ΗΛΙΑΣ: Πήγαμε και είπαμε τα κάλαντα. Μισή ωρίτσα όλη κι όλη. Εμείς, τα αγόρια, βγάλαμε από τέσσερα ευρώ ο καθένας. Όπου τα είπαμε μας έδιναν ένα κέρμα του ενός ευρώ. Ούτε πενηντάλεπτα, ή εικοσάλεπτα...ούτε χάρτινα. Χρονιά πολλά, και του χρόνου, πάρτε ένα Ευρώ. Η κρίση, βλέπεις...
Τα κορίτσια της παρέας, ντροπαλά όλα τους, χτυπήσανε τα κουδούνια μόνο των γιαγιάδων τους. Σε κάθε γιαγιά που χτυπούσανε, τους άνοιγε, τα λέγανε και κάθε γιαγιά έδινε σε κάθε κοριτσάκι, (και όχι μόνο στο εγγονάκι της) σε κάθε κοριτσάκι της παρέας, από ένα Ευρώ. Πάλι καλά, με τις συντάξεις που παίρνουνε...
Στο τέλος του ημιώρου βάλαμε κάτω τα ευρουλάκια μας, αγόρια κορίτσια, και ήταν όλα κι όλα, είκοσι επτά ευρώ.
Στο τέλος του ημιώρου βάλαμε κάτω τα ευρουλάκια μας, αγόρια κορίτσια, και ήταν όλα κι όλα, είκοσι επτά ευρώ.
ΚΥΡΙΑΚΟΣ: Και λοιπόν; Τι θες να σου πω εγώ;
ΗΛΙΑΣ: Πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια ήμασταν;
ΚΥΡΙΑΚΟΣ: Ναι, ε; Πλάκα μου κάνεις;
Για ποιο λόγο ο Κυριάκος αρνείται να απαντήσει στον Ηλία;
Toυ φιλόλογου Γιώργου Φραγκάκου (Χανιά)
Έστω Α τα αγόρια και Κ τα κορίτσια, ισχύει:
ΑπάντησηΔιαγραφήA*4+Κ*1=27, για:
Α=1, =>Κ=27-4=23
Α=2 =>Κ=27-8=19
Α=3 =>Κ=27-12=15
Α=4 =>Κ=27-16=11
Α=5 =>Κ=27-20=7
Α=6 =>Κ=27-24=3
Αρκετές οι δυνατές περιπτώσεις!
Αν τα κοριτσάκια είναι 23, θα εισπράξει το κάθε ένα, από τη γιαγιά του και τις άλλες 22, συνολικά 23 ευρώ. Εάν ήταν 23 κορίτσια, επί 23 ευρώ έκαστο, θα είχε συγκεντρώσει η παρέα - μόνο από τα κοριτσάκια - 529 ευρώ. Βάλε και των αγοριών τα 4 ευρώ (επί το πλήθος α, των αγοριών) το άθροισμα είναι πολύ περισσότερο από τα 27, συνολικά, ευρώ της παρέας. Λάβε υπόψη ότι δεν υπάρχουν παρά μόνον κέρματα του ενός Ευρώ.
ΔιαγραφήΈχεις δίκαιο, λάθος μου!
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ εξίσωση γίνεται Α*4+Κ^2=27, συνεπώς για
Α=1, Κ^2=27-4*1=23, μη τέλειο τετράγωνο
Α=2, Κ^2=27-4*2=19, μη τέλειο τετράγωνο
Α=3, Κ^2=27-4*3=15, μη τέλειο τετράγωνο
Α=4, Κ^2=27-4*4=11, μη τέλειο τετράγωνο
Α=5, Κ^2=27-4*5=7, μη τέλειο τετράγωνο
Α=6, Κ^2=27-4*6=3, μη τέλειο τετράγωνο
Δεν υπάρχει λύση!
Α=7, Κ^2=27-4*7=-1, Κ=i, φανταστικό το κοριστάκι!
