Δευτέρα 15 Ιουλίου 2013

▪ Τρίλιζα στα κουτουρού

"Aν το μόνο εργαλείο που έχεις είναι ένα σφυρί, θα φτάσεις να βλέπεις όλα τα προβλήματα σαν καρφιά" 
Abraham Maslow
Δυο παίκτες παίζουν "τυχαία τρίλιζα". Το κλασσικό παιδικό παιχνίδι σε πλέγμα 3 Χ 3 με τα Ο και τα Χ. Όποιος πετύχει τριάδα από Ο ή Χ οριζόντια,κάθετα ή διαγώνια κερδίζει. Η μόνη διαφορά είναι πως οι επιλογές θέσεων για τα αντίστοιχα σύμβολά τους γίνονται και από τους δύο παίκτες εντελώς στην τύχη! Σε κάθε κίνηση δηλαδή, ο καθένας μπορεί να επιλέξει ισοπίθανα μεταξύ όλων των διαθέσιμων νόμιμων κινήσεων/τετραγώνων.
Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει ο πρώτος;
Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει ο δεύτερος;

14 σχόλια:

  1. Οι πιθανότητες, για να κερδίσει, ο πρώτος ή ο δεύτερος είναι μοιρασμένες 50% - 50%. Επομένως κανένας δεν κερδίζει. Η νίκη, για τον καθένα, έγκειται στο ποιός θα κάνει πρώτος λάθος τοποθέτηση του συμβόλου «Ο» ή «Χ», ανάλογα με το ποιο έχει πάρει ο καθένας.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ευχαριστώ για το σχόλιο Κάρλο.
      Οι πιθανότητες δεν είναι 50-50.
      Πρέπει να "μετρηθούν" (εξού και η ετικέτα "Συνδυαστική"). Το πρόβλημα δεν είναι εύκολο.

      Διαγραφή
  2. Δεν μπορεί εξάλλου να είναι ποτέ 50-50 οι ζητούμενες πιθανότητες , γιατί στο παιχνίδι υπάρχει και τρίτο αποτέλεσμα, η ισοπαλία! (όταν δεν σχηματίζει κανείς από τους δύο τρίλιζα).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Ξεχωρίζω τις παρακάτω πέντε περιπτώσεις:
    (Σε κάθε περίπτωση οι ευνοϊκές περιπτώσεις είναι 8(3 οριζόντιες+3 κατακόρυφες+2 διαγώνιες) και ο δειγματικός χώρος δίνεται από το γινόμενο των αντίστοιχων συνδυασμών και η πιθανότητα Πi=8/Ωi)

    A)Παίζουν 1ος,2ος,1ος,2ος,1ος (5 τοποθετήσεις). Πιθανότητα νίκης του 1ου:
    Π1(Α)=8/Ω1(Α)= 8/C(9,3)*C(6,2)

    B) 1ος,2ος,1ος,2ος,1ος,2ος (6 τοποθετήσεις). Πιθανότητα νίκης του 2ου:
    Π2(Β)=8)/Ω2(Β)=8/C(9,3)*C(6,3)

    Γ) 1ος,2ος,1ος,2ος,1ος,2ος,1ος (7 τοποθετήσεις). Πιθανότητα νίκης του 1ου:=
    Π1(Γ)=8/Ω1(Γ)=8/C(9,4)*C(5,3)

    Δ) 1ος,2ος,1ος,2ος,1ος,2ος,1ος,2ος (=8 τοποθετήσεις). Πιθανότητα νίκης του 2ου:
    Π2(Δ)=8/Ω2(Δ)=8/C(9,4)*C(5,4)

    Ε) 1ος,2ος,1ος,2ος,1ος,2ος,1ος,2ος,1ος (9 τοποθετήσεις). Πιθανότητα νίκης του 1ου:
    Π1(Ε)=8)/Ω1(Ε)=8/C(9,5)*(4,4)

    Συνολική πιθανότητα νίκης του 1ου,
    Π1=Π1(Α)+Π1(Γ)+Π1(Ε)

    Συνολική πιθανότητα νίκης του 2ου,
    Π2=Π2(Β)+Π2(Δ)

