Ένα πρόβλημα διάδοσης κουτσομπολιών

Σε μια πόλη με $n+1$ άτομα τo σπίτι του προέδρου της πόλης βρίσκεται στο κέντρο $n$ ομόκεντρων κύκλων. Υπάρχουν $n$ το πλήθος κύκλοι και σε κάθε κύκλο ένα ακριβώς σπίτι πολίτη της πόλης. 

Eνα πρωϊ ο πρόεδρος μαθαίνει ένα κουτσομπολιό και αποφασίζει τυχαία να διαλέξει έναν άλλο πολίτη της πόλης για να του πει το κουτσομπολιό. Η πιθανότητα είναι αντιστρόφως ανάλογη της ακτίνας του κύκλου έτσι ώστε $p_1+...+p_{n+1}=1$, με $p_1>...>p_{n+1}$. Ποια είναι η πιθανότητα ο πιο απομακρυσμένος πολίτης από το κέντρο να μάθει το νέο ύστερα από $k$ διαδόσεις.

Πηγή: diadiktyomathphys