και ομοίως για
Κ=1,4Α+1=27, Α=26/4, κλασματικός αριθμός αγοριών
Κ=2,4Α+4=27, Α=23/4, κλασματικός αριθμός αγοριών
Κ=3,4Α+9=27, Α=18/4, κλασματικός αριθμός αγοριών
Κ=4,4Α+16=27, Α=11/4, κλασματικός αριθμός αγοριών
Κ=5,4Α+25=27, Α=2/4, κλασματικός αριθμός αγοριών
Δεν υπάρχει λύση, (λάθος δεδομένα) άρα σωστά είπε
ο ΚΥΡΙΑΚΟΣ, "Πλάκα μου κάνεις;"
Ο λόγος που αρνείται να δώσει απάντηση ο Κυριάκος είναι ότι δεν στέκει υπάρχει λύση.
Διαγραφή4α+(κ*κ)=27 Ευρώ (1)
Το 4α είναι άρτιος. Το κ δεν μπορεί να είναι άρτιος κι αυτός αφού το τετράγωνό του είναι άρτιος και οι δύο άρτιοι δεν μπορεί να έχουν περιττό άθροισμα. Το 27.
Άρα έχουμε περιττό πλήθος θηλέων.
Το τετράγωνο κάθε περιττού έχει τη μορφή 8λ+1.
Αν πούμε 4α+8λ+1=27, δηλαδή 4(α+2λ)+1=27, το 1 θα είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης 27/4=α+2λ. Όμως η Ευκλείδεια διαίρεση απαιτεί υπόλοιπο 3. Το 1 δεν θα είναι ποτέ ίσον με το 3, άρα ο Ηλίας προσπάθησε να περιπαίξει τον αδερφό του.
Σε ευχαριστώ για τις απαντήσεις και φυσικά για την ωραία μαθηματική και αναλυτική προσέγγιση-λύση του θέματος, καμία σχέση με την δική μου εμπειρική προσέγγιση, που έδωσε μεν λύση λόγω του μικρού αριθμού των ευρώ, αν όμως τα ευρώ ήταν πολύ περισσότερα πχ 2227 ή οποιοσδήποτε μεγάλος αριθμός Χ=3mod4 (αντί 1mod4,) τότε.... αδιέξοδος!
ΔιαγραφήΚι εγώ σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια και για το χρόνο που διέθεσες προκειμένου να βρεις μιαν απάντηση στο γρίφο μας.
ΔιαγραφήΔιάβασε, αν θες, και τη συνέχεια:
ΗΛΙΑΣ: Εντάξει. Πλάκα σου έκανα. Στην πραγματικότητα εμείς, τα αγόρια, δεν εισπράξαμε ούτε ένα ευρώ. Μας βλέπανε μεγάλους και δεν μας άνοιγαν. Τα κορίτσια όμως τα είπανε στις γιαγιάδες τους, όπως σου είπα, και όλες τους έδωσαν από ένα ευρώ, εκτός από τη γιαγιά της Ελπίδας, η οποία έδωσε από ένα δίευρω σε κάθε κορίτσι, αλλά όταν έφτασε στην εγγονή της, ανακάλυψε ότι δεν της είχε περισσέψει άλλο κέρμα. Έτσι έφυγε χωρίς να εισπράξει τίποτε από τη γιαγιά της η Ελπίδα, ενώ οι φίλες της πήρανε από 2 ευρώ, κάθε μία.
Μετά από αυτό, κάνανε ταμείο και μοίρασαν όλη την είσπραξη σε όλη την παρέα, αγόρια-κορίτσια, εξίσου.
ΚΥΡΙΑΚΟΣ: Πόσα σου δώσανε;
ΗΛΙΑΣ: Πέντε Ευρώ.
ΚΥΡΙΑΚΟΣ: Και ήσασταν, σε αναλογία ένα προς τρία, αγόρια / κορίτσια;
ΗΛΙΑΣ: Ναι.
ΚΥΡΙΑΚΟΣ: Κατάλαβα. Εσύ κι ο Θόδωρας φάγατε πόρτες;
Πώς σκέφτηκε ο Κυριάκος;
6 κορίτσια + 2 αγόρια μάζεψαν 40+0=40 ευρώ και πήραν από 5, 5*8=40
ΔιαγραφήΈστω k τα κορίτσια, άρα k/3 τα κορίτσια και 4/3k το σύνολο των παιδιών.
