Το ABC είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Η διαδρομή Α-Β-C είναι προφανώς διπλάσια από τη διαδρομή Α-C. Ομοίως ,η διαδρομή Α-D-E-F-C είναι διπλάσια από την A-C, όπως και η διαδρομή
A-G-H-I-E-J-K-L-C ,κ.λ.π.
Βλέπουμε λοιπόν ότι "σπάζοντας" την κάθε διαδρομή σε όλο και "χαμηλότερες" ίσες διαδρομές, δηλαδή διαδρομές με περισσότερα ζιγκ-ζαγκ, η απόκλιση των μονοπατιών "ζιγκ-ζαγκ" από τη βάση ΑC γίνεται όλο και μικρότερη, ή αλλιώς "τείνει στο 0". Έτσι, κατα μία έννοια, η ευθεία ΑC είναι το "Όριο" της ακολουθίας των μονοπατιών. Αυτό όμως σημαίνει ότι το μήκος ΑC ισούται με 2 φορές τον εαυτό του! Παράδοξο! Τι ακριβώς συμβαίνει λοιπόν;
Αν λοιπόν θεωρήσουμε ότι εκφυλίζονται σε ευθεία παύουμε να έχουμε και την κατασκευή ισόπλευρου τριγώνου που μας ζητά το πρόβλημα.Αν γίνουν τόσο μικρά τα τριγωνάκια θα είναι σχδόν σαν σημεία.Το άθροισμα του μήκους όμως αυτών των σημείων θα είναι ΑC και όχι 2 φορές ΑC αφού μιλάμε για απειροστά μικρά μήκη πλευρών τριγώνων άρα 2*απειροστό=απειροστό
ΑπάντησηΔιαγραφήΌσο και να γίνει απειροελάχιστο το μήκος των τμημάτων που χωρίζουμε την AC(1/2^n), θα έχει μήκος, ποτέ δεν μηδενίζεται, και συνεπώς η "μοναδιαία" τεθλασμένη που αντιστοιχεί στη μοναδιαία" βάση(1/2^n) θα ισούται με 2*1/2^n και συνεπώς το άθροισμα τους(όλων των απειροελάχιστων "μοναδιαίων" τεθλασμένων) θα είναι πάντα 2*(AC). Θα το τολμήσω και μία προσέγγιση με ολοκληρώματα (με τον εμπειρικό και προσωπικό τρόπο μου). Έστω x το μήκος της AC και dx το απειροελάχιστο μήκος της βάσης του απειροελάχιστου τριγώνου, τότε η τεθλασμένη (οι άλλες 2 πλευρές του απειροελάχιστου τριγώνου) θα έχει μήκος ίσο με 2dx, και τα ολοκληρώματα τους θα είναι χ=(AC) και 2χ=2*(AC)
ΑπάντησηΔιαγραφήΌμοιο θέμα με τις 2 πλευρές τετραγώνου πλευράς α και την διαγώνιο, όπου "αποδεικνύεται" ότι 2=ρίζα2, όπου και εκεί η διαδρομή παραμένει 2α, σε όσα τμήματα και αν χωρίσουμε τις πλευρές
Σωστός ο κ .Αλεξίου.Εγώ θεώρησα ότι τα τριγωνάκια εκφυλίζονται κατά κάποιο τρόπο σε σημεία μετά από ένα άπειρο πλήθος διαιρέσεων και χωράνε σε μήκος ΑC.Ήταν κακή η διατύπωση με το απειροστό ομολογουμένως.Αυτό με τά σημεία προκύπτει και από τον άπειρο αριθμό διαιρέσεων ε΄στω μοναδιαίας πλευράς ΑC 1/2^n αν ν τείνει στο άπειρο το κλάσμα τείνει στο μηδέν άρα έχουμε μήκος που τείνει στο μηδέν οπότε το τρίγωνο πρακτικά εκφυλίζεται σε σημείο.Πράγματι κακή η διατύπωση
ΑπάντησηΔιαγραφήΠαράδοξα σαν αυτό (στην διεθνή βιβλιογραφία αναφέρεται σαν «Το παράδοξο του ορίου»-The Limit Paradox) προκαλούσαν πραγματικά προβληματισμούς και εκτεταμένες συζητήσεις (πολύ σοβαρές!) κατά τα «νεανικά χρόνια» της Ιστορίας της Ανάλυσης. Ένα άλλο παράδειγμα, που δείχνει ίσως καλύτερα τη λογική πλάνη είναι να θεωρήσουμε την ακολουθία των δεκαδικών αριθμών: 0.9 , 0.99, 0.999,κ.λ.π.
ΑπάντησηΔιαγραφήΞεκάθαρα, κανένας από αυτούς τους αριθμούς δεν είναι ακέραιος. Παρολαυτά η ακολουθία των αριθμών συγκλίνει όλο και περισσότερο στο 1. Δικαιολογούμαστε λοιπόν να συμπεράνουμε ότι το 1 δεν είναι ακέραιος; Όχι βέβαια. Ή εναλλακτικά, παρατηρούμε ότι το «μέσο μέγεθος» των δεκαδικών ψηφίων των 0.9 ,0.99, 0.999 κ.λ.π είναι 9. Άρα και το μέσο μέγεθος των δεκαδικών ψηφίων του 1.000.. είναι επίσης 9; Δεν είναι ασφαλώς!
