γιατί του λείπουν λιγότερες πληροφορίες.
Εάν ο Α έχει το 5 έχει μια πληροφορία για το 5 και χρειάζεται τέσσερα όχι για να πει ναι ( 6). Το τέταρτο όμως πέφτει στον Β οπότε θα πει ναι στο 5ο. Τα ίδια όχι θα ακουστούν και εάν ο Α είχε το 6.(γνωστός αριθμός το 6 χρειάζονται 6 πληροφορίες άρα 5 συνολικά όχι)
Στην παραλλαγή που έφτιαξα, το πλεονέκτημα το έχει ο Β, γιατί ο αριθμός που του γνωστοποιήθηκε είναι μικρότερος, επομένως χρειάζεται λιγότερες πληροφορίες (όχι).
Η λύση της "Πηγής" (θέμα 10.):
ΑπάντησηΔιαγραφήhttp://web.mit.edu/hmmt/www/february/datafiles/solutions/2000/advtopicsans.pdf
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΔιαγραφήΟ αριθμός των "Όχι" που θα πει ο νικητής (που είναι ο έχων τον μικρότερο αριθμό) στην περίπτωσή μας ο Α, είναι (ν-1)/2 αν ο ν είναι περιττός, και ν/2 αν ο ν=άρτιος. Αμέσως μετά,στη σιρά του, είναι σε θέση να πει "Ναι" γιατί γνωρίζει (βάσει της επαγωγικής λογικής) ότι ο Β έχει αριθμό κατά μία μονάδα μεγαλύτερο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠ.χ Για ν=2 : ο Α λέει "Ο" ,ο Β λέει "Ο", οπότε ο Α ξέρει ότι ο Β δεν μπορεί να έχει το 1 ,αλλά το 3, άρα απαντάει "Ναί" ,...Για ν=3, ο Α λεει Ο, ο Β "Ο", ο Α "Ο", ο Β "Ο",ο Α λέει Ναί ,κ.λ.π...
Προφανώς το προηγούμενο σχόλιό μου ερμηνεύτηκε από το φίλο Γιώργο ως τουλάχιστον δείγμα μειωμένης καλής πίστης απέναντί του, πράγμα που δεν ήταν σε καμιά περίπτωση πρόθεσή μου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΘεωρώ ότι κανένας από όσους συναντιόμαστε και ανταλλάσσουμε σχόλια, σκέψεις, προτάσεις και λύσεις σε αυτόν το χώρο δεν πρέπει να έρχεται εδώ για να αποδείξει ή να επιβάλει την ανωτερότητα της ευφυίας και το αλάθητό του.
Και όταν έχουμε διαφορές ή διαφωνίες, νομίζω ότι η ισχύς των μαθηματικών επιχειρημάτων πρέπει να είναι αρκετή για να τις λύνουμε. Οι κομπορρημοσύνες και οι επικλήσεις στην αυθεντία οποιουδήποτε περισσεύουν.
Κατόπιν αυτών και όσο με αφορά, αγαπητέ Γιώργο, αποσύρω τα προηγούμενα σχόλιά μου στην ανάρτηση και ζητώ συγγνώμη αν κάποιες εκφράσεις τους υπήρξαν ατυχείς ή άδικες για σένα.
Θα προσπαθήσω να δώσω την προσέγγιση μου στο θέμα
ΑπάντησηΔιαγραφήκαι ίσως συμβάλλω στο να φωτιστεί κάπως το πρόβλημα,
που είναι γενικό πρόβλημα συνδυαστικής σκέψης και κοινής
λογικής. Σε αυτή την κατηγορία προβλημάτων οι παίχτες
γνωρίζουν ο καθένας τον αριθμό του και:
-Μία μαθηματική σχέση μεταξύ των αριθμών, σε αυτό το πρόβλημα “έχουν διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς, αλλά δεν γνωρίζουν αν ο αριθμός τους είναι ο προηγούμενος ή ο επόμενος.” Δηλαδή ο Α έχοντας τον ν φυσικό αριθμό ο Β θα έχει ή (ν-1) ή (ν+1), ο Β έχοντας τον (ν+1) φυσικό αριθμό ο Α θα έχει ή τον ν ή τον (ν+2). Θα μπορούσε να γνωρίζουν το άθροισμα των αριθμών π.χ. 2ν ή (2ν+2) κλπ.
