Δύο παίκτες $Α$ και $Β$ παίζουν ένα παιχνίδι ρίχνοντας δύο ζάρια. Ο $Α$ κερδίζει αν φέρει άθροισμα $6$ και ο $Β$ αν φέρει άθροισμα $7$.
Πρώτα παίζει ο $Α$ μία φορά μετά ο $Β$ δύο φορές και εναλλάσσουν ρίχνοντας δύο φορές ο καθένας μέχρι να κερδίσει ο ένας από τους δύο. Ποια η πιθανότητα για τους $Α$ και $Β$ να κερδίσουν;
(Huygens, 1657)
Έστω πως η πιθανότητα να φέρνει ο Α άθροισμα 6 είναι pA . pA=5/36 γιατί υπάρχουν 5 διακριτοί τρόποι δύο ζάρια να φέρουν 6. Ομοίως ,έστω, pB= πιθανότητα του Β για Σ=7 . pB=6/36 (6 τρόποι για άθρ.=7 με δύο ζάρια)
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια να κερδίσει ο Α στην 1η προσπάθεια –ας συμβολίσουμε Ν τη «νίκη» (δηλαδή να φέρνουν άθροισμα 6 ή 7 οι Α και
Β αντίστοιχα) για τους Α και Β, και Α την «Αποτυχία»- θα πρέπει η ακολουθία να είναι: N-τέλος.
Στη 2η προσπάθεια: A,AA,Ν (νικάει ο Α) ή Α,ΑΑ,ΑΝ (νικάει ο Β).
Στην 3η προσπάθεια: A, AA, AA, AA, N (νικάει ο Α) ή Α, ΑΑ, ΑΑ, ΑΑ, ΑΝ (νικάει ο Β) και ουτοκαθεξής…
Έτσι, η πιθανότητα να κερδίσει ο Α είναι:
P(κερδίζει ο Α)=pA+pA(1-pA)(1-pB)^2 + pA(1-pA)^2 (1-pB)^2 + pA(1-pA)^3 (1-pB)^4 + pA(1-pA)^4 (1-pB)^4 + ... =
pA[1 + (1-pA)(1-pB)^2 + (1-pA)^2 (1-pB)^2 + ...]
Χάριν ευκολίας/εποπτείας ,θέτω x=(1-pA) και y=(1-pB) η σειρά γίνεται:
1 + xy^2 + x^2 y^2 + x^3 y^4 + x^4 y^4 + x^5 y^6 + ....
= (1 + xy^2) + x^2y^2 (1 + xy^2) + x ^4 y^4 (1 + xy^2) + ...
= (1+xy^2)/(1 - x^2 y^2)
Άρα, P(κερδίζει ο Α)= pΑ[1+(1-pΑ)(1-pB)^2] / [1-(1-pA)^2(1-pB)^2]
Aρα, -αντικαθιστώντας με τα 5/36 και 6/36 - έχουμε:
P(κερδίζει ο Α)= 10355/22631 = περίπου 45,76%
P(κερδίζει ο Β)=1-P(κερδίζει ο Α)= 12276/22631 =(1-0,4576)*100 % :-)
Να προσθέσω κάποια ιστορικά στοιχεία, διευκρινίζοντας ταυτόχρονα πως η λύση στο αποπάνω σχόλιο, δεν είναι αυτή του Χόιχενς. Το πρόβλημα αυτό, το έστειλε ο Φερμά στον Χόιχενς ,με επιστολή του το 1656. Ο Χόιχενς το έλυσε και έστειλε τη λύση σε επιστολή της 6ης Ιουλίου 1656 στον Καρκαβί (Carcavi)
ΑπάντησηΔιαγραφήΔεν έχω την πρωτότυπη λύση του Χόιχενς, αν κάποιος την έχει θα είχε ενδιαφέρον να δούμε πώς αντιμετώπισε το θέμα ο Ολλανδός, όχι βέβαια επί της ουσίας ,αλλά πώς σούμαρε την απειροσειρά. (δύο ουσιαστικά υπο-απειροσειρές, μία στην οποία οι εκθέτες των 1-pA kai 1-pB διαφέρουν κατά 1 μονάδα ,και μια δεύτερη στην οποία οι εκθέτες είναι οι ίδιοι)
Πιθανότατα δηλαδή , ο τρόπος του Χόιχενς ήταν:
P(νικη του Α)= pA+ pA((1-pA)pB^2 +(1-pA)^2 *(1-pB)^2) *Σ(ν=0 ως άπειρο)(1-pA)(1-pB)^2ν
Να προσθέσω, σα γενική πληροφορία, πως ο Χόιχενς ήταν ένας πραγματικός κολοσσός της επιστήμης (Μαθηματικός, Φυσικός, Μηχανικός) μάλλον ο σημαντικότερος επιστήμονας της εποχής έως τον Νεύτωνα. O ίδιος ο Νεύτων, ο οποίος είχε γενικά μια "δυσανεξία" στο να ποραδέχεται τις ικανότητες άλλων, είχε σε μεγάλη εκτίμηση και έτρεφε βαθύ σεβασμό για τον Χόιχενς.
Που 'σαι Θανάση; Ο γρίφος σου!
ΑπάντησηΔιαγραφή