Tρία προβληματάκια - μεζεδάκια, κάπως πικάντικα:
1) Μια κρατική πρόνοια (σε κάποια φανταστικά μακρινή χώρα ..) προβλέπει κάποιος να μπορεί να ανταλλάσσει 4 αδειανά μπουκάλια γάλα με ένα γεμάτο. Αν μια οικογένεια έχει μαζέψει 24 άδεια μπουκάλια γάλα, πόσα μπουκάλια γάλα μπορεί να πιει;
2) Μέσα στο διαστημικό λεωφορείο "Λαντάου-Φάινμαν" ο αστροναύτης Νικολάι Μάικολ Ράισμπερντ έχει γενέθλια. Μπορεί να σβήσει τα κεράκια του; Στο λεωφορείο επικρατούν συνθήκες έλλειψης βαρύτητας (ας υποθέσουμε ότι η βαρύτητα είναι 0)
3) Το γινόμενο ενός δισεκατομμυρίου φυσικών αριθμών είναι ίσο με ένα δισεκατομμύριο.
Ποια είναι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να έχει το άθροισμα αυτών των αριθμών;
3)Οι αριθμοί 1,1,1,..1(999.999.999 φορές το 1) και 1000000000 δίνουν γινόμενο 1000000000 και άθροισμα 1999999999, το μεγαλύτερο. Το αμέσως μικρότερο άθροισμα είναι 999999998+2+500000000=1500000000 κ.ο.κ και το μικρότερο άθροισμα 1000000045, από τους αριθμούς 1,1,1,...1(999999982 φορές το 1),2,2,2,.(9 φορές το 2),5,5,5,..5(9 φορές το 5) (γινόμενο 1*1*1*..*1*2^9*5^9=1000000000)
ΑπάντησηΔιαγραφήΣωστά! Οι αριθμοί που δίνουν το μέγιστο άθροισμα είναι όντως το 999.999.999 και οι υπόλοιποι όλοι άσσοι. Γιατί όμως; (απόδειξη;)
ΔιαγραφήΠαραδρομή. Εννοούσα: "Οι αριθμοί που δίνουν το μέγιστο άθροισμα είναι όντως το 1.000.000.000 και οι υπόλοιποι(999999999) όλοι άσσοι."
ΔιαγραφήΤην απόδειξη, με πρακτικό τρόπο, αν δεν είναι σαφές την υπαινίσσομαι με το:
Διαγραφή1000000000=1*1*1*...*1(999999999 1)* 2^9*5^9
(1000000000-1)*1+1000000000=1999999999
(1000000000-2)*1+2+2^8*5^9=1500000000
.....................................
....................................
(1000000000-18)*1+2*9+5*9=1000000045
και μετά την παρατήρηση σας, το επέκεινα περισσότερο αφενός πρακτικά με όλους τους δυνατούς συνδυασμούς αθροισμάτων
(1000000000-1)*1+1000000000=1999999999
(1000000000-2)*1+2+2^8*5^9=1500000000
(1000000000-3)*1+2*2+2^7*5^9=1250000001
(1000000000-4)*1+2*3+2^6*5^9=1125000002
(1000000000-5)*1+2*4+2^5*5^9=1062500003
(1000000000-6)*1+2*5+2^4*5^9=1031250004
(1000000000-7)*1+2*6+2^3*5^9=1015625005
(1000000000-8)*1+2*7+2^2*5^9=1007812506
(1000000000-9)*1+2*8+2^1*5^9=1003906257
(1000000000-2)*1+2^9+5^9 =1001953635
(1000000000-10)*1+2*9+5^9=1001953133
(1000000000-11)*1+2*9+5+5^8=1000390637
(1000000000-12)*1+2*9+5*2+5^7=1000078141
(1000000000-13)*1+2*9+5*3+5^6=10000015645
(1000000000-14)*1+2*9+5*4+5^5=1000003149
(1000000000-15)*1+2*9+5*5+5^4=1000000653
(1000000000-16)*1+2*9+5*6+5^3=1000000157
(1000000000-17)*1+2*9+5*7+5^2=1000000061
(1000000000-18)*1+2*9+5*8+5^1=1000000045
αλλά και λίγο θεωρητικά κάνοντας την παραγοντοποίηση του 1000000000, 2^9*5^9, θεωρώ λογικό και αυταπόδεικτο ότι
-1+2^9*5^9>-2+2+2^8*5^9>-3+2*2+2^7*5^9>..>
>-18+2*9+5*9 και γενικεύοντας το για οποιονδήποτε αριθμό Α για τον οποίον ισχύει το γινόμενο Α φυσικών αριθμών ισούται με Α όπου Α=1*1*..*1((Α-1)φορές 1)*α^κ*β^λ*γ^μ*..