    Ισοπαλίες =1-Π1-Π2


    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Αν θέλεις κύριε Αλεξίου, κάνε τις πράξεις για να έχω σαφή εικόνα των αποτελεσμάτων.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Απέφυγα να κάνω τις πράξεις καθώς δεν είμαι βέβαιος για την ορθότητα των συλλογισμών, οπότε τι νόημα έχουν οι πράξεις...
    και επί πλέον άρχισα να ..."φοβάμαι" μην ξανακατηγορηθώ ότι ασχολούμαι τόσο πολύ με ..ανούσια πράγματα!!
    Π1(Α)=8/C(9,3)*C(6,2)=8/84*15=8/1260
    Π1(Γ)=C(9,4)*C(5,3)=8/126*10=8/1260
    Π1(Ε)=C(9,5)*(4,4)=8/126*1=8/126
    ......................................
    Π1(ολική)=8/1260 +8/1260+ 8/126 = 8/105

    Π2(Β)=8/C(9,3)*C(6,3)=8/84*20=8/1680
    Π2(Δ)=8/C(9,4)*C(5,4)=8/126*5=8/630
    ...................................
    Π2(ολική)=8/1680 +8/630 = 2/105

    Ισοπαλίες 1 -(8+2=10)/105 =95/105

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Η πιθανότητα του 2ου παίχτη "διαισθάνομαι" ότι είναι μεγαλύτερη, αλλά δυσκολεύομαι να την υπολογίσω.

      Διαγραφή
  7. Ναι,υπέθεσα και εγώ ότι θα θέλατε να το ξαναδείτε γιατί είδα νοερά ότι οι πιθανότητες έβγαιναν πολύ μικρές. Αυτό το 8/ (διά)..τους συνδυασμούς, είναι "ύποπτο". Για να μην εμφανίζομαι πιθανώς τζάμπα "ξύπνιος", να πω ότι-αν και θέλω να αυτοβαυκαλίζομαι ότι κατέχω καλά από συνδυαστική και πιθανότητες- το πρόβλημα αυτό με ζόρισε αφάνταστα(στο μέτρημα!) και τελικά δεν το έλυσα σωστά (στην ολότητά του) και τα παράτησα κάνοντας κλεπαντζιά στη λύση.

    Μια καλή αρχή είναι να υπολογίσουμε τις "ισοπαλίες"
    Αν έστω X έχει ο πρώτος, O ο 2ος, υπάρχουν C(9,5) = 126
    διαφορετικοί τρόποι να τοποθετήσουμε 5 X (ή 4 O) σε 9 θέσεις.