-Οι αριθμοί έχουν κατώτατο ή ανώτατο όριο, και από αυτό
το κατώτατο ή ανώτατο αρχίζουν και “οικοδομούν” την
συλλογιστική τους. Εδώ κατώτατο είναι το 1
“ενημερώνονται από τον ψιθυριστή ότι έχουν διαδοχικούς
ΦΥΣΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ” Θα μπορούσε να έλεγε ότι οι αριθμοί
τους δεν είναι μικρότεροι του κ ή δεν είναι μεγαλύτεροι του λ.
-Και οι δύο ή όσοι παίχτες είναι “πολύ έξυπνοι και λογικοί”, ο καθένας “διαβάζει” και ερμηνεύει σωστά τη θέση και σκέψη του άλλου.
-Μπορεί κατ' εξαίρεση να υπάρχει και επί πλέον δεδομένο,
όπως εδώ, “Ο Α και ο Β ακούνε όλες τις ερωτήσεις και τις
απαντήσεις.” Αυτό δίνει μία επιπλέον πληροφορία, όπως θα
δούμε παρακάτω, στους παίχτες. Με αυτήν την πληροφορία
για να Απαντήσει ο Α “Ναι!” τα απαιτούμενα Όχι (καθενός)
είναι ν/2 (ν=2λ) ή (ν-1)/2 (ν=2λ+1).
Αν δεν άκουγαν τις απαντήσεις του άλλου (ήταν σε διαφορετικά και ηχομονωμένα δωμάτια) πάλι ο Α, που έχει τον μικρότερο αριθμό λέει πρώτος “Ναί” αλλά, τα απαιτούμενα “Όχι” είναι (ν-1) για τον καθένα.
-Αντίστοιχα αν υπήρχε ανώτατο όριο θα έβρισκε 1ος τον αριθμό
ο έχων τον μεγαλύτερο αριθμό.
Ας το δούμε αναλυτικά
1ος κύκλος ερωτήσεων-απαντήσεων
-Αν ο Α έχει 1 και μόνο 1 λέει "Ναί", δεν έχει λέει “Οχι”
-Ο Β που το Ακούει καταλαβαίνει και μαζί με αυτόν και εμείς ότι ο Α δεν έχει 1, άρα αν έχει είτε 1 είτε 2 καταλαβαίνει ότι ο Α έχει 2 ή 3(δύο-δύο τα “σκαλοπάτια” από εδώ και παραπάνω) θα πει “Ναί” δεν έχει όμως και δεν θα μπορούσε να έχει (αφού ο Α δεν έχει 1) και λέει “Οχι”
2ος κύκλος ερωτήσεων-απαντήσεων
Ο Α που ακούει καταλαβαίνει ότι ο Β δεν έχει 1 αλλά ούτεκαι 2, άρα αν έχει 2 λέει “Ναί, ο Β έχει 3” (1 “Οχι”=2/2=1, αλλά και αν έχει 3 λέει επίσης “Ναί, ο Β έχει 4” (1 “Ο”=(3-1)/2=1)
(Εδώ να παρατηρήσω ότι το:
“Για ν=3, ο Α λεει Ο, ο Β "Ο", ο Α "Ο", ο Β "Ο",ο Α λέει Ναί”
του σχολίου του Γ. Ριζόπουλου είναι, εκ παραδρομής προφανώς,
λάθος (ν=3 2“Ο” ο Α, 2 “Ο” ο Β?, ΆΡΑ (ν-1) “Ο”?
Το σωστό είναι: Για ν=3, ο Α λέει “Ο”, ο Β "Ο", ο Α λέει Ναί)
Ο Α δεν έχει ούτε 2 ούτε 3 λέει “Όχι”, ο Β ακούγοντας το Όχι του Α καταλαβαίνει ότι δεν έχει ούτε 2 ούτε 3, άρα αν έχει 3 ή 4 απαντά “Ναί, ο Α έχει 4 ή 5” αντίστοιχα.
Δεν έχει όμως και δεν μπορεί να έχει και απαντά ““Όχι”
3ος κύκλος ερωτήσεων-απαντήσεων
Ο Α γνωρίζοντας ότι ο Β δεν έχει ούτε 3 ούτε 4αν έχει 4 ή 5 απαντά “Ναί”, ο Β έχει 5 ή 6 αντίστοιχα.
Άρα για ν=4 (2 “Οχι”, ν/2=4/2=2)
για ν=5 [ 2 “Οχι”, (ν-1)/2=(5-1)/2=2]
Δεν έχει 4 ή 5 απαντά “Οχι” κ.ο. kαθεξής....