τότε επαγωγικά το μεγαλύτερο άθροισμα αυτών των αριθμών ισούται με
(Α-1)*1+α^κ*β^λ*γ^μ*..=2Α-1
και το μικρότερο ισούται με
(Α-κ-λ-μ-...)*1+α*κ+β*λ+γ*μ+...
α,β,γ,...=(2,3,4,...,9)
Παρατήρηση Αν ο Α είναι πρώτος αριθμός έχουμε μόνο ένα άθροισμα 2Α-1
A, πολύ ωραία! Ευχαριστώ για τον κόπο και τις εμπνευσμένες διερευνήσεις!
ΔιαγραφήΝα δώσω και γώ μια πολύ έξυπνη αλγεβρική απόδειξη του Ρώσου Γκαλπέριν, που βρήκα στο ρώσικο επιστημονικό περιοδικό "Quantum". Eγώ, δεν μπόρεσα να βρω απόδειξη.
Αν υπάρχουν 2 αριθμοί ,έστω α και β, μεγαλύτεροι απο 1 μεταξύ των ζητούμενων αριθμών,τότε αντικαθιστώντας τον έναν απ'αυτούς με το αβ και τον άλλον με το 1, διατηρούμε αμετάβλητο το γινόμενο αλλά αυξάνουμε το άθροισμα. Η ανισότητα (α-1)/(β-1)>0 (σημ.δική μου: που προφανώς ισχύει ,αφού α,β φυσικοί μεγαλύτεροι της μον άδας) δίνει: αβ+1>α+β. Ο.Ε.Δ.
1)Με τα 24 άδεια παίρνουν 6 γεμάτα, τα πίνουν έχουν 6 άδεια, με τα 4 άδεια από τα 6 παίρνουν 1 γεμάτο, το πίνουν και έχουν 3 άδεια και ή παίρνουν ένα γεμάτο με πίστωση το πίνουν και δίνουν 4 άδεια και ξεχρεώνουν ή ζητάνε ένα γεμάτο τα αδειάζουν σε δικό τους δοχείο και με τα 3 άλλα άδεια το πατσίζουν ή..ότι άλλο σκαρφιστούν, μέρες που είναι στην φανταστικά ...μακρινή χώρα, δίπλα στην πόρτα μας και για αρκετούς μέσα από την πόρτα του. Σύνολον 8 μπουκάλια γάλα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο διαστημικό δεν είμαι σε θέση να το σκεφτώ τώρα και γιατί δεν "έχω" τις συνθήκες που επικρατούν σε κενό βαρύτητας σε ένα διαστημόπλοιο και γιατί πριν από λίγο επέστρεψα από βραδινή έξοδο και νοιώθω λίγο ...διαστημικά!
Πολύ σωστά! 8 μπουκάλια. Το "φανταστικά ..μακρινή" που έγραψα ,δεν πήγαινε στην ανάγκη του κόσμου,αλλά στην "κρατική" πρόνοια.
ΔιαγραφήΝα προτείνω και μια συγκεκριμένη βερσιόν αλληλεγγύης. Ζητάμε δανεικό από τον γείτονα ένα άδειο μπουκάλι...3+1=4...και σε 5 λεπτά τού το επιστρέφουμε.
