▪ Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων της μορφής f(x)=ρημ(ωx)

1) Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση $f(x)$ = 3ημ$x$.

Οι τιμές της συνάρτησης $f(x)$ = 3ημ$x$ είναι προφανώς τριπλάσιες από τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης $f(x)$ = ημ$x$. Εξάλλου και η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο $2π$, αφού ισχύει:

$f(x + 2π)$ = 3·ημ$(x + 2π)$ = 3·ημ$x$ =$ f(x)$, για κάθε $x∈R$,

και $f(x - 2π)$ = 3·ημ$(x - 2π)$ = 3·ημ$x$ = $f(x)$, για κάθε $x∈R$.

Έχοντας υπ' όψιν τα στοιχεία αυτά και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών

σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της $f(x)$ = 3ημ$x$.

2) Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση $f(x)$ = ημ$2x$.

Κάθε τιμή της συνάρτησης $f(x)$ = ημ$2x$ επαναλαμβάνεται, όταν το $2x$ αυξηθεί κατά $2π$, που σημαίνει ότι η τιμή αυτή επαναλαμβάνεται, όταν το $x$ αυξηθεί κατά $π$. Επομένως, η συνάρτηση $f(x)$ = ημ$2x$ είναι περιοδική με περίοδο $π$. Πράγματι:

$f(x + π)$ = ημ$2(x + π)$ = ημ$(2x + 2π)$ = ημ$2x$ = $f(x)$, για κάθε $x ∈ R$
και $f(x - π)$ = ημ$2(x - π)$ = ημ$(2x - 2π)$ = ημ$2x$ = $f(x)$, για κάθε $x ∈ R$.
Έχοντας υπόψη το στοιχείο αυτό και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών

σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της $f(x)$ = ημ$2x$

3) Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = 3ημ2x.

Σύμφωνα με τα προηγούμενα παραδείγματα η συνάρτηση αυτή έχει μέγιστο $3$, ελάχιστο $-3$ και είναι περιοδική με περίοδο $π$.

Ένας πίνακας τιμών της συνάρτησης $f(x)$ = 3ημ$2x$ είναι ο εξής:
Με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα

σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

ΣΧΟΛΙΟ 

Από τα προηγούμενα παραδείγματα γίνεται φανερό ότι, σε μια συνάρτηση της μορφής $f(x)$ = ρημ$ωx$, όπου $ρ, ω > 0$:
(i) Το $ρ$ καθορίζει τη μέγιστη τιμή της, που είναι ίση με ρ και την ελάχιστη τιμή της που είναι ίση με $-ρ$.
(ii) Το $ω$ καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης που είναι ίση με $2πω$.
Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για μια συνάρτηση της μορφής

$f(x)$ = ρσυν$ωx$, όπου $ρ, ω > 0$.

Από το βιβλίο της Άλγεβρας της Β΄ Λυκείου.