    Μεταξύ αυτών, 16 σχηματισμοί είναι ισοπαλία: (XXO,OXX,XOO), (XOX,XXO,OXO), (XXO,OOX,XOX),
    (XOX,XOX,OXO)..και οι οριζόντιες και κάθετες συμμετρίες τους ("αντανακλάσεις"). Το (ΧΧΟ,ΟΧΧ,ΧΟΟ)κ.λ.π νοούνται σαν:(1η σειρά ΧΧΟ, 2η ΟΧΧ, 3η=ΧΟΟ)
    Άρα η Π(ισοπαλία) είναι ξεκάθαρη = 16/126=0,126875
    Αλλά σταματώ εδώ , μήπως και θέλει κάποιος να συνεχίσει...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Μόλις βρήκα την λύση ή σωστότερα την σωστή πορεία για την λύση και η οποία φυσικά έχει πολύ μέτρημα και σαφώς οι πιθανότητες νίκης τόσο του 2ου που ήδη έχω γράψει αλλά και του 1ου είναι μεγαλύτερη.
    Επί πλέον έχω την υποψία ότι μιλάμε για δύο αρκετά διαφορετικά προβλήματα. Κρίνοντας από την πιθανότητα ισοπαλίας 16/126, υποθέτω εκ των υστέρων ότι ζητάτε τις πιθανότητες έχοντας τοποθετηθεί και τα 5Χ και τα 4Ο, στο πλέγμα 3*3.
    Εγώ σαν δεδομένο πήρα και το ενδεχόμενο των 3Χ-2Ο (που δίνει νίκη με κάποια πιθανότητα στον 1ο, 3Χ-3Ο (πιθανότητα νίκης στον 2ο) 4Χ-3Ο (πιθανότητα για τον 1ο) 4Χ-4Ο (πιθανότητα νίκης στον 2ο) και τελικά το 5Χ-4Ο. Ηδη βρήκα τον τρόπο υπολογισμού (και ο οποίος πολύ μικρή σχέση έχει με τους πρώτους υπολογισμούς μου) αλλά είναι πολύ κουραστικός και δεν θα συνεχίσω.
    Αν καλά κατάλαβα, εκ των υστέρων, και ζητούνται οι πιθανότητες όταν έχουν τοποθετηθεί τα 5Χ και 4Ο τα πράγματα είναι πολύ απλά. Θα περιμένω την διευκρίνιση σας πάνω σε αυτό!
    Υ.Γ Στους αρχικούς υπολογισμούς έκανα την περίπτωση 3Χ-2Ο και το οποίο το θεωρώ σωστό 8/C(9,3)*C(6,2) και αυθαίρετα και εντελώς λαθεμένα το γενίκευσα κρατώντας το 8 σταθερό, τελείως λαθεμένο. Μόνο οι παρονομαστές νομίζω ότι είναι σωστοί. Μιλάω, εννοείται για το πρόβλημα όπως το αντιλήφθηκα (3Χ-2Ο,3Χ-3Ο,4Χ-3Ο,4Χ-4Ο,5Χ-4Ο)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. @Ε.Αλεξίου:
    Όχι, δεν μιλάμε για διαφορετικά προβλήματα. Πρέπει ας πουμε όντως να υπολογιστούν ξέχωρα οι συνδυασμοί ο Χ να κερδίσει στην 3η του κίνηση, ο Ο στην 3η ή 4η κ.λ.π, αλλά ΟΛΟΙ οι πιθανοί συνδυασμοί-σχηματισμοί, αλλιώς το μέτρημα είναι λάθος.
    Επειδή δεν βλέπω κι άλλον ενδιαφερόμενο, γράψτε αν/όταν θέλετε να το αφήσω για να δώσεις λύση ή να το πάρει το ποτάμι.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Επειδή η μέθοδος που κατέληξα είναι πολύ πρακτική , χωρίς χρήση τύπων (την ανάγκην φιλοτιμίαν ποιούμενος, αφού οι γνώσεις μου σε αυτό το θέμα είναι ελάχιστες) και πολύ δύσκολα υλοποιούμενη και επισφαλής η μέτρηση δια ταύτα, από εμένα, να το πάρει το ποτάμι!
      Εκ των υστέρων, αφού αναρτηθεί η λύση, και εκ του ασφαλούς θα ελέγξω το πόσο κοντά ή μακρυά είναι η μέθοδός μου.
      Υ.Γ Μου έκανε εντύπωση το ότι
      Π(ισοπαλία)= 16/126=0,126875, πού δίνεται από το 16(όσες οι περιπτώσεις)/(C(9,5)*C(4,4)=126), δηλαδή σαν να μπαίνουν όλα τα Χ και όλα Ο μαζί.
      Προφανώς το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των περιπτώσεων νίκης και των δύο παιχτών θα βγαίνει 110/126. Φαινομενικά, για εμένα, μεγάλη σύμπτωση!

      Διαγραφή
    2. Υ.Γ2 Και νομίζω ότι αντί Π1(Α)=8/C(9,3)*C(6,2)=8/84*15=8/1260, το σωστό είναι: Π1(Α)=8/C(9,3)=8/126

      Διαγραφή
  10. Το παίρνει το ποτάμι λοιπόν:

    Αν ,όπως ήδη έγραψα παραπάνω, έστω X έχει ο πρώτος, O έχει ο 2ος, υπάρχουν C(9,5) = 126
    διαφορετικοί τρόποι (συνδυασμοί) να τοποθετήσουμε πέντε X (ή 4 O) σε 9 θέσεις.
    Τα ολικά "ταμπλώ" μας λοιπόν (=παρανομαστής/δυνατότητες) είναι 126
    Μεταξύ αυτών, 16 σχηματισμοί είναι ισοπαλία: (XXO,OXX,XOO), (XOX,XXO,OXO), (XXO,OOX,XOX),
    (XOX,XOX,OXO)..και οι οριζόντιες και κάθετες συμμετρίες τους ("αντανακλάσεις").
    Το (ΧΧΟ,ΟΧΧ,ΧΟΟ)κ.λ.π νοούνται σαν:(1η σειρά ΧΧΟ, 2η ΟΧΧ, 3η=ΧΟΟ)

    Υπάρχουν 12 σχηματισμοί με βέβαιη/ "καθαρή" νίκη για τα Ο.:
    (Όταν τα 3 Ο είναι σε μια διαγώνιο. 2 διαγώνιες επί 6 διαφορετικές δυνατότητες θέσης για το 4ο 0, μας κάνει 2*6=12 )

