Eisatopon Math AI Challenges: Eπαναλητικό θέμα στα συστήματα

Τετάρτη 9 Οκτωβρίου 2013

Δίνεται το σύστημα (Σ1):

{\begin{matrix} m x + y = 1 \\ x + (2 m - 1) y = m \end{matrix}

με ορίζουσες

D, D_{x}

και

D_{y}

α) Να λύσετε το σύστημα (Σ1)

β) Αν

(x_{0}, y_{0})

η μοναδική λύση του συστήματος (Σ1), να βρείτε την τιμή της παράστασης

A = 2 y_{0} - x_{0}

γ) Έστω, επιπλέον, το γραμμικό σύστημα (Σ2) με δύο αγνώστους

x, y

και ορίζουσες

D^{'}, D_{x}^{'}, D_{y}^{'}

για τις οποίες ισχύουν:

| \begin{matrix} D_{x}^{'} & D^{'} \\ D^{'} & D_{y}^{'} \end{matrix} | = 0

και

| \begin{matrix} D_{x}^{'} & - A \\ D_{y}^{'} & A \end{matrix} | = 2 D^{'}

όπου

A

η τιμή της παράστασης του ερωτήματος

β). Αν το σύστημα (Σ2) έχει μοναδική λύση, να βρείτε τη λύση αυτή.

δ) Για

m = 1

i) Να βρείτε τις λύσεις

(x, y)

του συστήματος (Σ1) για τις οποίες ισχύει

x^{2} + 2 y^{2} = 1

ii) Να λύσετε το σύστημα (Σ3)

{\begin{matrix} m x + 2 y - 3 z = - 1 \\ 2 x - m y + 4 z = - 2 \\ - 3 x + 4 y - (m + 4) z = 15 \end{matrix}