▪ Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων της μορφής f(x)=ρημ(ωx)

1) Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση $f(x)$ = 3ημ$x$.

Οι τιμές της συνάρτησης $f(x)$ = 3ημ$x$ είναι προφανώς τριπλάσιες από τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης $f(x)$ = ημ$x$. Εξάλλου και η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο $2\pi$, αφού ισχύει:

$f(x+2\pi )$ = 3·ημ$(x+2\pi )$ = 3·ημ$x$ =$f(x)$, για κάθε $x\in R$,

και $f(x-2\pi )$ = 3·ημ$(x-2\pi )$ = 3·ημ$x$ = $f(x)$, για κάθε $x\in R$.

Έχοντας υπ' όψιν τα στοιχεία αυτά και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών

σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της $f(x)$ = 3ημ$x$.

2) Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση $f(x)$ = ημ$2x$.

Κάθε τιμή της συνάρτησης $f(x)$ = ημ$2x$ επαναλαμβάνεται, όταν το $2x$ αυξηθεί κατά $2\pi$, που σημαίνει ότι η τιμή αυτή επαναλαμβάνεται, όταν το $x$ αυξηθεί κατά $\pi$. Επομένως, η συνάρτηση $f(x)$ = ημ$2x$ είναι περιοδική με περίοδο $\pi$. Πράγματι:

$f(x+\pi )$ = ημ$2(x+\pi )$ = ημ$(2x+2\pi )$ = ημ$2x$ = $f(x)$, για κάθε $x\in R$
και $f(x-\pi )$ = ημ$2(x-\pi )$ = ημ$(2x-2\pi )$ = ημ$2x$ = $f(x)$, για κάθε $x\in R$.
Έχοντας υπόψη το στοιχείο αυτό και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών

σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της $f(x)$ = ημ$2x$

3) Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = 3ημ2x.

Σύμφωνα με τα προηγούμενα παραδείγματα η συνάρτηση αυτή έχει μέγιστο $3$, ελάχιστο $-3$ και είναι περιοδική με περίοδο $\pi$.

Ένας πίνακας τιμών της συνάρτησης $f(x)$ = 3ημ$2x$ είναι ο εξής:
Με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα

σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

ΣΧΟΛΙΟ 

Από τα προηγούμενα παραδείγματα γίνεται φανερό ότι, σε μια συνάρτηση της μορφής $f(x)$ = ρημ$\omega x$, όπου $\rho ,\omega >0$:
(i) Το $\rho$ καθορίζει τη μέγιστη τιμή της, που είναι ίση με ρ και την ελάχιστη τιμή της που είναι ίση με $-\rho$.
(ii) Το $\omega$ καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης που είναι ίση με $2\pi \omega$.
Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για μια συνάρτηση της μορφής

$f(x)$ = ρσυν$\omega x$, όπου $\rho ,\omega >0$.

Από το βιβλίο της Άλγεβρας της Β΄ Λυκείου.