μέχρι να φτάσουμε στον αριθμό ν του Α, που του ανακοινώθηκε
ψιθυριστά, οπότε λέει “Ναί, ο Β έχει τον (ν+1)” και τα απαιτούμενα “Oxι” είναι ν/2 για ν άρτιο, (ν-1)/2 για ν περιττό αριθμό όπως ακριβώς αναφέρει ο Γ. Ριζόπουλος και συμφωνεί μαζί του εκτός από τοHARVARD-MIT και o γράφων! :-)
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΥ
ΑπάντησηΔιαγραφήΘα εξετάσω το ίδιο πρόβλημα, αλλά ο Α να μην ακούει την
απάντηση του Β και ο Β να μην ακούει την απάντηση του Α
(ας πούμε ότι βρίσκονται σε διαφορετικά δωμάτια)
Ο ψιθυριστής ψιθυρίζει στον Α τον φυσικό αριθμό ν και στον Β τον ν+1, τους ενημερώνει ότι έχουν διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς, αλλά δεν γνωρίζουν αν ο αριθμός τους είναι ο προηγούμενος ή ο επόμενος και τους δηλώνει ότι σε τακτά
χρονικά διαστήματα θα τους επισκέπτεται διαδοχικά στα δωμάτια τους πρώτα τον Α και μετά τον Β, ας πούμε κάθε μία ώρα, (τον Β μετά από μερικά δευτερόλεπτα) αρχής γενομένης
από αύριο στις 8:00 p.m (9:00 p.m, 10:00 p.m,..) και θα ρωτάω
στον καθένα το ίδιο πράγμα:
“Γνωρίζεις τον αριθμό του άλλου”?
Οι επισκέψεις μου θα διαρκέσουν μέχρι και την ημέρα που κάποιος από εσάς να μου απαντήσει “Ναί”.
Θα μπορέσει κάποια στιγμή κάποιος ή και οι 2 να βρουν τον
αριθμό του άλλου και μετά από πόσα “Όχι” ο καθένας?
1η επίσκεψη στον Α (8:00 ). Ο Α μόνο αν είχε το 1
θα απαντούσε “Ναί” δεν έχει 1 απαντάει “Όχι”.
1η επίσκεψη στον Β (8:00+sec). O B δεν άκουσε την
απάντηση του Α, δεν μπορεί να συμπεράνει αν ο Α είχε το 1
και μόνο αν έχει ο ίδιος το 1 θα απαντήσει “Ναί”.
Δεν έχει το 1 και απαντάει “Όχι”
2η επίσκεψη στον Α (9:00). Ο Α δεν γνωρίζει μεν την
απάντηση του Β αλλά την συμπεραίνει ότι είναι “Όχι”, αφού
ο Ψιθυριστής τον επισκέφτηκε, άρα ο Β δεν έχει 1.
Ο Α μόνο αν έχει το 2 θα απαντήσει “Ναί”, δεν το έχει και
απαντά “Όχι”.
2η επίσκεψη στον Β (9:00+sec). O B δεν άκουσε την
απάντηση του Α, δεν μπορεί να συμπεράνει αν ο Α είχε το 2
και μόνο αν έχει ο ίδιος το 2 θα απαντήσει “Ναί”.
Δεν έχει το 2 και απαντάει “Όχι”
Ομοίως στην 3η,4η,...9η επίσκεψη στον καθένα,
αποκλείουν το 3,4,..,9.
10η επίσκεψη στον Α (17:00).
Ο Α, αφού τον επισκέφτηκε ο Ψιθυριστής καταλαβαίνει ότι
ο Β απάντησε στην 9η επίσκεψη “Όχι”, άρα δεν έχει το 9
και συνεπώς έχοντας το 10 απαντάει “Ναί” ο Β έχει το 11
(μετά από 9 ΟΧΙ)
10η επίσκεψη στον B (17:00+sec).
O Β έχοντας το 11 και μη γνωρίζοντας την απάντηση του Α
σκέφτεται ότι ο Α έχει ή 10 ή 12, άρα δεν γνωρίζει και απαντά
“Όχι” (10ο “ΟΧΙ”)
Μετά από μία ώρα και κάτι (18:00+sec) και μετέπειτα ο Β, καθώς ο Ψιθυριστής δεν τον επισκέπτεται στο δωμάτιο του, καταλαβαίνει ότι ο Α στην 10η επίσκεψη απάντησε “Ναί”, άρα ο Α έχει το 10, φωνάζει τον Ψιθυριστή και το ανακοινώνει (μετά από 10 Οχι)
Και γενικά για ν και ν+1 ο Α το βρίσκει την ν-οστή φορά μετά από (ν-1) Όχι και ο Β το βρίσκει την (ν+1)-οστή φορά μετά από
ν Όχι