Τρίτη 2 Ιουλίου 2013

▪ Εμβαδόν τετραπλεύρου

Ποιο είναι το μέγιστο δυνατό εμβαδόν τετραπλεύρου με πλευρές $1,4,7$ και $8$;
Αναρτήθηκε από στις 2.7.13
Ετικέτες , ,

1 σχόλιο:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS2 Ιουλίου 2013 στις 2:49 μ.μ.

    Ωραίο πρόβλημα! Σίγουρα λύνεται με ανάλυση, εξισώσεις βάσει τύπου Ήρωνα ,διαφόριση και εξίσωση με 0---άρα μεγιστοποίηση ,κ.λ.π,αλλά νομίζω ότι μπορούμε να γλυτώσουμε τη "φασαρία" με την παρατήρηση ότι οι αριθμοί 1,4,7,8 είναι ανά δύο μια χαρά πυθαγόρειοι με κοινή υποτείνουσα. 1^2 +8^2=65=4^2 +7^2
    Άρα συνθέτουν 2 ορθογωνια τρίγωνα (κάθετες πλευρές 1,8 και 4,7 αντίστοιχα) με κοινή υποτείνουσα = ρίζα65. Το τετράπλευρο που προκύπτει (ΕΜΒΑΔΟ=4+14=18) είναι "κυκλικό" (εγγράψιμο σε κύκλο) μια και έχει τις απέναντι γωνίες του=π.
    Υπάρχει ο τύπος του Βραχμαγκούπτα , π[ου δίνει το εμβαδό τετραπλεύρου Α, συναρτήσει της ημιπεριμέτρου s, πλευρές: α,β,γ,δ και γωνία φ= το ημιάθροισμα δύο απέναντι γωνιών
    A = square root[(s − α)(s − β)(s − γ)(s − δ) − αβγδ* συν^2(φ)].
    Για εγγράψιμο τετραπλ. λόγω του ότι το ημιάθροισμα φ=π/2 , έχουμε συν(φ)=0 ,άρα μεγιστοποιείται το εμβαδό (αφού μηδενίζεται η ποσότητα που αφαιρείται στον τύπο).
    Q.E.D ! (Emax=18)

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)