Δύο ομάδες παίζουν μπάλα και κερδίζει η ομάδα που θα σημειώσει πρώτη 60 σημεία. Βάζουν στοίχημα από 22 ducats. Σε κάποια στιγμή αναγκάζονται να σταματήσουν το παιχνίδι και η μία ομάδα έχει 50 σημεία και η άλλη 30. Πως πρέπει να μοιραστούν το βραβείο; (Κάθε ομάδα έχει πιθανότητα $\frac{1}{2}$ να σημειώσει ένα σημείο.)
(Luca di Borgo ή Paccioli 1494)
Ιστορικό πραγματικά πρόβλημα, που απασχόλησε για σχεδόν τρεις αιώνες ,έως ότου ο Πασκάλ έδωσε την πλήρη λύση ,προϊόν γόνιμης αλληλογραφίας με τον Φερμά, και εισήγαγε την μοντέρνα έννοια της "Μαθηματικής ελπίδας".
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ ίδιος ο Πατσιόλι το αντιμετώπισε λάθος , θεωρώντας σαν "δίκαιο" το μοίρασμα αναλόγως των ήδη σημειωθέντων πόντων, χωρίς να λαμβάνει υπόψι το "χρονικό" στοιχείο. Δηλαδή το πόσοι πόντοι μένουν στον καθέναν.
Ο Νικολό Φοντάνα (ο επονομαζόμενος Ταρτάλια) αιτιολογεί ως εξής: "Αν υποθέσουμε ότι πρέπει να φτάσουμε στα 6 γκολ και η Α ομάδα έχει ήδη πετύχει 5 και η Β έχει πετύχει 3, λέω ότι η πιο δίκαιη μοιρασιά είναι 2 προς 1, αφού η Α είναι 2 παιχνιδια μπροστά από τη Β. Αυτό αντιστοιχεί στο 1/3 του συνόλου των παιχνιδιων που απαιτούνται για τη νίκη. Επομένως, η Α πρέπει να π΄ραει 1/3 των δουκάτων (στοιχημάτων). Το υπολοιπο διαιρείται ισόποσα, δινοντας στην Α ένα πλεονέκτημα έναντι της Β , σε αναλογία 2 προς 1."
Ο ίδιοπς όμως ο Ταρτ'αλια δεν ηταν πολυ ευχαριστημένος με το σκεπτικό του, και αναγνώρισε ότι: " H επίλυση πρέπει να είναι περισσότερο δικαστική παρά μαθηματική, αφού ανεξάρτητα από το πώς γίνει η διαιρεση ,θα υπάρχει λογος για αντιδικία":-)
Το 1558 ο Τζιοβάνι Φραντσέσκο Πεβερόνε (Giovanni Francesco Peverone) στο βιβλίο του Due brevi e facili trattati, il primo d'Arithmetica l'altro di Geometria το λύνει πιο σωστά:
"Aς υποθέσουμε οτι η Α χρειάζεται να κερδίσει μόνο 1 παιχνιδι ακομη για να κερδίσει το έπαθλο και στοιχηματιζει 1 μονάδα.
Τότε το βραβειο θα πρεπει να μοιραστεί ισομερώς. Αν στη Β μενουν 2 παιχνίδια,θα πρεπει να πληρωσει 2 μοναδες περισσοτερες ,για να φτασει στη θεση στην οποια θα της μενει μονο ένα παιχνιδι. Επομένως, το έπαθλο θα πρέιε να μοιραστει με τη μορφή 3 προς 1. Αν στη Β μένουν 3 παιχνιδια, θα έπερεπε να πληρωσει διπλάσια και πάλι ...και έτσι στο πρόβλημα του Πατσιόλι, το βραβείο θα μοιραζόταν 7 προς 1"
Ο Πασκάλ τελικά έδειξε (εισάγωντας τις βασικές έννοιες της Συνδυαστικής και τους διωνυμικούς συντελεστές μέσω του διάσημου "Τριγώνου" του) πως σε ένα παιχνίδι όπου ο Α χρειάζεται ακόμη ν πόντους για να κερδίσει και ο Β μ πόντους, το σωστό μοίρασμα είναι ο λόγος (με μοντέρνα σημειογραφία):
ΑπάντησηΔιαγραφήΣ(από κ=0 έως μ-1) C(ν+μ-1 ,κ) / Σ(κ=μ έως ν+μ-1)C(ν+μ-1, κ)