▪ Η Υπερβολή του Kiepert (1869)

∆ίδεται τρίγωνο ΑΒΓ και ένα ισοσκελές τρίγωνο ΜΝΡ. Στις πλευρές του ΑΒΓ σχηµατίζουµε ισοσκελή τρίγωνα όµοια µε το ΜΝΡ που οι κορυφές των δεν συµπίπτουν µε τις κορυφές του τριγώνου και οµοίως τοποθετηµένα. 

Οι ευθείες που ενώνουν τις κορυφές των ισοσκελών τριγώνων µε τις απέναντι κορυφές του τριγώνου αποδεικνύεται ότι τέµνονται σε ένα σηµείο Κ. Αν πάρουµε άλλο ισοσκελές τρίγωνο ΜΝΡ θα βρούµε άλλο σηµείο Κ. Έτσι µεταβάλλοντας το ΜΝΡ παίρνουµε σηµεία Κ τα οποία αποδεικνύεται ότι ανήκουν σε µια ορθογώνια υπερβολή, που λέγεται υπερβολή Kiepert του τριγώνου ΑΒΓ. Η υπερβολή αυτή διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ και από το ορθόκεντρό του. Μπορεί να προκύψει µε αντιστροφή της ευθείας ΟL (O: κέντρο περιγεγραµµένου κύκλου, L: σηµείο Lemoine του τριγώνου).
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Πηγή: Ιστορία και μελέτη με ευκλείδεια μέσα των κωνικών τομών (Μεταπτυχιακή εργασία του Δ. Ι. Μπουνάκη).