"...Συνδυαστική, ένας εύσχημος τρόπος να ρίχνεις τα ζάρια.."
Robert Kanigel
(The Man Who Knew Infinity)
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
190 Αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Twitter X
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Pinterest
Desmos Activities
COPILOT AI
Ultimate AI Math Solver
Photomath
The Ultimate Math Help App
Wikipedia - Mathematics
Google Gemini
OpenAI - Chat GPT
DeepL Translator
LATEX
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία
Canadian Mathematical Society (CMS)
The William Lowell Putnam Mathematics Competition (Archive 1985 - 2021)
Art of Problem Solving ONLINE
Leonardo Fibonacci
Kurt Friedrich Gödel
Ευκλείδης
Αρχιμήδης
Leonard Euler
Georg Cantor
Pierre-Simon Laplace
René Descartes
Joseph-Louis Lagrange
Πιερ ντε Φερμά
Gottfried Wilhelm Leibniz
Ο αριθμός των βιβλίων που θα χρειαστεί να κοιτάξει είναι από 6 έως 30, ανάλογα με τη θέση του 6ου και τελευταίου από τα βιβλία που χρειάζεται.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι συνολικοί συνδυασμοί των θέσεων των 6 βιβλίων που χρειάζεται από τα 30 συνολικά είναι Σ=30!/(6!24!). Κάθε ένας από τους συνδυασμούς αυτούς καλύπτει όλες τις πιθανές αντιμεταθέσεις μεταξύ των βιβλίων της ίδιας κατηγορίας (αυτών που χρειάζεται ή αυτών που δε χρειάζεται).
Για κάθε πιθανή θέση ν του 6ου κατά σειρά από τα βιβλία που ψάχνει, τα προηγούμενα 5 βιβλία μπορούν να βρίσκονται σε οποιεσδήποτε από τις προηγούμενες ν-1 θέσεις. Οι αντίστοιχοι συνδυασμοί είναι σν=(ν-1)!/5!(ν-6)!
Ο αναμενόμενος αριθμός βιβλίων που πρέπει να εξετάσει είναι ίσος με το σταθμισμένο άθροισμα των πιθανών θέσεων ν του 6ου βιβλίου (ν = από 6 έως 30), με συντελεστές στάθμισης τα αντίστοιχα πηλίκα σν/Σ.
Το αποτέλεσμα υπολογίζεται σε 26,57 βιβλία περίπου.
Νομιζω οτι η λυση ειναι πιο απλη! Εγω πιστευω οτι το σωστο αποτελεσμα ειναι 18 βιβλια. Γιατι οπως λεει και ο papadim ο αριθμος εξαρταται αποκλειστικα απο την θεση του 6ου βιβλιου. Το 6ο βιβλιο μπορει να βρισκεται σε μια απο τις θεσεις 6,7,8....29,30 με ιση πιθανοτητα για την καθε θεση. Επομενως οι προσπαθειες που θα χρειαστουν κατα μ.ο. θα ειναι (6+7+8+9+10....+30)/25=18
ΑπάντησηΔιαγραφήΣωστή λύση θεωρώ του papadim, διότι από όλες τις δυνατές θέσεις που μπορούν να βρεθούν τα βιβλία 6 στα 30 συνολικά C(30,6)=593775 (δεν ενδιαφέρει η σειρά των βιβλίων) το 6ο βιβλίο θα βρεθεί στην 6η θέση με ένα τρόπο, C(5,5)=1, στην 7η θέση με C(6,5)=6 τρόπους-θέσεις των 5 βιβλίων, στην 8η θέση με C(7,5)=21 τρόπους-θέσεις των 5 βιβλίων,....,
ΑπάντησηΔιαγραφήστην 30η θέση με C(29,5)= 118755 τρόπους-θέσεις των 5
Σύνολο C(5,5)+C(6,5)+...+C(29,5)=593775=C(30,6).
Έτσι, παρατάσσοντας τα βιβλία με όλους τους δυνατούς
τρόπους-θέσεις θα χρειασθεί να πραγματοποιήσουμε
6*1{=C(5,5)}+7*6{=C(6,5)}+...+30*118755{=C(29,5)}=
=15777450 μετρήσεις και ο μέσος όρος είναι:
Μ.Ο.=15777450/[{593775{=C(30,6)}]=186/7 =26,57..
Και γω ψηφίζω papadim.Δεν έκανα τις πράξεις αλλά αυτή τη διάταξη σκέφτηκα
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ λύση του Δαμιανού θα ήταν, ίσως, σωστή αν ξέραμε ότι τα 5 από τα βιβλία που ψάχνει ο Γιώργος ήταν στις θέσεις 1-5, ενώ το 6ο σε μια τυχαία θέση από τις υπόλοιπες, πράγμα που εδώ δεν ισχύει. Αν όμως ίσχυε και το γνώριζε κι ο ίδιος, η σωστή απάντηση νομίζω θα ήταν 13 και όχι 18. Γιατί όμως?