Η εγκυκλοπαίδεια Britannica δίνει τον ακόλουθο σχετικό ορισμό. Δεν είναι ίσως και πρότυπο διδακτικής καθαρότητας και σαφήνειας για το θέμα, αλλά έχει ενδιαφέρον και δίνει την ερμηνεία-κλειδί στο παράδοξο:
" “The limit paradox” is the result of the mistaken idea
that the limiting configuration must have properties
which are the limiting cases of the corresponding
properties of the approximating configurations."
Μετάφραση: Το «Παράδοξο του ορίου» είναι αποτέλεσμα της λανθασμένης αντίληψης πως ο τελικός σχηματισμός –Όριο πρέπει να έχει τις ιδιότητες που αντιστοιχούν στους περιορισμούς των αντιστοίχων ιδιοτήτων που έχουν οι προσεγγίζοντες (συγκλίνοντες ) σχηματισμοί»
Μ’άλλα λόγια ,πιο απλά, οι όροι μιας δεδομένης ακολουθίας μπορεί να φέρουν διάφορες ιδιότητες-χαρακτηριστικά ,και μια μαθηματ.οντότητα που κατέχει την τιμή-όριο μιας από αυτές τις ιδιότητες, ΔΕΝ σημαίνει ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΣ ότι κατέχει την τιμή-όριο ΟΛΩΝ αυτών των ιδιοτήτων.(κάποιες από τις οποίες μπορεί ανά περίσταση ακόμη και να ΜΗΝ συγκλίνουν!)
Δεν ξέρω αν ξεμπέρδεψα ή μπέρδεψα περισσότερο…
Στην περίπτωση των μονοπατιών ζιγκ-ζαγκ, θεωρούμε ουσιαστικά τις περιοριστικές συνθήκες /όριο της ελάχιστης Περιβάλλουσας (envelope) των μονοπατιών, και παρατηρούμε ότι το μονοπάτι-όριο εμπεριέχεται εξ ολοκλήρου εντός μιας αυθαιρέτως μικρής Περιβάλλουσας καμπύλης κοντά στην ευθεία AC. Tο όριο αυτής της περιβάλλουσας προσεγγίζει την AC, τόσο «κατά τη θέση» όσο και «κατά το μήκος», ΑΛΛΑ το μήκος της ζιγκ-ζαγκ γραμμής εντός της περιβάλλουσας ΔΕΝ συγκλίνει στο μήκος της Περιβάλλουσας που περιέχει αυτή τη γραμμή!
Αυτό μπορεί να γινει πιο εποπτικό, αν σκεφτούμε πως θα μπορούσαμε να κατασκευάσουμε μια ακολουθία μονοπατιών-βρόχων , με εκθετικά αυξανόμενο αριθμό από βρόχους γεωμετρικά μειούμενους , έτσι ώστε το ολικό μήκος του μονοπατιού-βρόχων από το Α στο C να τείνει στο άπειρο ,την ίδια ώρα που η Περιβάλλουσα ασφαλώς θα συγκλίνει στην ευθεία AC !
Συμπέρασμα: Πρέπει να είμαστε προσεχτικοί ποιου χαρακτηριστικού εξετάζουμε το όριο!
Έχοντας ηδη γραψει όλα αυτά, μού έρχονται στον νου οι αυτομορφές. Τα φράκταλ.
Η περίφημη ας πουμε «χιονονιφάδα του Κοχ» και άλλες οριακές φράκταλ συγκλίσεις ,όπου η περίμετρος των σχηματιζόμενων καμπυλών είναι οριακά άπειρη ενώ το εμβαδόν οριακά πεπερασμένο.
Τα φρακταλ είναι εκ φύσεως σχηματισμοί που ορίζονται σαν τα όρια προοδευτικώς «κλασματικών» διαδικασίων και μάλιστα πιο πολύπλοκων από αυτή που εξετάσαμε.
Αυτά τα ολίγα. :-)
Μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι, όσο μικρότερη και να γίνει η απόκλιση των μονοπατιών "ζιγκ-ζαγκ" από τη βάση ΑC και να τείνει στο 0, εκτός του μήκους των μονοπατιών που παραμένει 2*AC, και το άθροισμα των υψών των τριγώνων της κάθε διαδρομής, ακόμα και της όλο και λιγότερο αποκλίνουσας και "τείνουσας" στο 0, είναι ίσο με το ύψος του τριγώνου ABC και ποτέ δεν γίνεται 0.
ΑπάντησηΔιαγραφήNαι, σωστή παρατήρηση. Να προσθέσω ,σαν ιστορική επισήμανση, ότι αυτή ακριβώς η γεωμετρικώς φανερή σύγκλιση χρησιμοποιήθηκε απο τον Νικολά ΝτΟρέσμ για την εύρεση του ορίου lim(1/2 +1/4 +1/8 +...+ 1/2^n)= 1 (για ν--> +άπειρο)Με άλλο βέβαια γεωμετρικό περιεχόμενο, την κλασματική ακολουθία των εμβαδών σε ένα μοναδιαίο τετράγωνο.
Διαγραφή