Κ κορίτσια πήραν από(k-1) γιαγιάδες k*(k-1) ευρώ και τα (k-1) κορίτσια (πλην Ελπίδας) πήραν από την γιαγιά της Ελπίδας (k-1)*2 ευρώ, σύνολο: k*(k-1) +(k-1)*2, άρα
k*(k-1) +(k-1)*2=(4/3)*k*5
k^2 -k +2k -2 =20k/3
3k^2 +3k -6 =20k
3k^2-17k-6=0
3k^2-k-17k+k-6=0
3k^2-18k +(k-6)=0
3k(k-6) +(k-6)=0
(k-6)*(3k+1)=0
k=6 δεκτό 3κ=-1 απορρίπτεται
άρα κορίτσια 6, αγόρια 6/3=2
ο Ηλίας και ο Θόδωρας, φυσικά ο Κυριάκος
δεν ήταν, απλώς άκουγε και συνομιλούσε με
τον Ηλία, αν ήταν θα ήξερε και πόσα αγόρια
και κορίτσια ήταν και πόσα ευρώ μάζεψαν και
δεν θα χρειαζόταν τα μαθηματικά να το βρει...
Υπάρχει ένα κενό, αν δεν ήταν παρών πώς ήξερε
ότι το 2ο αγόρι το έλεγαν Θόδωρα!
Πιθανόν να τούς είχε δει καθώς γύριζαν στους
δρόμους.
Όλα σωστά.
ΔιαγραφήΌλες οι σκέψεις, όλες οι εικασίες είναι ορθές.
Ο Κυριάκος, όταν πήρε θετική απάντηση στην ερώτηση σχετικά με την αναλογία αγοριών κοριτσιών, σιγουρεύτηκε πως δύο ήταν τα αγόρια και υπέθεσε ότι ο δεύτερος, εκτός του Ηλία, είναι ο Θοδωρής.
X^2+2x-2=5y με το y να ισούται με x+z.
Τα θηλυκά είναι x και τα αγόρια είναι z.
Μετά τον περιορισμό του Κυριάκου, για κάθε z υπάρχουν 3x.
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΔιαγραφήΚαταρχάς η περίπτωση Α=2 δεν 'παίζει', αφού τα αγόρια είναι τουλάχιστον 2 (Ηλίας, Κυριάκος) και, βάσει συγκομιδής, μπορούν να είναι μέχρι και 6 (όχι 7, αφού τότε θα είχαν μαζέψει μόνο τα αγόρια 28 €).
ΑπάντησηΔιαγραφήΝομίζω ότι βγαίνουν κάποιες 'λογικές' λύσεις αν σκεφτούμε ότι κάθε κορίτσι μπορεί να έχει 0 ή 1 ή 2 γιαγιάδες.
Σόρι Α=1 εννοούσα.
ΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΔιαγραφήΝα προσθέσω σα γενική παρατήρηση ότι η διοφαντική:
ΑπάντησηΔιαγραφή4x + y^2 -27=0 φαίνεται αμέσως πως δεν έχει λύσεις αν την εξετάσουμε σε modulo 9 ,16 και 25. (δεν έχει λύση mod 16)
Mια προσθετη ερώτηση-επέκταση του προβλήματος θα ήταν:
Αν ο Ηλίας έχει "ξεχάσει"(:-) ) στην τσέπη του ένα νόμισμα, πόσα είναι τα αγόρια και τα κορίτσια; (και τι νόμισμα είναι το "ξεχασμένο";) :-)
Σε τέτοια περίπτωση, βγαίνουν διάφορα πιθανά σενάρια λύσεων:
Διαγραφήχ=3, ψ=4 (27 + 1€)
χ=3, ψ=5 (27 + 10€)
χ=4, ψ=4 (27 + 5€)
χ=5, ψ=3 (27 + 2€)
χ=6, ψ=2 (27 + 1€)