ΑπάντησηΔιαγραφήΕχεις απολυτο δικαιο φιλε papadim!! Αν τα πρωτα 5 ηταν στις αρχικες θεσεις και το γνωριζε κι ο ιδιος τοτε θα επρεπε να ξεκινησει να σηκωνει απο το 6ο βιβλιο και μετα. Επομενως ο μ.ο. των δοκιμων θα ηταν (1+2+3...+24+25)/25=13. Καμια φορα η βιασυνη (αλλα και η διαισθηση γιατι 27 δοκιμες μου φανηκαν υπερβολικα πολλες!) μπορουν ευκολα να σε παρασυρουν σε λανθασμενα συμπερασματα!! Mea culpa, λοιπον!!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΠολύ σωστά Δαμιανέ! Θα συμφωνήσω πάντως ότι η λύση 26,57 είναι πράγματι εκ πρώτης όψεως αντιδιαισθητική, δικαιολογείται όμως από το αυξανόμενο πλήθος των συνδυασμών όσο αυξάνεται η πιθανή θέση του 6ου βιβλίου, όπως έδειξε εύστοχα και ο Ευθύμιος στη δική του ανάλυση.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο πρόβλημα είναι όντως ανάλογο του να βρεις την αναμενόμενη θέση του 6ου βιβλίου Β σε μια τυχαία ακολουθία από α και Β . αΒαΒ.. όπου α=άλλα βιβλία και Β=τα 6 βιβλία.
ΑπάντησηΔιαγραφήYπάρχει ένας τρόπος η ακολουθία να έχει το 6ο Β στην 6η θέση, C(6,5)=6 τρόποι να είναι στην 7η θέση, κ.λ.π έτσι η αναμενόμενη τιμη (Μαθηματική ελπίδα) είναι:
(1/C(30,6)) * (C(5,5)*6 +C(6,5)*7 +…+C(29,5)*30) =
=(6/C(30,6)) * (C(6,6) +C(7,6) +…+C(30,6))
=(6/C(30,6)) * C(31,7) (H ιδιότητα «Μπαστούνι του Χόκεϋ» των διωνυμικών συντελεστών στο τρίγωνο Ταρτάλια-Πασκάλ. Δηλαδή η Σ(από i=r έως n) C(i,r)= C(n+1, r+1) . Λέγεται έτσι γιατί οι προσθετέοι και το άθροισμα σχηματίζουν το σχήμα μπαστουνιού του χόκεϋ στο τρίγωνο. Δείτε παράδειγμα-προσθήκη στην ανάρτηση.)
Έτσι τελικά έχουμε για το ζητούμενο
=(6*31*30*29*28*27*26*25*6!)/(30*29*28*27*26*25*7!)
=186/7
Εξυπακούεται ότι μπήκα στον κόπο να γράψω τα παραπάνω όχι γιατί διαφέρουν σε τίποτε επί της ουσίας από την πληρέστατη ανάλυση του Ευθύμιου, αλλά απλώς για να επισημάνω το ενδιαφέρον «μπαστούνι του χόκεϋ».
"Το πρόβλημα είναι όντως ισοδύναμο..." ήθελα βεβαίως να γράψω στην πρώτη σειρά,και όχι "είναι ανάλογο"
ΔιαγραφήΝα προτείνω και μια εναλλακτική, πρακτική, αλλά ομολογουμένως όχι αυστηρή μαθηματικώς, προσέγγιση: Mπορούμε εύλογα να υποθέσουμε ότι τα 6 Β θα είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα ανάμεσα στα 24 υπόλοιπα (τα α). Δηλαδή θα υπάρχει –κατά μέσο όρο- ίδιος αριθμός άλλων βιβλίων έστω α, ανάμεσα στα διαδοχικά ζέυγη των Β. Η «μέση» λοιπόν ακολουθία θα έχει τη μορφή:
ΑπάντησηΔιαγραφήαΒαΒαΒαΒαΒαΒα . Συνάγεται εύκολα ότι α=24/7 λοιπόν. Άρα ο αναμενόμενος αριθμός βιβλίων που πρέπει να τσεκάρει ο Γ. ώστε να βρει και τα 6 Β είναι (24/7)*6 +6 =186/7 που συμφωνεί με το αποτέλεσμα από την αυστηρή ανάλυση.
Επιτρέψτε μου, κ.Ριζόπουλε, να προσθέσω δυο λόγια υποστήριξης στην αφοπλιστικά απλή και έξυπνη εναλλακτική προσέγγιση που παρουσιάσατε:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑφού οι θέσεις των 6 Β ανάμεσα στα υπόλοιπα βιβλία είναι τυχαίες, δεν υπάρχει κανένας λόγος (πέρα από την τύχη), για να περιμένει κανείς ότι ένα οποιοδήποτε υποδιάστημα της στοίβας, από αυτά που ορίζουν οι διαδοχικές θέσεις των Β, θα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από κάποιο άλλο.
Επομένως, οι αναμενόμενες θέσεις των 6 Β δεν μπορεί παρά να είναι αυτές που ορίζουν ίσα υποδιαστήματα εντός της στοίβας.
Τα υπόλοιπα είναι απλή αριθμητική.
Νομίζω ότι η συλλογιστική, αν και όχι αυστηρή μαθηματικά, είναι πανίσχυρη λογικά.