    Yπάρχουν 36, ας τις πούμε "μη αποκρίσιμες ή αβέβαιες", διατάξεις. Δηλαδή διατάξεις -σχηματισμοί με ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ 3 Χ και 3 Ο σε μία γραμμή (τριάδα) σύμφωνα με το εξής μέτρημα:
    3 O σε κάποια πλευρική (περιμετρική) γραμμή, αυτό μας κάνει 4 πλευρές επί 6 επιλογές για το 4ο O , = 24.
    3 O σε μία κεντρική γραμμή, αυτό κάνει 2 κεντ. γραμ. επί 6 επιλογές για το 4ο O = 12. Σύνολο:12+24=36.

    Με βάση τα παραπάνω λοιπόν,απομένουν:
    126 − 16 − 12 − 36 = 62 σχηματισμοί
    με βέβαιη νίκη για τα Χ.

    ΤΟ ΛΕΠΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΩΡΑ το οποίο αναλύω διεξοδικά. (ΠΡΟΣΟΧΗ!)
    Η νίκη σε κάποια από τις "αβέβαιες" διατάξεις εξαρτάται από το ποιος συμπληρώνει ΠΡΩΤΟΣ ΤΡΙΑΔΑ σε κάποια γραμμή.
    Ας υποθέσουμε ότι ένας παικτης συμπληρώνει τριάδα με την 3η επιλογή του ("ριξιά"): Tότε,τα 2 εναπομείναντα Χ (ή Ο) πρέπει να έχουν εμφανιστεί στις πρώτες δύο ριξιές , δίνοντας σύνολο: C(2,2)=1 δυνατότητα η καθεμιά.
    Αν η τριάδα ολοκληρωθεί με την 4η ριξιά, τότε τα 2 εναπομείναντα Χ (ή Ο) πρέπει να κατανεμηθούν ανάμεσα στις 3 πρώτες ριξιές, δίνοντας αντίστοιχα C(3,2)=3 δυνατότητες η καθεμιά.
    Τέλος, αν ο πρώτος παίκτης κερδίσει (συμπληρώσει τριάδα) στην 5η του ριξιά, τα 2 εναπομείναντα Χ έχουν υποχρεωτικά εμφανιστεί μέσα σε 4 ριξιές ,δίνοντας
    C(4,2) =6 δυνατότητες.
    Αντίστοιχα λοιπόν,υπάρχουν συγκεντρωτικά 4 διαφορετικές περιπτώσεις:
    1). Συμπληρώνει ο Χ τριάδα στην 3η ριξιά, ο Ο στην 3η ή 4η ριξιά: Κερδίζει ο Χ με : 1 * (1+3)=4 σχηματισμούς/δυνατότητες.
    2). Συμπληρώνει ο Ο τριάδα στην 3η ριξιά, ο Χ στην 4η ή 5η : Kερδίζει ο Ο με 1*(3+6)=9 σχηματισμούς.
    3).Συμπληρώνει ο Χ τριάδα στην 4η ριξιά, ο O στην 4η: Κερδίζει ο Χ, με 3*3 = 9 σχηματισμούς
    4). Συμπληρώνει ο Ο τριάδα στην 4η ριξιά, ο Χ στην 5η: Κερδίζει ο Ο με : 3 * 6=18 σχηματισμούς.
    Έτσι τελικά, η πιθανότητα μια "αβέβαιη" διάταξη να καταλήξει σε νίκη του Χ είναι:
    (4+9)/40 =13/40 , ενώ η αντίστοιχη για να κερδίσει ο Ο είναι: (9+18)/40= 27/40.

    Τώρα (επιτέλους!) μπορούν να υπολογιστούν οι ολικές πιθανότητες νίκης:
    Πρώτος παίκτης: (62 + 36*13/40)/126 = 0.584850
    Δεύτερος παίκτης: (12 + 36*27/40)/126 = 0.288275
    Iσσοπαλία: 16/126 = 0.126875
    (Σύνολο πιθανοτήτων ,ασφαλώς, =1)

    Από τα δυσκολότερα προβλήματα συνδυαστικής ,αν και "ξερά" υπολογιστικό. Με λεπτά σημεία που εύκολα ξεφεύγουν από κάποιον.

    ΑπάντησηΔιαγραφή