Τρεις παίκτες $Α,Β,Γ$ παίζουν το παρακάτω παιχνίδι. Σε ένα δοχείο είναι $12$ σφαιρίδια από τα οποία $4$ είναι λευκά και $8$ μαύρα. Παίρνουν κατά σειρά από ένα σφαιρίδιο και νικητής είναι αυτός που θα πάρει πρώτος λευκό σφαιρίδιο. Ποια είναι η πιθανότητα για τους $Α,Β,Γ$ να κερδίσουν;
(Huygens, 1657)
Δεν αναφέρει αν είναι με ή χωρίς επανάθεση του μαύρου
ΑπάντησηΔιαγραφήσφαιριδίου, αν πάρουν λευκό δεν έχει νόημα η επανάθεση ή όχι,
τελειώνει το παιχνίδι.
Το εξετάζω χωρίς επανάθεση των σφαιριδίων που παίρνουν
Αντίστοιχα αν είναι με επανάθεση,
όμως Π(Μ,Α)=Π(Μ,Β)=Π(Μ,Γ)=8/12
και σε κάθε κύκλο
1ος κύκλος
-O A έχει Πιθανότητα 4/12 να πάρει Λ(ευκό) σφαιρίδιο,
έστω ότι πήρε Μ(αύρο), μένουν 4Λ 7 Μ, Σύνολο 11)
-O B έχει Πιθανότητα 4/11*8/12 για Λ
(Π(Λ) να πάρει Λ * Π(Μ,Α) ο Α να πήρε Μ),
έστω ότι πήρε μαύρο μένουν 4Λ 6Μ, Συνολο 10
-O Γ έχει πιθανότητα 4/10*8/12*7/11 για Λ,
(Π(Λ) να πάρει Λ *Π(Μ,Α) ο Α να πήρε Μ *Π(Μ,Β) ο Β να πήρε Μ)
έστω ότι πήρε μαύρο μένουν 4Λ 5Μ, Σύνολο 9
2ος κύκλος
-Ο Α: 4/9*(8/12*7/11*6/10),
έστω ότι πήρε μαύρο μένουν 4Λ 4Μ, 8Σ
-Ο Β: 4/8*(8/12*7/11*6/10*5/9),
έστω ότι πήρε μαύρο μένουν 4Λ 3Μ, 7Σ
-Ο Γ: 4/7*(8/12*7/11*6/10*5/9*4/8),
έστω ότι πήρε μαύρο μένουν 4Λ 2Μ, 6Σ
3ος κύκλος
-Ο Α: 4/6*(8/12*7/11*6/10*5/9*4/8*3/7),
έστω ότι πήρε μαύρο μένουν 4Λ 1Μ, 5Σ
-Ο Β: 4/5*(8/12*7/11*6/10*5/9*4/8*3/7*2/6),
έστω ότι πήρε μαύρο μένουν 4Λ 0Μ, 4Σ
-Ο Γ: 4/4*(8/12*7/11*6/10*5/9*4/8*3/7*2/6*1/5),
παίρνει σίγουρα λευκό και σταματάει το παιχνίδι
Άρα έχουν αθροιστικά πιθανότητα:
O A: 4/12+4/9*8/12*7/11*6/10+
4/6*8/12*7/11*6/10*5/9*4/8*3/7 = 7/15
O B: 4/11*8/12+ 4/8*8/12*7/11*6/10*5/9+
4/5*8/12*7/11*6/10*5/9*4/8*3/7*2/6 = 53/165
O Γ: 4/10*8/12*7/11+ 4/7*8/12*7/11*6/10*5/9*4/8+
4/4* 8/12*7/11*6/10*5/9*4/8*3/7*2/6*1/5 = 7/33
Άρα
Π(Α)=(7/15)/(7/15+53/165+7/33=1) = 0.4666666....
Π(Β)=53/165 =0.3212121212....
Π(Γ)=7/33= 0.2112121212....