Είναι σαφές και λεκτικά και εννοιολογικά ότι το "φανταστικά ..μακρινή" πήγαινε στην "κρατική" πρόνοια (ή κρατική "πρόνοια" ή "κρατική" "πρόνοια", αφού και τα δύο κατά την άποψη μου είναι τουλάχιστον αμφισβητούμενα). εξέλαβα ότι με το "φανταστικά ...μακρινή" υπονοείτε την ..Παραξενοχώρα (επιεικής χαρακτηρισμός!), όπως αντίστοιχα, λέμε Ακροτήριο της "Καλής Ελπίδας", "Εύξεινος" Πόντος, "Ειρηνικός" ωκεανός και χωρίς να διαφωνώ καθόλου για το ""κρατική" "πρόνοια"" το επέκτεινα στο άλλο σκέλος της διαλεκτικής σχέσης κρατική πρόνοια-πολίτες.
ΔιαγραφήΠειράζει που ...ξέφυγα λίγο?
Όχι, καθόλου! Εύλογες οι σκέψεις σου για κάθε συνειδητοποιημένο άνθρωπο που ξέρει από...Παραξενοχώρες.
ΔιαγραφήΌσον αφορά το 2) έχω την εντύπωση πως δεν θα σβήσει.Σε συνθήκες βαρύτητας όταν φυαάμε το κερί , ο ψυχρός αέρας απο το στόμα μας διώχνει τη φλόγα αφού ώς ελαφρότερη τείνει να πάει πιο ψηλά.Άρα ο ψυχρός αέρας παίρνει τη θέση του θερμού αερίου σβηνοντάς το.Αν θυμάμαι καλά στο διάστημα η φλόγα λόγω έλλειψης βαρύτητας σχηματίζει μια μικρή μπλε μπάλα αφού ο καπνός την περικλείει(δεν πηγαίνει ψηλά)
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτή η μικρή μπάλα δεν σβήνει αφού είναι αδύνατη αυτή η ανακατανομή των αέριων μαζών(δεν τίθεται θέμα διαφοράς πιέσεων κλπ)
Ντονάλτιε, ναι. Έτσι είναι γενικά. Βέβαια να σημειωθεί ότι απόλυτη "έλλειψη βαρύτητας" δεν μπορεί να υπάρξει ποτέ. Για να εξαφανιστεί τελείως η βαρύτητα, πρέπει να εξαφανιστούν οι μάζες.
ΔιαγραφήΑν υπήρχε συνθήκη μηδενικής(απολύτως!) βαρύτητας ή όσο κοντύτερα στο 0 είναι η τιμή της, η φλόγα δεν θα μπορούσε να "κρατήσει" καθόλου. Η καύση χρειάζεται σταθερή παροχή(εισροή) καυσίμου,στην περίπτωσή μας οξυγόνου. Σε γήινες συνθήκες, η εισροή οξυγόνου γίνεται μέσω αέριας μεταγωγής (convection). Kοντά(στην περιοχή) της φλόγας ο θερμαινόμενος αέρας ,που είναι ελαφρύτερος, ανεβαίνει μαζί με τα προϊόντα της καύσης. Πιο κρύος αέρας (που περιέχει το "φρέσκο" προς καύση οξυγόνο) παίρνει τη θέση του.Σε κατάσταση "μηδενικής βαρύτητας" δεν υπάρχει μεταγωγή ,και η φλόγα σβήνει από ελλειψη οξυγόνου.
Αντίστοιχο φαινόμενο του θερμού αέρα με τον φελλό στον κουβά στο "Φελλός σε πτώση"
ΑπάντησηΔιαγραφήNαι. Ωραία αναλογία. Όπως στην ελεύθερη πτώση εξαφανίζεται η άνωση, έτσι και στην έλειψη βαρύτητας εξαφανίζεται η μεταγωγή και δεν μπορεί να γίνει συνεχής καύση.
ΔιαγραφήΘυμίζω το παλιό ποστ:
http://eisatopon.blogspot.com/2013/02/blog-post_4017.html